Challenge n°71

Posté par puisea puisea

Bonjour, nouvelle énigme :

Combien y a-t-il de nombre de 1 à 10²⁰⁰² dont la somme des chiffres soit égale à 2 ?

--> explications recquises <--

Bonne chance à tous

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Le nombre de chiffres maxi (10²⁰⁰²exclu qui ne convient pas d'ailleurs!) est de 2002.
1er cas : le nombre ne contient qu'un chiffre 2
il y a 2002 façons de le placer (le reste est rempli de zéros).
2ème cas : le nombre contient deux fois le chiffre 1
Il y a 1001 * 2001 façons de placer ces deux 1(le reste est rempli de zéros), soit 2 003 001.

Le nombre total de nombres cherchés est donc égal à :2 005 003

Posté par isisstruiss isisstruiss

Comme les nombres sont écrits avec les chiffres {0,1,2,...,9}, et que la somme des chiffres vaut 2, on peut conclure que ces nombres sont composés soit d'un chiffre 2 et un certain nombre de chiffres 0, soit deux chiffres 1 et un certain nombre de chiffres 0.

Cas 1: Le nombre est composé d'un chiffre 2 et de chiffres 0.
Le plus grand nombre dans ce cas et dans l'intervalle est
Le plus petit nombre sous les mêmes hypotèses est
Il s'agit donc de compter toutes les possibilités de placer le chiffre 2 dans 2002 urnes qui est .

Cas 2: Le nombre est composé de deux chiffres 1 et de chiffres 0.
Le plus grand nombre dans ce cas et dans l'intervalle donné est et le plus petit .
Il s'agit donc de compter toutes les possibilités de placer les chiffre 1 et 1 dans 2002 urnes qui est .

Les nombres avec ces propriétés là sont donc au nombre de 2003001+2002=2005003

Isis

Posté par instinct (invité)

Je constate que 10 ²⁰⁰² a 2003 chifres et ne convient pas.
Les autres nombres ont 2002 chiffres au maximum.
Deux façons d'obtenir 2 ; soit un seul 2 et des zéros (avant et après), soit deux 1 et des zéros (avant et après).

Il ya 2002 façons de placer un seul chiffre 2.
Pour les chiffres 1, il faut calculer les combinaisons C(2002,2)= 2002 !/ (2000!*2!)=2 003 001

Au total 2 005 003 nombres de 2002 chiffres maxi dont la somme des chiffres est 2

Posté par philoux (invité)

Bonjour,

Réponse : 2 005 003

Explications :
Une somme égale à 2 peut s'obtenir de deux façons :
a) 0+2
b) 1+1
Cherchons la quantité de nombres dans chacun des cas précédents.
Etant donné le grand champ d'analyse [1, 10²⁰⁰²], décomposons-le en intervalles de [10ⁿ, 10ⁿ⁺¹[ : il y a donc 2002 intervalles plus la valeur 10²⁰⁰² qui n'est pas à retenir.

a) 0+2
Dans chaque intervalle [10ⁿ, 10ⁿ⁺¹[, il n'y a qu'un seul nombre qui s'écrit 2.10ⁿ.
Il y a 2002 intervalles donc 2 002 valeurs qui s'écrivent avec un 2 et des zéros.
Par ailleurs, le dernier nombre 10²⁰⁰² n'est pas à retenir.

b)1+1
Dans chaque intervalle [10ⁿ, 10ⁿ⁺¹[, le chiffre le plus à gauche doit valoir 1, sinon le nombre appartiendrait à un intervalle précédent.
Reste à placer le deuxième chiffre 1 sur les (n-1) autres places à droite du nombre;
il y a donc (n-1) possibilités pour chaque intervalle [10ⁿ, 10ⁿ⁺¹[
Par ailleurs, le dernier nombre 10²⁰⁰² n'est pas à retenir (un seul chiffre 1).
En sommant ces possibilités, on a : 0+1+2+...+(2002-1)
qui est égal à (2002-1)(2002-1+1)/2 = 2001.2002/2 = 2 003 001 valeurs

La somme totale de nombres répondant à la condition est alors de 2 002 + 2 003 001 = 2 005 003

Merci pour l'énigme

Philoux

Posté par gilbert (invité)

Il ne peux y avoir que deux cas pour une somme de 2.
soit deux chiffres "1", soit un chiffre "2".
Les nombres ont 2002 chiffres au maximum. Seul le plus grand comporte 2003 chiffres mais la somme est 1, donc je n'en tiens pas compte.
nb avec deux "1" : combinaison de 2 positions parmi 2002, donc n!/(p!(n-p)!)= 2001 * 1001 = 2003001
nb avec un "2" : choix d'une position parmi 2002 = 2002

le nombre total est : 2 005 003

Posté par xWiBxRaYmAn0o7x (invité)

Le seul moyen que la somme des chiffres fasse 2 c'est que il n'y ait que des 0 et un 2 ou que des 0 et deux 1 ( si si je vous assure )

pour un nombre de 2001 chiffres il a :
- 2001 facons de placer un 2 et que des 0
- (2001*2000)/2=2001*1000=2001000 facons de placer deux 1 et que des 0.

