Bonjour,

J'ai u petit soucis avec la Décomposition de Dunford...;
Je comprend le théorème mais je ne sais quand il faut utiliser cette décomposition??

Par exemple j'ai une matrice

A = 3 2 -2
   -1 0  1
    1 1  0
On me demande de trigonaliser cette matrice et de calculer An

Je trouve que son polynome caractéristiqe c'est (1-X)3
Donc la valeur propre c'est 1

Après je vois dans le crrigé que l'on applique Dunford et qu'on écrit
D=P(1 0 0)P-1
    0 1 0
    0 0 1

Et apès ily a marqué:

A=I+N alors que Dunford c'est A=D+N

Je ne comprend pas du tout,j'esper vraiment que vous pourrez m'aider

Merci d'avance

Bonjour,

Oui A=D+N ça veut dire que A se décompose comme somme d'une matrice diagonale et nilpotente.

Et D=I (la matrice identité) est bien diagonale.

Si le polynôme caractéristique de A est (1-X)^3 alors celui de A-I est X^3 donc A-I est nilpotente, on la note N.

Bingo c'est ce qu'on voulait.

En fèt on prend La matrice I parce que celanous arrange pour les calcules?

Mais j'ai tjs pas compris quand il faut utiliser Dunford et pourquoi?

Bonsoir.

Pourquoi poster deux fois ton sujet ? Le multipost est interdit sur le site.

Puisque P_A(X) = (1 - X)³, le théorème de Cayley Hamilton donne :

(I - A)³ = O donc : (A - I)³ = O

Cela signifie que la matrice N = A - I est nilpotente.

On peut se demander quel est l'indice de nilpotence de N. En calculant N², on trouve O. Donc, N est nilpotente d'indice 2.

On peut donc prendre pour réduite de N la forme :



Le plus classique est de considérer la base canonique initiale : e₁ , e₂ , e₃ puis de prendre pour nouvelle base u , v , w telle que :

u = A.e₁

v = e₁

w = un vecteur quelconque de KerA, par exemple e₁ + e₃

Alors, la récuite de A = N + I sera :

Je ne vois pas le rapport entre Dunford et ta trigonalisation.

Sans parler de trigonalisation, ici pour voir que A se décompose facilement on calcule le polynôme caractéristique et on s'aperçoit que ça fait (1-X)^3.

On se dit tiens dans ce cas si je prends la matrice A-I (essaye) son polynôme caractéristique est X^3.

Et ça c'est cool parce que ça signifie que A-I est nilpotente = N, donc t'as directement A = I+N.

La décomposition de Dunford sert souvent pour calculer les exponentielles de matrices par exemple.

Désolé mais pr moi je n'ai pas fait de multipost étant donné que j'ai posté le message deux fois mais sur le meme topic. Je n'avais pas relu mon premier post donc j'en ai mi un deuxième en rectifiant les erreurs....

Merci pour ta réponse mais je n'a as vue le théorème de Cayley Hamilton. Donc je ne comprends pas trop ce que tu viens de m'expliquer.

Tu peux te passer du théorème de Cayley Hamilton en calculant directement (A - I)².

Attention infophile, Dunford c'est A=D+N avec D diagonalisable et N nilpotente.

D'ailleurs voici un exemple où on se fait tout le temps avoir. Si je te demande de me donner la décomposition de Dunford de , tu seras peut-être tenté de me dire A=D+N avec et , mais en fait A=A+0 est la bonne décomposition de Dunford.

Bonsoir fade2black.

Il faut aussi que D.N = N.D

salut

ce que veulent dire infophile et raymond et pour répondre à ta question, c'est que ici D=I

donc A=D+N=I+(A-I)

ce me semble-t-il _{et sans vouloir interférer avec infophile et raymond que je salue au passage}

Ah oui au temps pour moi, j'avais en tête la commutativité (pour les exponentielles justement) et j'ai associé ça aux matrices diagonales.

Sorry, bonsoir tout le monde

l'exemple ou plutot le contre exemple donné par fade2black est fondamental pour comprendre
contrairement a ce que sous entendent certains ouvrages la decomposition de Dunford est un outil theorique plus qu'un outil pratique
le calcul des puissances d'une matrice n'est en rien simplifie (voir l'exemple de fade2black A=A+0) ni de ce fait celui de l'exponentielle.
le calcul pratique proposé dans certains manuel (Gourdon par ex) n'est pas du tout effectif car il necessite le calcul des valeurs propres et c'est cela qui est difficile de maniere exacte voir impossible pour une matrice quelconque au dela de l'ordre  5
d'ou l'interet des methodes numeriques de calcul approchés

Ok ben merci pour toutes vos réponses!

En fessant plusierus exercices en utilisant ce que vous m'avez dit j'a pu comprendre merci