probabilité

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probabilité

Posté le 10-05-09 à 17:11

Posté par abder10001

Bonjour, jai trouvé un annale sur ce site (http://www.ilemaths.net/maths_t-sujet-bac-08-ES-02.php ). Mais je ne comprends pa la question 2 et 3 de la partie 2, de l'exercice 2 meme avec le corrigé je ne comprend rien.
Pouvez vous m'eclaircir ce probléme s'il vous plait ?
Merci.

Exercice 2:
Partie II (résultats demandés à 10-2 près)
Pour se rendre à son travail, Mathurin rencontre une succession d'intersections de feux tricolores dont le fonctionnement est décrit si-dessous :
A chaque intersection :
Si le feu est vert, il le sera à l'intersection suivante avec la probabilité 0,9 ou sera rouge avec la probabilité 0,05.
Si le feu est orange, il le sera à l'intersection suivante avec la probabilité 0,1 ou sera vert avec la probabilité 0,8.
Si le feu est rouge, il le sera à l'intersection suivante avec la probabilité 0,5 ou sera orange avec la probabilité 0,05.

n étant un entier naturel non nul, on note :
Vn la probabilité que Mathurin rencontre un feu vert à la n-ième intersection,
On la probabilité que Mathurin rencontre un feu orange à la n-ième intersection,
Rn la probabilité que Mathurin rencontre un feu rouge à la n-ième intersection,
Pn = [Vn On Rn] la matrice traduisant l'état probabiliste du n-ième feu tricolore.

1. a) Construire un graphe probabiliste pour décrire cette situation.
b) Donner la matrice de transition M complétée de ce graphe :

2. a) Si le premier feu rencontré est vert, donner la matrice P1 de l'état inital puis calculer P2.
b) On donne P3 = [0,87 0,05 0,08]. Quelle est la probabilité que le quatrième feu soit vert ?

3. Si le premier feu rencontré est rouge, donner la matrice P1 de l'état initial puis calculer P2.

re : probabilité

Posté le 11-05-09 à 14:48

Posté par cailloux

Bonjour,

2)a)Le premier feu est vert donne: $P_1=\left(1\quad 0\quad 0\right)$

$P_2= \begin{pmatrix}1&0&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0.9&0.05&0.05\\0.8&0.1&0.1\\0.45&0.05&0.5 \end{pmatrix}$

$P_2=\begin{pmatrix}0.9&0.05&0.05 \end{pmatrix}$

2)b) $P_4=\begin{pmatrix}0.87&0.08&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0.9&0.05&0.05\\0.8&0.1&0.1\\0.45&0.05&0.5 \end{pmatrix}$

L

re : probabilité

Posté le 11-05-09 à 14:52

Posté par cailloux

Fausse manoeuvre...

2)b) $P_4=\begin{pmatrix}0.87&0.05&0.08 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0.9&0.05&0.05\\0.8&0.1&0.1\\0.45&0.05&0.5 \end{pmatrix}$

La probabilité que le quatrième feu soit vert est:

$0.87\times 0.9+0.05\times 0.8+0.08\times 0.45=0.859$

re : probabilité

Posté le 11-05-09 à 19:55

Posté par cailloux

Ton graphe ressemble-t-il à celui-ci ?

C' est à partir de ce graphe qu' on détermine la matrice de transition...

probabilité

probabilité

Posté le 15-05-09 à 19:47

Posté par abder10001

je vous remercie pour vos reponses.
Mais ce que je comprend pa c'est comment on trouve :
P2 = (0.9 0.05 0.05) a la question 2 a), je comprend pa la methode que tu as utilisé ?
en vous remerciant.

re : probabilité

Posté le 18-05-09 à 18:02

Posté par cailloux

La règle pour la multiplication de ce genre de matrices:

$3$\begin{pmatrix}u&v&w \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ua_{11}+va_{21}+wa_{31}&ua_{12}+va_{22}+wa_{32}&ua_{13}+va_{23}+wa_{33}\end{pmatrix}$

La matrice résultat est une matrice 1 ligne 3 colonnes.

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