Droite et Cercle d'Euler d'un triangle

Posté par Brucas77 Brucas77

Bonjour à tous ,

Je n'arrive pas du tout a faire mon exercice alors qu'il parait très simple...   J'espères que vous pourrez m'aider.
Voici l'énoncé :

Dans le plan P, soit ABC un triangle qui n'est pas équilatéral. On note H son orthocentre, G son centre de gravité et O le centre de son cercle circonscrit C .
On désigne respectivement par A', B' et C' les milieux des côtés [BC], [CA] et [AB] et par A,B et C sur les droites (BC), (CA) et (AB) .

A. La droite d'EULER d'un triangle
Le but de cette partie est de démontrer que les points O,G et H sont alignés.

1/ Faire une figure soignée (je l'ai faite)

2/ Soit h l'homothétie de centre G qui transforme A en A'.
a)Préciser le rapport de l'homothétie h et déterminer les images des points B et C par cette homothétie.
b)En utilisant les images par h des droites (AA1) et (BB1), déterminer l'image   par h du point H .
c) En déduire que les points O,G et H sont alignés et exprimer vectOH en fonction de vectOG .

3/a) Quelle est la droite d'Euler d'un triangle isocèle ?
b) La droite d'Euler d'un triangle peut-elle être confondue avec l'une de ses médianes ?
c) Deux triangles différents peuvent-ils avoir la même droite d'Euler ? Justifier


Voila si quelqu'un peut m'aider ca serait vraiment très gentil ! Merci

Posté par Brucas77 Brucas77

S'il vous plait , j'ai vraiment besoin de votre aide !

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

bonjour,

où est situé le centre de gravité d'un triangle (résultat de cours) ?

Posté par Brucas77 Brucas77

Il se situe au 2/3 des medianes donc GA' = 2/3 AA' ?

Posté par Brucas77 Brucas77

Et donc GB' = 2/3 BB' et GC' = 2/3 CC' !

Mais comment faire pour le b) ?

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

tout à fait... réponds déjà à la question 2a)...

rapport de l'homothétie de centre G qui transforme A en A'...

Posté par Brucas77 Brucas77

Ah oui mince et bien le rapport est 2/3 non ?

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

la réponse est non !

Posté par Brucas77 Brucas77

Ah !! Euh ... ba je ne sais pas pourrais-tu m'expliquer ?

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

2/3 est le rapport de l'homothétie de centre A qui transforme A' en G...

et ce n'est pas la question !

ah, au fait GA'=2/3*AA' est faux aussi !

Posté par Brucas77 Brucas77

Ah bon ? mince ba si c'est pas 2/3 c'est 1/3 !
Donc Ga' = 1/3 AA' et donc le rapport de l'homothétie est 1/3

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

Non !!!!!

Posté par Brucas77 Brucas77

Ba expliquer moi alors ...

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

fais un petit croquis annexe

tu dessine un segment AA'... et tu place le point G dedans... tu le places où ?

et si k est le rapport d'homothétie, alors tu dois avoir

détermine moi k

Posté par Brucas77 Brucas77

Ah ca y est j'ai compris ! Et bien GA' = 2GA donc k = 2

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

Non !

mais on progresse.

regarde sur ton dessin du (1) !!!!

tu trouves que GA' est le double de GA toi ?

Posté par Brucas77 Brucas77

Euh non lol ! En gros pour moi GA = 5cm et GA' = 2.6cm mais je ne trouve pas le rapport en fraction ! Ca me fait 13/25 c'est un peu gros je pense

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

il faut tenir compte de l'erreur de mesure et l'imprécision du dessin !

mais ton cours te donne les rapports exact...

en tous cas ça ne fait pas 2 !

Posté par Brucas77 Brucas77

Ok je vais rechercher dans mes cours et je te demanderai ! Merci déja pour le début

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

pas de quoi.

bon courage

mm

Posté par Brucas77 Brucas77

Euh le seul rapport que j'ai trouvé c'est 3/2 est-ce possible ?

Posté par Brucas77 Brucas77

Ce n'est pas ca ?