Soit un total de ... 2001 + 2001000 = 2003001

Posté par rachmaninof (invité)

j'ai commencé par écrire les premiers nombres dont la somme des chiffres vaut 2.
2,11,20,101,110,200,1001,1010,1100,2000,...,
je remarque alors que c'est une suite organisée qui alterne des nombres contenant uniquement un 2 et des 0 et des nombres contenant deux 1 et des 0.
je remarque alors que les nombres contenant deux 1 et des 0 qui ont le meme nombre de chiffres sont au nombre de chiffre qu'ils contienent moins 1.les nombres contenant uniquement un 2 et des 0 qui ont le meme nombre de chiffre  sont au nombre de 1. le dernier terme de cette suite est le nombre 20...0 qui contient 2001 zéros.
si l'on veut connaitre le nombre d'éléments de cette suite on se rend compte qu'il faut calculer la somme      
S=1+2+3+4+...+2001 et lui ajouter 2002 (nombre de nombres contenant uniquement un 2 et des 0). ce qui donne:
2002+(2001*2002)/2=2005003
la réponse est donc 2005003.

Posté par PolytechMars (invité)

Bonsoir,
est un  nombre a 2003 chiffres. Mais ne repond pas a la question donc considerons tous les nombres a 2002 chiffres. Pour avoir une somme egale a 2, il faut soit un 2 et que des 0 ou soit deux 1 et que des zeros. Par consequent le nombres de possibilités est egal a :
2002C2+2002C1 = 2005003 (C etant les combinaisons)

Miaouw

Posté par Lopez Lopez

les nombres entiers dont la somme des chiffres est 2 sont de la forme :
(1) 2 ; 20 ; 200 ; 2000 ....
(2) 11 ; 101 ; 110 ; 1001 ; 1010 ; 1100 .....

pour ceux de la forme (1), 1 p n
10^p = 1010^p-1 = 2510^p-1 > 210^p-1
donc 210^p-1 < 10^p
pour p compris entre 1 et n, des nombres de la forme 210^p-1 il y en a n

pour ceux de la forme (2)
à 2 chiffres (2 un et 0 zéro) : il y a 1
à 3 chiffres (2 un et 1 zéro) : il y en a 2
à 4 chiffres (2 un et 2 zéros) : il y en a 3
un nombre inférieur à 10ⁿ aurait au maximum 2 un et (n-2) zéros et pour un tel nombre il y en a n-1
pour des nombres < 10ⁿ , il y 1 + 2 + 3 + ... + n-1 =

le nombre total c'est S = n + =

pour n = 2002 , S = 2 005 003

Posté par Anthony Anthony

aucun !

en effet : de 1 a 10²⁰⁰² les chiffre donc la somme est égales a 2 sont 1 et 1

mais de 1 a 10²⁰⁰² il n'y ya que un 1 (compris   ? )

sinon il y a 0 et 1 mais dans 1 a 10²⁰⁰² ya pas de zero donc voila

  En esperant pourvoir ouvir une belle poissonnerie

Posté par manpower manpower

Préliminaire:
Tout d'abord est un nombre à 2003 chiffres dont l'écriture décimale est :

C'est le premier des nombres à 2003 chiffres et il n'est pas solution du problème.

Ainsi, on peut considérer que tous les nombres, solutions du problème, de 1 à s'écrivent avec 2002 chiffres,
quitte à les écrire avec autant de zéros inutiles que nécessaire...
Par exemple, les premiers sont :






...

Résolution:
Enfin pour répondre au problème, il s'agit de dénombrer les nombres dont la somme des chiffres vaut 2, soient ceux s'écrivant avec un 2 et 2001 zéros, ou deux 1 et 2000 zéros.  ( car 0+2=2 et 1+1=2 sont les deux seules solutions dans de a+b=2 )
Pour les nombres s'écrivant avec un 2 et 2001 zéros:
Il suffit de choisir la place du 2 parmi les 2002 places, donc = possibilités.
Pour les nombres s'écrivant avec deux 1 et 2000 zéros:
Il suffit de choisir les deux places des chiffres 1 parmi les 2002 places, donc = = = possibilités.

Conclusion: Il y a exactement + = nombres de 1 à dont la somme des chiffres vaut 2.

