Extremum local.

Posté par PierreFF PierreFF

Bonjour,

Ma prof de maths nous a donner un exercice de maths en vue d'un DS qui se rapproche de jours en jours,et  je n'arrive pas à faire l'exercice, ainsi qu'a trouver une formulation qui convient. J'espere que vous pourrez m'aider !

L'énnoncé :

On veut faire circuler un fluide avec frottement minimal dans un canal à section intérieure rectangulaire. ABCD represente cette section; x désigne la hauteur en m et l la largeur en m de la section.
L'aire de la section ABCD est de 2dm².

a/Exprimer l en fonction de x.

b/On note L(x) la longueur du contour intérieur. Expliquer pourquoi pour tout x>0, L(x) = 2x + 2/(100x).

c/Etudier les variations de la fonction L.

d/ Le frottement est minimal lorsque AB + BC + CD est minimal, déduire de l'étude les valeurs de x et de l pour lesquelles le frottement est minimal


Merci d'avance pour votre aide

Posté par PierreFF PierreFF

Pour la a/ j'ai trouver un volume de 2/(x²) dm²

Posté par jacqlouis jacqlouis

    Bonjour Pierre .  Pour la question a) où l'on parle de section, tu trouves un volume ...?
    Et puisque les longueurs  x et l  sont en mètres, travaille avec cette unité . Donc   l = ....

Posté par Marcel Marcel

Bonjour,

1)
L'aire de la section ABCD vaut lx m²
L'aire de la section ABCD vaut 0,02 m²
lx = 0,02
l = 0,02/x

2)
L(x) = x+x+l = 2x+l = 2x+(0,02/x) = 2x+[2/(100x)]

3)
L(x) = 2x+(0,02/x)
L'(x) = 2-(0,02/x²) = (2x²-0,02)/x² = 2(x²-0,01)/x² = 2(x²-0,1²)/x² = 2(x-0,1)(x+0,1)/x² est du signe de x-0,1 sur ]0;+[
Donc L' est strictement négative sur ]0;0,1[, nulle en 0,1 et strictement positive sur ]0,1;+[
Donc L est strictement décroissante sur ]0;0,1] et strictement croissante sur [0,1;+[

4)
Le frottement est minimal lorsque L(x) est minimal, c'est-à-dire lorsque x = 0,1 (et l = 0,02/0,1 = 0,2)

Posté par PierreFF PierreFF

Oui jacqlouis, je me suis tromper avec le mot aire ^^'

Merci pour vos deux réponse, je vais tacher de tout reprendre depuis le début pour comprendre la méthode .

Posté par Tetsuka Tetsuka

J'ai le même exercice à faire, sauf que j'utilise, comme le dit l'énoncé, f(x)=2x+1/(100x)
Voilà ma démarche :
f'(x)=2-2/(100x²)
f'(x)=(200x²-2)/(100x²)
f'(x)=[2(100x²-1)]/(100x²)
f'(x)=[2(100x²-1²)]/(100x²)
f'(x)=[2(100x-1)(100x+1)]/(100x²)
Et donc, au lieu de x=0,1 j'ai x=0.01 et l=2

Est-ce juste?

Posté par jacqlouis jacqlouis

    Bonsoir  . Pourquoi avoir pris  cette valeur qui n'est pas dans l'énoncé ...(l'aire de la section ne serait plus de 2dm² ?...)

Secundo. Ta dérivée est inexacte: (1/100x)'  n'est pas  -2/100x²

Tertio. Le développement de  (100x²-1)  n'est pas  (100x-1)*(100x+1) ...

Posté par Tetsuka Tetsuka

Bonsoir,
l'aire ne sert elle pas que pour la première question?
Ma dérivée est inexacte ? pourtant on a 2/(100x) = 2/100 x 1/x, donc on a bien 2/100 x -1/x² s
C'est vrai ! c'est (10x-1)(10x+1)! Merci.

Posté par jacqlouis jacqlouis

    Non Tetsuka... mais entêté !.....

