Enigmo 115 : La bande de motards

Posté par jamo jamo

Bonjour,

(désolé, j'ai zappé d'une heure l'heure prévue)

c'est l'histoire d'une bande de 7 motards. Les réservoirs de leurs motos sont pleins, et chaque moto peut parcourir 250km avec le plein.
Les motos partent toutes ensembles. Elles ont le droit de s'échanger de l'essence en cours de route, autant de fois qu'elles le veulent. On suppose que l'opération d'échange d'essence ne change pas la consommation des motos.
Quand une moto n'a plus d'essence, elle s'arrête et laisse les autres poursuivre la route.
Ainsi, petit à petit, il ne restera plus qu'une seule moto.

Question : quelle distance maximale peut parcourir cette dernière moto ?

Petit ajout le 15/06 à 20H : pour la précision, au moins au km si nécessaire.

Remarque : pas de détournement d'énoncé, tout est clair, n'essayer pas de trouver des trucs du genre une seule moto roule et les autres sont attachées après elle. Toutes les motos utilisent leur moteur et consomment donc de l'essence en même temps.

Bonne recherche !

Question subsidiaire : d'où vient cette photo ?

Posté par castoriginal castoriginal

Bonsoir,

il s'agit d'éliminer les 6 motos des copains le plus vite possible pour qu'elles fassent le moins de kilomètres possibles pour favoriser la 7e.

Après le départ quand les motos ont consommé une quantité d'essence C1, on peut remplir 6 réservoirs avec le solde de la septième moto qui s'arrête; soit (plein - C1). Les 6 motos qui continuent recoivent chacune une quantité C1 pour faire le plein. on a (plein - C1)= 6C1   C1 a permis de parcourir 250km/7
De la même façon , on élimine la sixième moto pour en garder 5 après une consommation C2 de 250km/6.
Et ainsi de suite.
La distance totale parcourue par la moto qui restera en course la dernière est de:
Distance totale = 250(1/7+1/6+1/5+1/4+1/3+1/2+1)   soit 250(60+70+84+105+140+210+420)
                                                                                                420
On trouve alors 648,214km

Posté par 13or 13or

Salut jamo,
Réponse : 648,214 km

Calculé par : (1/7 + 1/6 + 1/5 + 1/4 + 1/3 + 1/2 + 1) * 250 km

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

Bonjour Jamo

Réponse : 9075/14 km environ égal à 648,214 km au mètre près

MM

Posté par torio torio

250 + 250/2 + 250/3 + 250/4 + 250/5 + 250/6 + 250/7  km

ce qui donne environ 648.2142857 km = 648'214 mètres (arrondi au mètre)

A+
Torio

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Je pense qu'il faut qu'une moto répartisse l'ensemble de ce qui lui reste parmi celles restant en course de manière à avoir des motos avec le plein.

Le première moto va parcourir 1/7 de 25o km et répartir les 6/7 restant dans les 6 motos restantes.
Idem pour la seconde : 1/6 de 250km et répartition des 5/6 restant dans les 5 motos restantes..

Idem pour le 6ème : 1/2 de 250 km et don de l'autre moitié à la dernière qui parcourt 250 km.

D = 250(1/7 + 1/6 + 1/5 + 1/4 ...+1/2 +1)= 1089*250/420= 648,21 km

Posté par yoyodada yoyodada

Bonjour Jamo ,

Sans être vraiment sûr que cela soit la solution optimale, je pencherais pour le schéma suivant:

En notant P le plein disponible (en litres) initialement dans chacune des motos:

-> Les 7 motards roulent de manière à dépenser P/7 litres.

Si l'on considère que la distance parcourue est proportionnelle au nombre de litres dépensés - sans quoi je crains qu'on ne puisse répondre... - les 7 motards ont alors parcouru 250/7 Km.

Le 7 ème motard verse alors son réservoir (soit 6P/7) de manière équitable à ses 6 camarades, P/7 litres pour chacun d'eux. Ils ont donc à nouveau leur réservoir plein, et le 7 ème motard reste en rade.

-> Ils roulent ensuite de manière à dépenser P/6 litres.

Ils parcourent donc 250/6 Km, et le 6 ème motard verse comme précédemment son réservoir - soit 5P/6 litres - dans ceux de ses 5 autres camarades, P/6 litres par personne.
Chacun d'eux a alors son réservoir à nouveau plein, et le 6 ème motard reste en rade.

On répète ainsi le processus jusqu'à ce que le dernier motard s'arrête.
Il s'arrête donc au bout d'une distance de :



soit environ 648,21 kilomètres.

