Récurrence Descendante

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 Récurrence Descendante Posté le 27-05-09 à 17:38
Posté par boostbasket boostbasket

Bonjour à tous,

Je souhaiterai savoir si ce raisonnement est correct :

P(n0) est vrai

On suppose le proposition vrai ua rang n

P(n-1) est vrai

La proposition est démontré pour tout n ?

Merci d'avance
 re : Récurrence Descendante Posté le 27-05-09 à 17:41
Posté par antho07 antho07

entre 0 et le rang ou on a initialisé
 re : Récurrence Descendante Posté le 27-05-09 à 17:42
Posté par darktitanj darktitanj

Bonjours

Oui, oui moi je pense que ta récurrence est bonne tu as P(n0) vraie et P(n)  P(n-1) donc ça tourne!
 Re Posté le 27-05-09 à 17:44
Posté par boostbasket boostbasket

Bonjour,

J'ai juste un petit doute car on si on démarre pour n = 1 et qu'on montre la récurrence descendante,on  sait que P(1) donne P(0) mais pourquoi P(1) donnerait P(2)   ?
 re : Récurrence Descendante Posté le 27-05-09 à 17:55
Posté par antho07 antho07

Si on initialise à , qu'on montre P(n)->P(n-1)  pour un n quelconque entre 0 et , on a montré la propriété pour tout n dans 
 Re Posté le 27-05-09 à 17:58
Posté par boostbasket boostbasket

Oui mais si j'initialise à no=1 ?
 re : Récurrence Descendante Posté le 27-05-09 à 18:21
Posté par erio erio

Fait la démonstration avec la propriété : P(n) : n est plus petit que pi

P(0) est vraie 0<pi

On suppose P(n) vraie (n>0)

soit encore n<pi

donc n-1<n<pi

Donc P(n-1) vraie

Je te laisse déduire si tous les nombres entiers sont plus petits que pi...
 RE Posté le 27-05-09 à 18:47
Posté par boostbasket boostbasket

D'accord, donc en fait la récurrence descendante marche exactement de la  même facon  que la  récurrence "normale"?
 re : Récurrence Descendante Posté le 27-05-09 à 18:59
Posté par erio erio

Oups! On ne se comprend pas...

Mon exemple était un contre-exemple : nn'implique pas du tout n<

Si tu montre l'implication P(n)P(n+1), pour nn0, et que tu initialise en démontrant P(n0), alors P(n) est vraie pour tout entier nn0

Si par contre tu montre l'implication P(n)P(n-1), pour nn0, et que tu initialise en démontrant P(n0), alors P(n) est vraie pour tout entier nn0

Dans ce deuxième cas, si tu travailles dans , tu vérifie P(n) pour 0nn0.
 RE Posté le 27-05-09 à 19:50
Posté par boostbasket boostbasket

Ainsi ma récurrence si j'initialise au rang n=0 n'a aucun sens ?
 re : Récurrence Descendante Posté le 27-05-09 à 20:01
Posté par erio erio

Sauf si (arrête-moi si je complique) tu travailles dans  et que tu désires démontrer une propriété pour les entiers négatifs, auquel cas seule une récurrence descendante partant de 0 fonctionne, puisque de proche en proche tu vérifies P(0),P(-1),P(-2),...

Mais si tu travailles dans , en partant de 0 et en "descendant" on ne va pas loin 
  Re Posté le 27-05-09 à 20:10
Posté par boostbasket boostbasket

C'est bien ce que je pensais. En fait je dois montré ma propriété a l'aide d'une dérivé en dérivant le rang supérieur, ce qui marche bien en  descendant mais pas tres bien dans l'autre sens puisquil faut intégrer et il y le probleme de la constante

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