lecon 60

Posté par karatetiger karatetiger

Bonjour je travaille sur la leçon 60 et dans celle ci j'ai mis un théorème qui me parait complètement et je pense que c'est normal vu qu'il est complètement faux.
Le voici
Toute application f : I->I possède un point fixe.
Quelle sont les hypothèses à rajouter pour que ce théorème devienne vrai?

Merci

Posté par Zorrito2 Zorrito2

Bonjour

I est-t-il un intervalle de R ?

Penser à la continuité !

Posté par karatetiger karatetiger

Oui I intervalle de R donc si je rajoute continue ce théorème est vrai?

Posté par Zorrito2 Zorrito2

et de plus , I doit être fermé

Posté par karatetiger karatetiger

Cela me parait bizarre il existe plein de fonction continue sur des compatc tel que f(x)=x n'a pas de solution

Posté par Zorrito2 Zorrito2

Le théorème en question est le théorème du point fixe

Posté par karatetiger karatetiger

Donc il faut rajouer une condition de lipschitz

Posté par Zorrito2 Zorrito2

si I est un intervalle [a;b], avec b > a, prenons la fonction

f(x) - x
comme f est continue , f(x) - x est aussi continue

elle admet donc un minimum et un maximum sur [a ;b]

supposons que son minimum soit strictement positif, alors f(b) > b, donc f(b) n'appartient pas à [a ; b]

et si son maximum est strictement négatif , f(a) < a , et même raisonnement !

Posté par karatetiger karatetiger

J'ai rien compris où tu voulais en venir

Posté par Zorrito2 Zorrito2

Donc la fonction f(x) - x a un maximum positif sur [a;b] et un minimum négatif

il existe donc au moins une valeur de [a; b] pour lequel f(x)-x = 0

Posté par karatetiger karatetiger

Oui mais quelles hypothèses exactement met tu sur f?

Posté par Zorrito2 Zorrito2

simplement , continuité et définie sur [a ; b] et prend ses valeurs dans [a ; b]

Posté par karatetiger karatetiger

J'ai enfin tout remis dans l'ordre merci

Posté par scrogneugneu scrogneugneu

Ne faut-il pas que f soit contractante également ?

Posté par scrogneugneu scrogneugneu

On peut juste supposer f contractante plutôt.