Posté par paysan77 (invité)

bijour alors g trouvé 2005003.
il fau conmpter le nombre de nombre de 10^2002 a 2 qui sont de la forme 1 XXXXXX 1 et les nombres de la forme 2XXXXX.
exemple de 2 a 10^3 3 il y en a trois il y a donc le meme nombre de nombre que la puissance d'ou 2002 + la somme de la premire forme et  on trouve donc une suite de raison 1 et en faisant la somme nous trouvons 2002 +2001 ...+2 ce qui nous donne 2002*2003/2 =2005003

j'aurai essayé

Posté par lolux (invité)

on sait que 10^2002 est compose de 2003 chiffres.
On recherche ensuite la somme des chiffres pour caque puissance de dix jusqu'a 2002: soit
pour la puissance de

0   on trouve 1 nombre satisfaisant cette propriete
1   on trouve 2 nombres satisfaisant cette propriete
2   on trouve 3 nombres satisfaisant cette propriete
3   on trouve 4 nombres satisfaisant cette propriete
4   on trouve 5 nombres satisfaisant cette propriete
5   on trouve 6 nombres satisfaisant cette propriete
n   on trouve n+1 nombres satisfaisant cette propriete
donc sil'on va jusqu'a une puissance de 2002
on trouve 2002 nombres (en effet 10^2002 ne satisfait pas a cette propriete)


Donc on fait 1+2+3+4+5+6+........+2002

soit 2002*2003 letout sur2

           et on trouve       2005003  

Posté par borneo borneo

Explication :
pour x< 10¹ (c.a.d 10) on trouve 2 (un nombre)
pour x< 10² (c.a.d 100) on trouve 2,11, 20 (3 nombres)
pour x< 10³ (c.a.d 1 000) on trouve 2, 11, 20, 101, 110, 200 (3 + 1 + 2 = 6 nombres)
pour x< 10⁴ (c.a.d 10 000) on trouve 2, 11, 20, 101, 110, 200, 1001, 1010, 1100, 2000  (6 + 1 + 3 = 10 nombres)
Je remarque qu'à chaque nouvelle puissance de 10, on ajoute un nombre qui commence par 2, et (n-1) nombres qui commencent par 1, c.a.d qu'on ajoute 1 + n -1, donc simplement n.
pour x< 10ⁿ , on trouve 1 + 2 + 3 + ..........jusqu'à n.
On a donc une suite arithmétique S = n(n+1)/2 (merci Mémobac première... on ne devrait jamais rien jeter)
et pour x< 10²⁰⁰²  on trouve 2002*2003/2 = 2 005 003
Voili voilà

PS pour une bonne présentation des résultats, c'est plus facile de les saisir sur word, et de les copier ensuite....

Posté par papou_28 (invité)

Un nombre compris entre 1 et 10^2002 est composé de 2003 chiffres.
Il y a deux possibilités pour que la somme des chiffres fassent 2.
1er cas : Le nombre possède un 2 et le restant de ces chiffres sont des zéros.
ces nombres dans l'ordre décroissants sont : 2*10^2001 ; 2*10^2000 , ..... , 2 x 10 , 2x10^0.
Il y a exactement 2002 nombres possibles.

2ème cas : le nombres est composé exactement de deux chiffres 1 et le restant des chiffres sont des 0.
Plaçons le 1er chiffre 1. Il y a 2003 possibilités.
Soit on le place en première position, on obtient 10^2002, soit on le place en dernière position, on obtient 1.
Quand le premier chiffre 1 est placé, on a ensuite 2002 manières de placer le deuxième chiffre 1.

Comme l'ordre n'est pas important (ex : si on place le chiffre 1 à la position 4 puis le deuxième chiffre 1 à la position 7, cela revient à placer le chiffre 1 à la position 7 puis le deuxième chiffre 1 à la position 4)
Le nombre de possibilités est une combinaison de
(2003,2)= 2 005 003
On a 2 005 003 nombres composés exactement de deux chiffres 1 et du reste des zéros.

Bilan il suffit de sommer les résultats des deux cas:
2 005 003 + 2002 = 2 007 005
En tout il existe 2 007 005 nombres compris entre 1 et 10^2002 dont la somme des chiffres est égale à 2.

Posté par Justin Justin

Il y en a 2002 de la forme 2 suivi de n O : 2,20,200,2000,20000,etc.

Il y en a 2001 de la forme 11 suivi de n 0 :
11,110,1100,1100,11000,etc.

Il y en a 2000 de la forme 101 suivi de n 0 :
101,1010,10100,101000,1010000,etc.

Il y en a 1999 de la forme 1001 suivi de n 0 ;
1001,10010,100100,1001000,etc.

etc.