2/100   est une constante , sa dérivée est nulle.
Quand c'est un coefficient d'une fonction, on retrouve la constante sans changement:
    [ (2/100)* (1/x)]'  =  (2/100)* dérivée de 1/x  =  (2/100)* (-1/x²)

Posté par Tetsuka Tetsuka

Entêté? On me le dit souvent :p

Si c'est une constante, la dérivée vaut 0, et donc il me resterait seulement 2-1/x² ?

Posté par jacqlouis jacqlouis

    Bonjour .  Tu es entêté, et tu ne lis pas ce que j'écris !!!

Posté par Tetsuka Tetsuka

Je ne comprend plus alors.
Je vais reprendre du début.
On a f(x)=2x+2/(100x)
Ce qui équivaut à f(x)=u+v avec u(x)=2x et v(x)=2/(100x)
Donc f'(x)=u'+v' Soit u'(x)=2 et v'(x)= -2/(100x²) Selon moi, et de même que l'a fait Marcel dans L(x) = 2x+(0,02/x)
                                                                                                   L'(x) = 2-(0,02/x²)

Posté par Tetsuka Tetsuka

Ou sinon j'utilise plutôt 1/v avec v(x)=100x et v'(x)=100 donc (1/v)'= -100/100²x² puis je suis le même raisonnement?

Posté par jacqlouis jacqlouis

     Je ne sais plus où tu en es ?...

garde   f(x) = 2x + 0,02/x    --->   f(x)' =  2  - 0,02/x²
et continue ...

Posté par Tetsuka Tetsuka

L'(x) = 2 - 0,02/x²
= (2x²-0,02)/x²
= 2(x²-0,01)/x²
= 2(x²-0,1²)/x²
= [2(x-0.1)(x+0.1)]/x²

Mais je ne respecte pas l'énoncé...

Posté par jacqlouis jacqlouis

    Cela me semble tout-à-fait correct !  Pourquoi l'énoncé ?...

Posté par Tetsuka Tetsuka

Oups, petite différence que je n'avais pas remarqué.
Dans mon énoncé, il est écrit :
3) On considère le fonction f définie sur R* par f(x)=2x+2/(100x).
Etudier les variations de la fonction f

Posté par jacqlouis jacqlouis

    Je ne comprends pas tes réserves ...  
Mais je m'absente ... alors à demain , si tu veux ...

Posté par Tetsuka Tetsuka

Je suis bien perdu avec cette dérivée...

Posté par jacqlouis jacqlouis

(je rentre aussi)  Pourquoi ?..  Etudie son signe : tu as les racines du polynome, donc le signe est assez simple à déterminer ...

Posté par Tetsuka Tetsuka

Mon soucis est le calcul de la dérivée.
Mais je pense avoir trouvé, on a f(x)=u+1/v avec
u(x)=2x donc u'(x)=2
v(x)=100x donc v'(x)=100 et (1/v)'= -v'/v² = -100/10000x² sans oublier le x2 = -200/10000x² = -2/100x²
f'(x)=2-2/(100x²)
f'(x)=(200x²-2)/(100x²)
f'(x)=[2(100x²-1)]/(100x²)
f'(x)=[2(100x²-1²)]/(100x²)
f'(x)=[2(10x-1)(10x+1)]/(100x²)
f'(x) est donc du signe de (10x-1)(10x+1) Je fais mon tableau de signe avec 1/10 et -1/10 puis mon tableau de variation et je trouve bien mon minimum en 0.1

Posté par jacqlouis jacqlouis

    Excuse-moi, mais je ne vois pas de différence avec ce que tu avais écrit plus haut ?...
    (10x-1)*(10x+1) / 100  =  (x-1/10)*(x+1/10) =  (x-0,1)*(x+0,1)

C'est vraiment de la perte de temps ...

Posté par Tetsuka Tetsuka

Justement. Mon erreur était dans ma dérivée au départ, du moins comme je le voyais. Le reste était juste, hors mis l'erreur de factorisation.
Avant, pour moi v(x) était 1/x donc v'(x) = -1/x² que je multipliais par 2/100. L'exactitude est ce que j'ai écris en dernier. Sauf qu'en simplifiant, ca revient au même.

Quelle embrouille