Sommes trignonometrique du type cos(kx+y)
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Sommes trignonometrique du type cos(kx+y)
Posté le 30-06-09 à 20:20
Posté par 
olsapass olsapass
Bonjour
Je voudrais vérifier mon résultat :
Enoncé : Calculer :
Soit x,y appartenant à
et n à 
n
cos(kx+y)
k=0
Je trouve après etude de la partie reelle de ei(kx+y) avec la somme d'une suite geometrique de raison eix , puis avec l'utilisation de "l'angle moitié" et enfin en reconnaissant les expression du sinus et du cos :
sin((n+1)*x/2) cos(n*x/2)
_______________________
sin(x/2}
olsapass olsapassBonjour
Je voudrais vérifier mon résultat :
Enoncé : Calculer :
Soit x,y appartenant à
et n à n
cos(kx+y)k=0
Je trouve après etude de la partie reelle de ei(kx+y) avec la somme d'une suite geometrique de raison eix , puis avec l'utilisation de "l'angle moitié" et enfin en reconnaissant les expression du sinus et du cos :
sin((n+1)*x/2) cos(n*x/2)
_______________________
sin(x/2}
re : Sommes trignonometrique du type cos(kx+y) Posté le 30-06-09 à 20:58
Posté le 30-06-09 à 20:58Posté par girdav girdav
Bonsoir.
Je crois que vous avez oublié le
car le résultat annoncé ne dépend pas de 
.
girdav girdavBonsoir.
Je crois que vous avez oublié le
re : Sommes trignonometrique du type cos(kx+y) Posté le 30-06-09 à 21:34
Posté le 30-06-09 à 21:34Posté par elhor_abdelali elhor_abdelali 
JR >> : je suppose que tu as voulu écrire\Bigsum_{k=0}^{n}cos(kx)=\frac{1}{2}\Bigsum_{k=0}^{n}sin(\frac{2k+1}{2}x)-sin(\frac{2k-1}{2}x)})
et par téléscopie\Bigsum_{k=0}^{n}cos(kx)=\frac{1}{2}\left(sin(\frac{2n+1}{2}x)+sin(\frac{x}{2})\;\right)})
bonne idée !
elhor_abdelali elhor_abdelali JR >> : je suppose que tu as voulu écrire
et par téléscopie
bonne idée !
re : Sommes trignonometrique du type cos(kx+y) Posté le 01-07-09 à 01:23
Posté le 01-07-09 à 01:23Posté par olsapass olsapass
merci pour les réponses
mais je n'y arrive pas , qqun pourrait me donner une esquisse du raisonnement à suivre?
( Une méthode générale pour résoudre ce genre de question? )
olsapass olsapassmerci pour les réponses
mais je n'y arrive pas , qqun pourrait me donner une esquisse du raisonnement à suivre?
( Une méthode générale pour résoudre ce genre de question? )
re : Sommes trignonometrique du type cos(kx+y) Posté le 01-07-09 à 08:12
Posté le 01-07-09 à 08:12Posté par J-R J-R
ehlor : oui en effet
l'idée n'est pas de moi
olsapass : tu parles de sommes quelconques ? ou celle là avec de la trigo ?
trigo : passage en complexe c'est souvent bourrin mais ça marche.
dans le cas général, il faut s'exercer.
@+
J-R J-Rehlor : oui en effet
l'idée n'est pas de moi
olsapass : tu parles de sommes quelconques ? ou celle là avec de la trigo ?
trigo : passage en complexe c'est souvent bourrin mais ça marche.
dans le cas général, il faut s'exercer.
@+
re : Sommes trignonometrique du type cos(kx+y) Posté le 01-07-09 à 12:40
Posté le 01-07-09 à 12:40Posté par olsapass olsapass
Ok , mais je n'arrive toujours pas a résoudre cet exercice , la technique "par telescopie" m'est aussi inconnue.
Pourrais tu me montrer comment arriver au résultat fourni par elhor
olsapass olsapassOk , mais je n'arrive toujours pas a résoudre cet exercice , la technique "par telescopie" m'est aussi inconnue.
Pourrais tu me montrer comment arriver au résultat fourni par elhor
re : Sommes trignonometrique du type cos(kx+y) Posté le 01-07-09 à 12:51
Posté le 01-07-09 à 12:51Posté par J-R J-R
on a :
cos(b)=\frac{1}{2}(sin(a+b)-sin(b-a)))
ici :
a <->
b <-> kx
d'où le premier encadré.
dès lors, on a bien une somme télescopique (tu vois en explicitant ta somme que les termes vont deux à deux se simplifier : il ne vas rester que les deux termes extrêmes) d'où le second encadré.