On peut donc additionner 2002+2001+2000+1999...+1 = 2002*2003/2 = 2005003.

La reponse est donc 2005003 nombres de 1 à 10^2002 dont la somme des chiffres soit égale à 2.

Posté par TAT (invité)

du 1 a 10^ il y a 1 nombre
du 10^1+1 a 10^2 il y a 2 nombres: 11 et 20
du 10^2+1 a 10^3 il y a 2 nombres: 101 et 200
....
=> il y a 2001*2 +1 = 4003 nombres

Posté par laurrre laurrre

quand on prend une dizaine, il y a toujours un nombre dont la somme des chiffres est égale à deux. donc il y en a 10 pour 10^2.
On en déduit qu'il y en a 10^2001 pour 10^2001

Posté par paltan (invité)

Un nombre dont la somme des chiffres vaut 2 contient soit un chiffre 2 et des zéros, soit deux chiffres 1 et des zéros.
avec un chiffre 2: il y a 2, 20, 200, 2000, ... donc 2001 nombres.
avec deux chiffres 1: il y a 11, 101, 110, 1001, 1010, 1100, ... il y a donc 1 nombres dans les dizaines, 2 dans les centaines, 3 dans les milliers ... donc 2001*2002/2 nombres.
Total: 2 005 002 nombres.

Posté par soucou soucou

Bon je me lance,

Je pense que les seuls cas possibles sont lorsque le chiffre en question est composé exclusivement de et de deux ou un .

ce qui donne

Je dirais donc , enfait je n'en sais rien !

Posté par doc_78 doc_78

Entre 1 et 10, il y en a 1 (le2)
Entre 10 et 100, il y en a 2 (le 11 et le 20)
Entre 100 et 1000, il y en a 3 ( le 101, le 110 et le 200)
Entre 10³ et 10⁴, il y en a 4 (1001, 1010, 1100, 2000)
Et ainsi de suite, soit n +(n-1)+(n-2)+...+1 possibilités pour une puissance nième de 10. Donc au total, il s'agit de , soit la somme des 2002 premiers termes non nuls d'une suite arithmétique de raison 1.
TOTAL :
T =

T = 2005003

Posté par supermadchen supermadchen

je pense que la réponse est 1

Posté par Yalcin (invité)

Bonjour

On a que des nombres de la forme (10^m+1)*(10^k)

Donc les nombres de la forme :  

(10^0+1)*(10^k);

(10^1+1)*(10^k);

(10^2+1)*(10^k);....;(10^2001+1)*(10^k).

Détérminons le nombre alors :

de la forme (10^0+1)*(10^k) = 2*(10^k)

ici k commence par 0 et fini par k_max.

Or k_max < (ln((10^2002)/(10^0+1))/ln(10))=2001.698...

donc 0<=k<=2001

de la forme (10^1+1)*(10^k)

k_max < = (ln((10^2002)/(10^1+1))/ln(10))=2000.958...

donc 0<=k<=2000

de la forme (10^2+1)*(10^k)

donc 0<=k<=1999

ainsi de suite :

donc la forme de k_max c'est:

0<=k<=ceil((ln((10^2002)/((10^m)+1)))/(ln(10))-1)

pour , m=0..2001

pour m=2001 on a bien sûr juste k=0

donc on a le nombre qu'on veut S=1+2+3+...+2002=(2002*2003)/2=2005003

Donc il y'a "2005003" nombres de 1 à 10^2002 dont la somme de chiffres est de "2"

Cordialement Yalcin

Posté par jacko78 (invité)

Voici mon raisonnement :

Dans un premier temps regardons les premieres puissances de 10 :

- Entre 10⁰ et 10¹, soit donc entre 1 et 10, on a une seule possibilité qui est 2.
- Entre 10¹ et 10², soit donc entre 10 et 100, on a deux possibilités qui sont 11 et 20.
- Entre 10² et 10³, soit donc entre 100 et 1000, on a trois possibilité qui sont 101, 110 et 200.

(A chaque fois on ait autant de possibilités de place du deuxieme "1" qu'il y a de zéros dans le chiffre, plus la possibilité du 2 suivi de plusieurs 0).

Ensuite, on deduit ces observations pour tout n :

Finalement en réiterant ce raisonnement 2002 fois (par recurrence), on obtient que le nombre P de possibilités pour le probleme cherché pour 10ⁿ vaut P=n+(n-1)+(n-2)+...+1.

Résultat :

P=
P=
P= possibilités

Posté par carie0199 (invité)

yen a 2

Posté par puisea puisea

Merci à tous pour votre participation, la réponse était 2 005 003, eh oui tant que ca . Prochaine énigme dans un court instant.