Posté par daxtero daxtero

648 km

Posté par lolo248 lolo248

la dernière moto pourra parcourir au plus 496,09375 km exactement!

La technique pour atteindre ce score :
toutes les motos parcours la moitié de 250km, puis la septième moto donne son essence à la première.
La première moto à alors son réservoir plein et la septième moto s'arrête.
Les 6 motos restantes parcours alors le quart de 250 km, puis la sixième moto donne son essence à la première.
La première moto à alors son réservoir plein et la sixième moto s'arrête.
Les 5 motos restantes parcours alors le huitième de 250 km, puis la cinquième moto donne son essence à la première.
La première moto à alors son réservoir plein et la cinquième moto s'arrête.
...
Les 2 motos restantes parcours alors le soixante-quatre-ième de 250 km, puis la seconde moto donne son essence à la première.
La première moto à alors son réservoir plein et la seconde moto s'arrête.
La première moto parcours encore 250 km.

la distance maximale est donc 250+ 250/2 + 250/45 + 250/8 + 250/16 + ... c'est à dire

Posté par Daniel62 Daniel62

Bonjour Jamo,

ma réponse 648,214 km

le résultat exact:

   =

le principe:

la première moto s'arrête lorsqu'elle peut distribuer l'essence qui lui reste équitablement entre les 6 autres motos.
au bout de x km il lui reste (250-x)*c litres d'essence
(c est la consommation en litres par kilomètre)
les autres ont consommé ensemble 6x*c litres d'essence
on a donc (250-x) = 6x d'où x = 250/7
à chaque étape toutes les motos qui restent se retrouvent avec le plein
et ainsi de suite jusqu'à l'avant dernière qui fait 125 km avec son plein, donne la moitié d'un réservoir à la première, qui se retrouve avec un plein pour faire 250 km en plus.

Posté par manpower manpower

Bonsoir,

pour optimiser l'essence il faut minimiser à chaque fois le nombre de motos (le même trajet à 7 est plus "couteux" qu'à 6).
Ainsi, dès qu'une moto a parcouru une distance de 250/7 km, elle peut remplir complètement les réservoirs des 6 autres.
Et ainsi de suite, la seconde moto s'arrête après une distance parcourue de 250/6 km pour remplir les 5 autres réservoirs...

Ainsi la dernière moto en lice pourra parcourir une distance de =648,2142857... km.

Merci pour l'Enigmo.

^{Pour la question subsidiaire... mon réservoir est à sec !}

Posté par hypatie hypatie

Bonjour,

La dernière moto peut parcourir 496,095 km au maximum.

Je développerai ma réponse un peu plus tard.

Posté par Labo Labo

bonjour Jamo,
648 km , distance arrondie au km.

Posté par Nyavlys Nyavlys

La première halte a lieu quand la somme des 7 réservoirs a de quoi remplir les 6 réservoirs restant (1 motard va s'arreter).

Soit x1 la coordonnée de cette étape.
(250 - x1) * 7 = 6 * 250
x1 = 1/7 * 250

Je passe rapidement sur la suite, mais on arrive à une distance totale de :
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7
= 1/7 * 250 + 1/6 * 250 + 1/5 * 250 .... + 1/1 * 250
= (1/7 + 1/6 + 1/5 + 1/4 + 1/3 + 1/2 + 1) * 250
= 648 km
Merci pour l'énigme

Posté par hypatie hypatie

Bonsoir,

Voici quelques explications sur ma réponse.
La stratégie optimale consiste à privilégier une des motos pour qu'elle arrive le plus loin possible (disons la moto n°7).
A mi-chemin (à la borne 125), chaque moto a son réservoir à moitié vide. La moto n°1 donne alors ce qui lui reste à la moto n°7, qui repart avec un réservoir plein. Elle a parcouru 250/2=125 km.
Après avoir fait la moitié du chemin qui les séparent de la borne 250, chaque moto n'a plus qu'un quart de son réservoir sauf la moto n°7 qui a les 3/4. La moto n°2 donne alors ce qui lui reste à la moto n°7, qui repart à nouveau avec un réservoir plein. Elle a parcouru 250/4=62,5 km de plus.
Ainsi de suite, chaque bout de parcours fait la moitié du précédent, et un motard se sacrifie pour la moto n°7 qui aura effectué la moitié de son parcours précédent en plus.
Au dernier échange de carburant, la moto n°7 a de nouveau son réservoir plein et peut donc parcourir 250 km de plus.
A la fin, la moto n°7 a donc parcouru 250*(1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1)=250*127/64=496.093 km

Pour la question subsidiaire, je proposerais "Easy rider" ?