J-R J-Ron a :
ici :
a <->
b <-> kx
d'où le premier encadré.
dès lors, on a bien une somme télescopique (tu vois en explicitant ta somme que les termes vont deux à deux se simplifier : il ne vas rester que les deux termes extrêmes) d'où le second encadré.
re : Sommes trignonometrique du type cos(kx+y) Posté le 01-07-09 à 12:55
Posté le 01-07-09 à 12:55Posté par gui_tou gui_tou
Bonjour,
Perso je suis toujours passer par la forme exponentielle, que ce soit pour la somme des ch(ax+b) ou des sin(ax+b). Même si les astuces des formules de trigo sont élégantes, quand on début mieux vaut la forme exponentielle, ça fait moins magique.
gui_tou gui_touBonjour,
Perso je suis toujours passer par la forme exponentielle, que ce soit pour la somme des ch(ax+b) ou des sin(ax+b). Même si les astuces des formules de trigo sont élégantes, quand on début mieux vaut la forme exponentielle, ça fait moins magique.
re : Sommes trignonometrique du type cos(kx+y) Posté le 01-07-09 à 15:04
Posté le 01-07-09 à 15:04Posté par olsapass olsapass
Merci beacoup , je vois mieux ! il faut en effet maitriser les formules de trigo
Dans le cours que j'ai, la methode utilisé est l'exponentielle , qqun pourrait me donner l'idée du raisonnement a suivre?
olsapass olsapassMerci beacoup , je vois mieux ! il faut en effet maitriser les formules de trigo
Dans le cours que j'ai, la methode utilisé est l'exponentielle , qqun pourrait me donner l'idée du raisonnement a suivre?
re : Sommes trignonometrique du type cos(kx+y) Posté le 04-07-09 à 18:18
Posté le 04-07-09 à 18:18Posté par gui_tou gui_tou
Tu écris :
=\rm{Re}\(e^{i(kx+y)}\))
et tu utilises la propriété "la somme des parties réelles = la partie réelle de la somme"
ensuite tu mets exp(y) en facteur, puis utilise la somme des termes d'une suite géométrique de raison exp(ix)
gui_tou gui_touTu écris :
et tu utilises la propriété "la somme des parties réelles = la partie réelle de la somme"
ensuite tu mets exp(y) en facteur, puis utilise la somme des termes d'une suite géométrique de raison exp(ix)
re : Sommes trignonometrique du type cos(kx+y) Posté le 04-07-09 à 22:38
Posté le 04-07-09 à 22:38Posté par gui_tou gui_tou
Je pose :=\Bigsum_{k=0}^n\cos(kx+y))
![3$S_n(x)=\rm{Re}\[\Bigsum_{k=0}^ne^{i(kx+y)}\]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3$S_n(x)=\rm{Re}\[\Bigsum_{k=0}^ne^{i(kx+y)}\])
Je pose à nouveau :=\Bigsum_{k=0}^ne^{i(kx+y))
=e^{iy}\Bigsum_{k=0}^ne^{ikx)
=e^{iy}\Bigsum_{k=0}^n(e^{ix})^k)
=e^{iy}\times{4$\fr{1-e^{i(n+1)x}}{1-e^{ix}})
pour ![3$x\not\equiv0\ [2\pi]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3$x\not\equiv0\ [2\pi])
Or=-2i\sin\(\fr{x}{2}\)e^{i\fr{x}{2)
d'où
=e^{iy}\times{4$\fr{-2i\sin\(\fr{(n+1)x}{2}\)e^{i\fr{(n+1)x}{2}}}{-2i\sin\fr{x}{2}e^{i\fr{x}{2)
pour
On simplifie par -2i, on regroupe les exponentielles et on obtient :
=e^{i(y+\fr{n}{2}x)}\times{4$\fr{\sin\(\fr{(n+1)x}{2}\)}{\sin\fr{x}{2})
pour
Pour retomber sur)
, on prend la partie réelle :
=\cos\(y+\fr{n}{2}x\)\times{4$\fr{\sin\(\fr{(n+1)x}{2}\)}{\sin\fr{x}{2})
pour
Sauf erreur !
gui_tou gui_touJe pose :
Je pose à nouveau :
Or
On simplifie par -2i, on regroupe les exponentielles et on obtient :
Pour retomber sur
Sauf erreur !
re : Sommes trignonometrique du type cos(kx+y) Posté le 04-07-09 à 23:31
Posté le 04-07-09 à 23:31Posté par olsapass olsapass
Merci beacoupp !!
Cette methode est beacoup plus adequate vis a vis de mes connaissances
Merci tout le monde
olsapass olsapassMerci beacoupp !!
Cette methode est beacoup plus adequate vis a vis de mes connaissances
Merci tout le monde
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