Exposé 58 : limite d'une fonction en un point a de R

Posté par Merenveld Merenveld

Bonjour à tous !

Comme tout le monde en ce moment, je prépare activement ces satanées leçons (je souhaite bon courage à tout le monde au passage...) et j'ai une question sur la leçon 58...
Dans pas mal de leçons que j'ai trouvées ca et là, je lis la proposition suivante :

Si f est définie en a, et si lim f(x) en a vaut l, alors l = f(a)

je ne comprends pas en quoi cette propriété est vraie, je prends l'exemple de la fonction f définie comme telle :

f(x)= x² pour tout x différent de 0
f(0) = 1

f est définie en 0, sa limite en 0 vaut 0 et pourtant f(0)=1 ?

Enfin pour moi cette propriété revient à dire que la fonction est continue... alors que la continuité n'arrive qu'en troisième partie de cette leçon, alors qu'on retrouve cette fameuse propriété dans la première partie...

Bref, j'attends vos lumières
Merci d'avance

Posté par BlackShark29 BlackShark29

Bonjour !

Pour moi aussi cette propriété correspond à montrer que la fonction est continue. Je ne vois pas non plus ce qu'elle fait dans la 1ère partie de la leçon, elle irait plutôt dans la troisième, sauf erreur de ma part.

Bon courage pour tes/nos satanées leçons !

Posté par ipie11 ipie11

bonjour
Dans le cas où:
f(x)= x² pour tout x différent de 0
f(0) = 1

alors que f(0)=1

donc la fonction f n'admet pas de limite en 0

j'avais appris que "la limite en a, c'est ce qui se passe autour de a" mais la définition de la limite a changé (dans les programmes de lycée), il y a plusieurs années (peut-être 15 ans ?)

Posté par BlackShark29 BlackShark29

Bonjour ipie11

J'étais parti pour répondre la même chose que toi mais en me questionnant et en fouillant sur internet je suis retombé sur un sujet intéressant de l'île :

Si c'est bien la deuxième définition donnée par Nightmare qui est considérée, la fonction f a bien pour limite 0 en 0. Si c'est la première elle n'admet en effet pas de limite en 0.

Enfin voilà ça m'intéresse aussi de pouvoir éclaircir ce point, j'espère que d'autres personnes vont encore réagir là dessus.

Posté par Merenveld Merenveld

Effectivement dans notre promo de prépa CAPES, on s'est effectivement posé la question du I ou du I privé de a... le problème semblerait donc bien tourner autour de ca...

J'espère moi aussi d'autres avis sur la question

Posté par ipie11 ipie11

en première et en terminale, j'avais appris celle-ci
I désigne un intervalle centré en a tel que I-{a} soit inclus dans l'ensemble de définition de f
f admet une limite en a et cette limite est l lorsque


La définition de la limite avec avait disparu des programmes de lycée dès 84-85; on utilisait alors les puissances de 10
Un jour, à l'occasion d'un des changements de programmes de lycée (mais je ne sais plus en quelle année), on nous a imposé de nouveaux théorèmes qui induisaient une nouvelle définition de la limite pour les fonctions définies en a
Nouveau programme, nouveau théorème: "Si f est définie en a et si f admet une limite en a, alors cette limite est égale à f(a)"

Posté par plumemeteore plumemeteore

Bonsoir.
Difficile de croire que cette fonction est continue en zéro, vu qu'elle fait un saut de valeur de 1.

Posté par Merenveld Merenveld

Bien entendu que la fonction n'est pas continue...

Je donne un lien vers un document qui donne une partie des réponses que je souhaitais, après une recherche minutieuse sur le web...

www.math.u-psud.fr/~perrin/CAPES/analyse/fonctions/definitiondelimite.pdf

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

Je viens de lire le papier de Perrin et j'approuve. Il vaut mieux prendre dans la définition de la limite au point a les conditions pour , ne serait-ce que pour ne pas se priver d'un théorème du genre f continue en a ssi lim f(x)=f(a).

Par ailleurs, si on fait un peu de topologie, c'est cette forme qui se généralise le mieux.

Enfin, Perrin fait autorité!

Posté par Merenveld Merenveld

Béh je ne sais plus trop quoi faire...

A mon grand étonnement, dans les bouquins de terminale, ils définissent la notion de limite sans la restriction x différent de a

Je prends l'exemple du bouquin Indice chez Bordas :

" Dire que f admet pour limite L en a, c'est dire que f(x) peut être rendu aussi proche que l'on veut de L à condition que x soit suffisamment proche de a "

Et en conséquence, la définition de la continuité devient ceci :

" Dire que f est continue au point a, c'est dire que f est définie sur un intervalle ouvert contenant a et qu'elle admet une limite en ce point. Cette limite est f(a) "

Du coup je pense opter pour cette définition, même si du coup, dans l'exemple que j'ai donné au début de ce topic, cette fonction n'a plus de limite en 0...

Posté par carpediem carpediem

salut

il me semble que tu fais un peu une confusion entre limite et continuité

limite : que f soit définie en a ou pas :

f admet la limite finie L quand x tend vers a si :
>0 >0 tel que |x-a|< |f(x)-L|<

REM: f peut bien être définie en a et on peut très bien avoir f(a)=L ou non ou f peut ne pas être définie en a

continuité en a : il faut que f soit définie en a et L=f(a)

(après on peut distinguer continuité à droite ou à gauche...)

Posté par Merenveld Merenveld

Non non je ne pense pas faire de confusion...

Tout dépend encore une fois de la définition qu'on prend de la limite

Si tu lis le document que j'ai donné en lien, si on prend la première définition de la limite, alors pour que f soit continue, il suffit que la limite en ce point existe, et nécessairement elle vaut f(a)

Selon la deuxième définition donnée, pour que f soit continue en a, alors lim f(x) en a doit exister et être égale à f(a)

Ainsi, dans l'exemple que j'ai donné dans mon post initial, la limite de cette fonction n'existe pas avec la première définition, et vaut 0 avec la deuxième définition.

Posté par carpediem carpediem

oui j'ai lu le papier

l'une implique la continuité, l'autre pas
l'une permet de composer l'autre pas

à toi de voir ce que tu fais dans la suite pour choisir la définition qui te convient tout en te souvenant de l'autre et des avantages et inconvénients de chacune....

Posté par Merenveld Merenveld

Bah c'est plutot la deuxième qui me convient (pour moi la fonction que j'ai donné à une limite en 0 qui est 0) mais après consultation du BO et des bouquins de term, c'est la première qui est en vigueur en lycée... donc je pense prendre cette première définition...

Le tout est de savoir expliquer les différences au jury je pense...

Posté par corailsol corailsol

Bonjour,

J'avais choisi cet expose en 2006, j'étais contente d'être tombe dessus car il me semblait le connaître ; j'avais choisi la 2d définition (limite pointée), on y avait reflechi avec le prof lors de l'expose que j'avais suivi un mois avant a l'IUFM ; je connaissais le probleme des 2 définitions. Et j'ai eu....1,8 !
Ok, c'était une première fois, et j'ai trouve ça très dur physiquement (1h d'attente, + 1h de préparation, plus l'expose, arrivée aux questions, j'ai cafouille). Mais j'avais quand même fait un expose "consistant", avec des def, des théorèmes, des preuves...
Le lendemain, j'ai eu 15 au dossier.
Je crois vraiment que j'aurais du prendre la 1er définition, actuelle.
Voila pour ma petite histoire...
Sinon, j'aimerais bien le présenter au niveau terS, mais le cours de ter est si léger sur ce point, ça me semble risque. Quel niveau choisissez vous ?
Bon courage pour les révisions...