majoration de l'erreur méthode d'Euler (leçon 81)

Posté par littlefleabass littlefleabass

Bonjour,

je prépare la leçon 81 : exemples d'approximation d'une solution d'une équation différentielle par la méthode d'Euler et je voudrais étudier dans une partie la convergence de la méthode et la majoration de l'erreur (pensez vous que c'est pertinent dans cette leçon??)

J'ai pris comme cadre le probème de Cauchy y'(x)=f(x,y(x)) et y(xo)=yo où f est une fonction C¹ de Ix dans où I est un intervalle de R non vide et non réduit à un point, l'hypothèse f C¹ permettant d'affirmer par le théorème de Cauchy Lipschitz que le problème de Cauchy admet une unique solution (j'ai vu aussi comme hypothèse localement lipschitzienne par rapport à la deuxième variable, mais j'ai préféré prendre plus simple même si l'hypothèse est plus forte ?? )
Dans le I je présente la méthode d'Euler : je note x_k+1=x_k+h où h est le pas et la suite des approximations (y_k) est définie par:
y₀=y(x₀) et y_k+1=y_k+hf(x_k,y_k)

J'aimerais dans le II présenter une majoration de l'erreur:
|y_k+1-y(x_k+1)|=|y_k+hf(x_k,y_k)-y(x_k+1)|=... et je ne vois pas comment continuer!! J'ai trouvé sur le net quelques démos mais elles partaient de l'hypothèse f k-lipschitzienne par rapport à la seconde variable.
Avez vous une idée de la suite de la démonstration??
Pour montrer la convergence de la méthode, je n'aurai plus qu'à utiliser la majoration obtenue??

Merci beaucoup et bon courage à ceux qui préparent cette leçon, c'est une de celles qui me pose le plus de souci personnellement !! (en analyse...)