Posté par plumemeteore plumemeteore

Bonjour Jamo.
Le dernier motard aura parcouru 648 km.
Chaque motard s'arrête quand il a juste assez de carburant pour remplir les réservoirs des autres.
La réponse exacte est : 250 * (1/7 + 1/6 + 1/5 + 1/4 + 1/3 + 1/2 + 1).

Posté par pythamede pythamede

Je propose la réponse 648,214 km (9075/14)

Posté par dpi dpi

La limite du raisonnement donne 500 Km pour le motard élu.

Un réservoir donné ne peut contenir que le plein correspondant à 250 Km.
Si un premier motard se sacrifie pour donner une quantité de carburant ce ne sera jamais que le complément du réservoir de l'élu.
Tous les motards continueront à rouler dont à consommer la même quantité d'essence et au deuxième "ravitaillement " le même pb se posera on ne peut que compléter le réservoir de l'élu etc..
Chaque motard épuisera son réservoir soit par consommation nominale soit par "sacrifice"

Posté par matovitch matovitch

Bonjour !
Le dernier motard peut faire jusqu'à environ 648 km.

Posté par gloubi gloubi

Bonjour,

La dernière moto va parcourir un peu plus de 648,214 km, en supposant que les 7 motos aient la même consommation.

Le problème serait différent si l'une des motos avait un gros réservoir et une forte consommation,
et les 6 autres un petit réservoir et une faible consommation ...  

Merci pour l'Enigmo !  

Posté par veleda veleda

bonjour jamo
je propose =648,214km

soit L la distance qu'un réservoir plein permet de parcourir (L=250km)
*les 7 motards s'arrêtent aprés avoir parcouru une distance égale à
un motard se sacrifie et partage le carburant restant dans son réservoir entre les réservoirs des 6 autres  motos  ces motos repartent donc avec des réservoirs pleins
* nouvel arrêt aprés un parcours égal à
et nouveau sacrifice d'un motard qui partage entre les 5 autres le carburant qui lui reste soit lesd'un plein ces 5 motards repartent alors réservoirs pleins...........
la dernière moto  aura donc parcouru

merci pour cet enigmo dont je ne suis pas sure de donner la bonne solution

Posté par master_och master_och

Bonjour jamo

ma réponse est




j'ai pas bien compris cette phrase mais je pense que ca veut dire arrondir le resultat au kilometre près ? ma réponse est dans ce cas 648 km


voilà merci bien pour l'énigme que j'ai bien aimé

Posté par maxoumilou maxoumilou

je pence que la reponce et tou simplement 250 km puiske si il roule cote a cote il utilise le mm nombre de litre de carburent aprés je sui en pleinne revision pour le bac g un peu lesprit fatiguer

Posté par Rudi Rudi


Bonjour,

--------Réponse proposée---------
Distance parcourue par la dernière moto : 648,2 km (9075/14 km)

--------Méthode employée--------
J'appelle A l'autonomie de chaque moto, ici exprimée en km : 250 km (voir fig.1)
Pour que la distance parcourue par la dernière moto soit la plus grande possible, il faut que les autres motos consomment le moins possible leur essence, i.e. parcourent le moins possible de km et donnent leur essence le plus tôt possible.
Prenons le cas de la Moto7 au Point Kilométrique 1 (PK1) où elle a parcourue A/7 km : il lui reste alors 6A/7 km potentiels dans son réservoir
Comme chacune des six autres motos a également consommé A/7 km, il est alors possible de transvaser le sixième du réservoir de Moto7 dans les six autres motos afin que chacune d'elle ait son réservoir de nouveau plein.
Puis les six premières motos repartent, laissant Moto7 au PK1.

En appliquant ce raisonnement par récurrence aux PK2, PK3...PK6, la Moto1 aura son réservoir plein au PK6 et la distance parcourue par Moto1 sera alors de A(1/7 + 1/6 + 1/5 + 1/4 + 1/3 + 1/2 + 1)
On pourrait parler de Série Harmonique, de H7 = la septième somme partielle, de la Constante d'Euler-Mascheroni...

Sauf erreur de raisonnement ou de calcul

Rudy

Posté par Lilli Lilli

Bonsoir!

Sans certitude, je propose 9075/14 km soit environ 648 km.

Merci

Posté par PtitBH PtitBH

Bonsoir !

La dernière moto peut parcourir :
250(1/7 + 1/6 + 1/5 + 1/4 + 1/3 + 1/2 + 1) = 9075/14 = 648,2 km

Merci pour l'énigme.

