serie de fonctions

Forums

» » » »

serie de fonctions

Posté le 29-06-09 à 23:22

Posté par papendiaye

la convergeance simple de la serie de fonction :fn(x)= x/(n^2 + x^2)

re : serie de fonctions

Posté le 29-06-09 à 23:26

Posté par girdav

Bonsoir.
L'ensemble des $x$ pour lesquels la série de terme général $\frac{x}{x^2+n^2}$ est $\mathbb{R}$ tout entier (on le prouve via une majoration du terme général).

re : serie de fonctions

Posté le 29-06-09 à 23:31

Posté par papendiaye

bonsoir
on me demande de donner la fonction f sur laquelle elle converge simplement.

re : serie de fonctions

Posté le 30-06-09 à 13:12

Posté par girdav

La série converge simplement sur un ensemble, pas une fonction.

re : serie de fonctions

Posté le 30-06-09 à 14:02

Posté par amauryxiv2

Développe chaque fn en série entière et inverse le deux

re : serie de fonctions

Posté le 30-06-09 à 14:48

Posté par elhor_abdelali

Bonjour ;

Une idée : tu peux suivre les étapes suivantes

$\fbox{1}$ $x\to F_n(x)=\frac{1}{2}\Bigsum_{k=1}^n\ell n(1+\frac{x^2}{k^2})$ converge simplement sur $\mathbb{R}$ vers une fonction $F$ .

$\fbox{2}$ $x\to F_n^'(x)=\Bigsum_{k=1}^n\frac{x}{x^2+k^2}$ converge uniformément sur $\mathbb{R}$ vers ta fonction $f : x\to\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\frac{x}{x^2+n^2}$

le cours te permet alors de conclure que $F^'=f$

$\fbox{3}$ exprimer $F$ à l'aide de fonctions usuelles puis déduire $f$

_{sauf erreur bien entendu}

re : serie de fonctions

Posté le 30-06-09 à 19:26

Posté par elhor_abdelali

papendiaye >> connais tu les séries de Fourier ?

re : serie de fonctions

Posté le 30-06-09 à 19:42

Posté par elhor_abdelali

Si oui tu arrives assez facilement à montrer que $4$\fbox{\forall t\in\mathbb{R}\;,\;coth(t)-\frac{1}{t}=\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\frac{2t}{t^2+n^2\pi^2}}$

et donc que $5$\blue\fbox{\forall x\in\mathbb{R}\;,\;\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\frac{x}{x^2+n^2}=\frac{\pi}{2}\left(coth(\pi x)-\frac{1}{\pi x}\right)}$

Sinon je crois qu'il va falloir chercher un moyen plus élémentaire (niveau sup) pour établir le résultat ci-dessus

_{sauf erreur bien entendu}

Répondre à ce sujet

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster

Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de maths

analyse en post-bac
15 fiches de mathématiques sur "analyse" en post-bac disponibles.