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

déjà, G est entre A et A'... alors revois la définition d'une homothétie !

Posté par Brucas77 Brucas77

Désolé de ne pas avoir répondu avant . Alors après mure réflexion j'ai trouvé que GA'= -1/3 GA soit GA'=1/3AG ! Ai-je bon ?

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

pour traduire une homthétie, il faut écrire des égalités entre vecteurs...

si tu veux parler du vecteur GA, tu n'as qu'à écrire vec(GA)

et non, le rapport n'est pas -1/3

Posté par Brucas77 Brucas77

Oui oui je parle des vecteurs désolé ! Ba je ne sais pas du tout alors ... Ca me désespère cette histoire ...

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

Bon, reprenons

le cours te dit que le centre de gravité est situé au deux tiers de la médiane, plus près de la base...

dessine au brouillon un segment AA' (par exemple de longueur 6 carreaux ou 6cm)

dans ce segment, place un point G, situé au tiers (ou au deux tiers !) plus près de A'...

c'est fait ?

maintenant exprime moi le vecteur vec(GA') en fonction de vec(GA)

Posté par Brucas77 Brucas77

Et bien vectGA' = 1/2vectGA

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

toujours faux... mais on brûle !

Posté par Brucas77 Brucas77

- 1/2 ?

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

ouiiiiiiiiiiiiiiii !
bien, alors réponds à la première question !

Posté par Brucas77 Brucas77

Et bien l'homothétie h a pour rapport -1/2 et donc
vectGB'= -1/2 vectGB

vectGC'= -1/2 vect GC

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

et donc finis de répondre à la question

Posté par Brucas77 Brucas77

Heu ... pour le b) je ne vois pas trop quelles sont les images des droites AA1 et BB1 par h .

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

je te demande de finir le 2a)

Posté par Brucas77 Brucas77

Et bien l'image B est B' et l'image de C est C'

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

bon...
tu peux écrire h(B)=B' et h(C)=C'

passons au 2b)

que sais tu de l'image d'une droite pas une homothétie ? (cours)

Posté par Brucas77 Brucas77

L'image d'une droite D par une homothétie est une droite D' parallèle a la droite D .

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

très bien

donc que sais tu de l'image par h de la droite (AA₁) ?

ET que sais-on de (AA₁)?

qu'en déduit-on pour son image ?

Posté par Brucas77 Brucas77

Ca y'est j'ai compris ! lol l'image de la droite (AA1) par h est la droite parallèle a celle-ci et passant par A' ! Idem pour la droite (BB1) sauf qu'elle passe par B' donc h(H) = O

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

c'est un peu rapide mais l'idée est là.

affine ton raisonnement : h(AA₁) est parallèle à (AA₁) et (AA₁) est ..?.. donc h(AA₁) est ...?... et elle passe par A' (image de A) donc h(AA₁) est ...?...

complète les pointillés

Posté par Brucas77 Brucas77

h(AA1) est parallèle à (AA1) et (AA1) est la hauteur de [BC] donc h(AA1) est la droite parallèle a (AA1) et elle passe par A' (image de A) donc h(AA1) est ... je ne sais pas pour le dernier

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

personnellement je dirais que comme (AA1) étant perpendiculaire à (BC), h(AA1), parallèle à (AA1) est aussi perpendiculaire à (BC)... et h(AA1) passe par A'=h(A), milieu de (BC),... donc h(AA1) est la ...

Posté par Brucas77 Brucas77

D'accord très bien ! Merci ! Mais ensuite comment demontrer l'alignement des points O,G et H ?

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

fais quand même un petit effort !

écris moi la relation vectoriel qui découle de ce que tu as démontré, à savoir h(H)=O

Posté par Brucas77 Brucas77

Exusez moi j'ai un peu de mal le soir ! Alors vectGO = -1/2 vect GH

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

bon... et tu ne peux rien déduire de cela ?

Posté par Brucas77 Brucas77

Ba les vecteurs GO et GH sont colinéaires donc les point O, G et H sont alignés ?

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

ben oui !
termine la question...