Posté par evariste evariste

648 km arrondi au km.

Le  motard numéro 1 parcourt 250/7 km et d'arrête, ce qui permet de faire le plein des 6 autres motos.
Le  motard numéro 2 parcourt 250/6 km et d'arrête, ce qui permet de faire le plein des 5 autres motos.
Le  motard numéro 3 parcourt 250/5 km et d'arrête, ce qui permet de faire le plein des 4 autres motos.
Le  motard numéro 4 parcourt 250/4 km et d'arrête, ce qui permet de faire le plein des 3 autres motos.
Le  motard numéro 5 parcourt 250/3 km et d'arrête, ce qui permet de faire le plein des 2 autres motos.
Le  motard numéro 6 parcourt 250/2 km et d'arrête, ce qui permet de faire le plein de la dernière moto, qui peut encore parcourir 250 km. Au total elle aura donc parcouru :
250/7 + 250/6 + 250/5 + 250/5 + 250/3 + 250/2 250 = 648,214 km

Posté par dhalte dhalte

Bonjour
km

On part du principe que moins un motard qui doit de toutes façons abandonner fera de distance, plus son reliquat d'essence profitera aux autres, à condition que ce reliquat puisse être transvasé dans les réservoirs partiellement vides de ceux qui continuent.

Soient motards au réservoir plein, ils parcourent km. L'un d'eux s'arrête et déverse donc pour km dans les autres réservoirs, qui doivent pouvoir recevoir chacun pour km de réserve. Or ils en ont puisé , donc on doit avoir :

Les derniers motards repartent avec un réservoir plein.

1 motard parcourt km
2 motards parcourent km
etc...

Posté par LeDino LeDino

Bonjour,

La distance maximale parcourue par le dernier motard est de 648 Km.

1 motard avec le plein roule 1 plein (soit 250 Km).
2 motards avec le plein roulent 1/2 plein, puis l'un cède ce qui lui reste à l'autre.
3 motards avec le plein roulent 1/3 plein, puis l'un cède ce qui lui reste aux 2 autres.

Et ainsi de suite de proche en proche...

Au total, sept motards roulent :
250Km * (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7) = 648.21 Km

Merci pour l'énigme

Posté par tudul tudul

Ils font 250/7 km a 7 il leur reste alors chacun 6/7 de plein. le 1er motard remplit le reservoir de tout les autres à fond et s'arrete.
Ils font 250/6 km a 6 il leur reste alors chacun 5/6 de plein. le 2eme motard remplit le reservoir de tout les autres à fond et s'arrete.
Ils font 250/5 km a 5 il leur reste alors chacun 4/5 de plein. le 3eme motard remplit le reservoir de tout les autres à fond et s'arrete.
Ils font 250/4 km a 4 il leur reste alors chacun 3/4 de plein. le 4eme motard remplit le reservoir de tout les autres à fond et s'arrete.
Ils font 250/3 km a 3 il leur reste alors chacun 2/3 de plein. le 5eme motard remplit le reservoir de tout les autres à fond et s'arrete.
Ils font 250/2 km a 2 il leur reste alors chacun 1/2 de plein. le 6eme motard remplit le reservoir du dernier à fond et s'arrete.
Le dernier fait alors 250 km seul puis s'arrete.

Il aura donc parcouru 250/7 + 250/6 + 250/5 + 250/4 + 250/3 + 250/2 + 250km = 648.21km

Posté par pacou pacou

Bonjour, Jamo

La distance maximale que peut parcourir la dernière moto est 648 km.



Merci pour l'énigmo.

Posté par Francois86 Francois86

250x(1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7)=250x1089/420 = 648km au km près.

Posté par shboul shboul

250*(1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7)=648.21
soit 648 km à l'arrondi près

Merci encore, à la prochaine...

Posté par ptit_zeze ptit_zeze

Bonjour à tous,
c'est la première fois que je me lance dans ce genre de problème, j'espère que vous pardonnerez mes erreurs!
J'ai essayé de raisonner par "récurrence", en notant Tkm le total des kilomètres parcourus je trouve que:
Tkm=250+ 250/2p  où 1p5
soit Tkm=492.9375493km

Mes explications vous paraissent sûrement houleuses, je serais ravis d'être plus clair mais je ne trouve pas tout les symboles mathématiques sur l'ordinateur... je tacherai de faire mieux!

Posté par rezoons rezoons

Bonjour ,
je trouve 250(7-1/2-2/3-3/4-4/5-5/6-6/7) soit environ 648 Km.

Posté par celse celse

  Un peu de littérature. Bon alons y.

Les motars parcours le 1/7 de 250km . On vide le carburant restant d'une des motos dans le reste des vehicules. Etant donné qu' il reste 6/7 du carburant dans toutes les motos, après ce manège elles seront toutes pleines. On recommence avec le pacours du 1/6 de 250km.On vide encore le carburant d'une moto dans les autres. On reprend ainsi jusqu'à ce qu'il reste une moto.

            Selon le raisonnement la dernière moto doit parcourir: 250/7+250/6+250/5+250/4+250/3+250/2+250
Soit environ 648,142 km

Posté par maher_91 maher_91

bonjour,
après leur départ on va calculer la quantité d'essence qui reste dans le réservoir d'un motard parmi eux et qui peut être réparti équitablement entre les  autres..
donc cela revient à résoudre 250-x=n*x  6 fois avec n=6 puis n=5 ... n=1
ainsi à l'arrêt d'une moto, la moto censé continuer jusqu'à la fin va parcourir les xkm trouvés, et dés que le dernier motard reste seul il va repartir avec un réservoir plein.

et dans les 6 équations je trouve ces résultats : 35.714, 41.66, 50, 62.5, 83.33, 125 en faisant leur somme je trouve 398.204 et avec un réservoir plein à la fin la distance maximal sera 648.204 KM
merci

Posté par mauricette mauricette

862 km sauf erreur

Posté par spybot77 spybot77

1101km sans certitude ...          
                                          

Posté par thiblepri thiblepri

Bonjour,
Ma réponse est: 250*(2+3/8)=593.75 km , soit en tronquant au km: 593 km.

J'explique rapidement:
Au bout de 125km, trois motos donnent ce qui leur reste à trois autres. Il y a donc trois motos pleines et une à moitié remplie. On parcourt encore 62.5 km. A cet endroit une moto est 1/4 pleine et trois autres aux 3/4 pleines. Celle qui est 1/4 pleine donne son essence à une qui est aux 3/4 pleine. On a alors une moto pleine et deux motos pleines aux 3/4. La moto pleine va maintenant donner la moitié de ce qu'elle a dans le réservoir pour que les deux autres soit pleines. On a alors une moto à moitié pleine et deux motos totalement pleines. On parcourt de nouveau 62.5 km. On a à ce moment une moto à 1/4 pleine et deux motos à 3/4 pleines. On vide le réservoir de la moto 1/4 pleine de façon égale dans les deux autres réservoirs. On obtient alors deux motos remplies aux 7/8. On avance alors de 3/8*250=93.75km et une des deux motos donne tout ce qu'elle a (soit la moitié d'un réservoir) à l'autre moto. Ainsi cette dernière moto peut parcourir 250 km supplémentaires. On a donc parcouru au total: 250+250+93.75=593.75km.

Posté par bof bof

Je propose la réponse suivante : la dernière moto pourra parcourir au maximum 498km.

Posté par Laje Laje

En totalisant toutes les divisions :
250/7
250/6
250/5
etc ...
je trouve : 648,214 km

Posté par CrowPg CrowPg

Bon. Soyons fous. Je vais dire 496 km.

Posté par Maher_91 Maher_91

bonjour,
je trouve une distance maximale de 648.2 KM.

Posté par mediator mediator

Je dirais 1000km

Posté par Tersaken Tersaken

Mathématiquement, je ne saurais prouver rigoureusement le maximum recherché, cela reste une approche intuitive ...

Posté par Stef- Stef-

je pense sans conviction aucune que la dernière moto pourra parcourir au maximum 615km (résultat arrondi au km)

Posté par Tersaken Tersaken

Erf, je viens de voir que je me suis trompé d'indice dans la somme, la borne supérieure est 7, ce qui nous donne au final 648.214Km ~ 648 Km.
( Je crois ... )
Tant pis pour le poisson ^^

Posté par swip swip

lu,

je trouve 562.5km celui qui pourra aller le plus loin.  

Posté par juggernauth juggernauth

je propose ceci :
250/7 = 35.71
250/6 = 41.66
250/5 = 50
250/4 = 62.5
250/3 = 83.33
250/2 = 125
250/1 = 250

apres un nombre de km inversement proportionnel au nombre de motard restant ( voir au dessus ),
un motard rempli le reservoir des autres, evitant ainsi au maximum de gaspiller l'essence en vidant un reservoir dans les autres des que possibles .

en additionant le tout : 648.2 km

et voila !!