Enigme mathématique : La carafe filtrante
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Enigme mathématique : La carafe filtrante
Posté le 01-07-09 à 00:56
Posté par 
Rudi Rudi
Bonjour,
Avec cette chaleur, on cherche à se désaltérer et rien de mieux que de boire de l'eau.
En figure 1, devant la clématite qui recouvre maintenant la fameuse gouttière de l'énigme proposée il y a maintenant deux mois (http://www.ilemaths.net/forum-sujet-280347.html), on voit la carafe filtrante qui m'a inspiré cette nouvelle énigme.
On suppose une carafe filtrante composée de trois partie (fig.2) :
- une cuve de forme cylindrique de 5 cm de rayon et 20 cm de haut,
- un filtre qui présente un débit variable, fonction de la hauteur d'eau présente dans la cuve,
- la carafe proprement dite, de forme cylindrique de 5 cm de rayon et d'une hauteur H suffisante, qui recueille l'eau filtrée prête à être bue.
A t=0, on ouvre le robinet de débit constant égal à 3 litres/minute ce qui remplit la cuve initialement vide, jusqu'à ce que l'eau vienne affleurer ; on ferme alors le robinet.
Dès t=0, l'eau s'écoule par le filtre pour aller dans la carafe.
Le filtre a la capacité de vider la cuve avec un débit variant linéairement en fonction de la hauteur d'eau dans la cuve, de 1 litre/minute quand la cuve est vide à 2 litres/minute quand la cuve est pleine (fig.3)
Je vois au moins deux questions à poser :
1) Quelle doit-être la hauteur H de la carafe pour récupérer toute l'eau filtrée ?
2) Quel temps faut-il attendre entre l'ouverture du robinet et la dernière goutte tombée dans la carafe ?
Je précise que je viens de créer cette énigme et que je ne l'ai pas encore résolue, que je ne sais pas quel niveau mathématique elle requiert (bac ou post bac), et que j'espère que sa formulation et les valeurs numériques des données fournies sont cohérentes et n'engendrent pas d'impossibilité ou d'instabilité.
Si vous en constatez, n'hésitez pas à le dire pour éviter de faire chercher à mauvais escient.
Rudy
Rudi RudiBonjour,
Avec cette chaleur, on cherche à se désaltérer et rien de mieux que de boire de l'eau.
En figure 1, devant la clématite qui recouvre maintenant la fameuse gouttière de l'énigme proposée il y a maintenant deux mois (http://www.ilemaths.net/forum-sujet-280347.html), on voit la carafe filtrante qui m'a inspiré cette nouvelle énigme.
On suppose une carafe filtrante composée de trois partie (fig.2) :
- une cuve de forme cylindrique de 5 cm de rayon et 20 cm de haut,
- un filtre qui présente un débit variable, fonction de la hauteur d'eau présente dans la cuve,
- la carafe proprement dite, de forme cylindrique de 5 cm de rayon et d'une hauteur H suffisante, qui recueille l'eau filtrée prête à être bue.
A t=0, on ouvre le robinet de débit constant égal à 3 litres/minute ce qui remplit la cuve initialement vide, jusqu'à ce que l'eau vienne affleurer ; on ferme alors le robinet.
Dès t=0, l'eau s'écoule par le filtre pour aller dans la carafe.
Le filtre a la capacité de vider la cuve avec un débit variant linéairement en fonction de la hauteur d'eau dans la cuve, de 1 litre/minute quand la cuve est vide à 2 litres/minute quand la cuve est pleine (fig.3)
Je vois au moins deux questions à poser :
1) Quelle doit-être la hauteur H de la carafe pour récupérer toute l'eau filtrée ?
2) Quel temps faut-il attendre entre l'ouverture du robinet et la dernière goutte tombée dans la carafe ?
Je précise que je viens de créer cette énigme et que je ne l'ai pas encore résolue, que je ne sais pas quel niveau mathématique elle requiert (bac ou post bac), et que j'espère que sa formulation et les valeurs numériques des données fournies sont cohérentes et n'engendrent pas d'impossibilité ou d'instabilité.
Si vous en constatez, n'hésitez pas à le dire pour éviter de faire chercher à mauvais escient.
Rudy
re : Enigme mathématique : La carafe filtrante Posté le 01-07-09 à 08:59
Posté le 01-07-09 à 08:59Posté par plumemeteore plumemeteore
Bonjour.
La cuve a une capacité de pi/2 litre.
Lors du remplissage
Soit x le temps depuis le début du remplissage et y l'eau contenue dans la cuve.
La courbe a pour dérivée 2 - 2y/pi.
Si on fait pivoter le graphique d'un quart de tour dans le sens des aiguilles d'une montre, puis qu'on le transforme en son symétrique par rapport au nouvel axe horizontale :
la courbe est fonction de y dans l'intervalle [0; pi/2] et sa dérivée est l'inverse de la première : pi/(2pi-2y).
Le temps de remplissage est la valeur à pi/2 de la fonction en y tel que f(0) = 0 et que f'(y) = pi/(2pi-2y).
Lors du vidage.
Soit x le temps depuis le début du vidage et y le volume du vide dans la cuve.
La courbe a pour dérivée 2 - Zy/pi.
En raisonnant comme pour le remplissage, on trouve que le temps de vidage est égal au temps de remplissage.
plumemeteore plumemeteoreBonjour.
La cuve a une capacité de pi/2 litre.
Lors du remplissage
Soit x le temps depuis le début du remplissage et y l'eau contenue dans la cuve.
La courbe a pour dérivée 2 - 2y/pi.
Si on fait pivoter le graphique d'un quart de tour dans le sens des aiguilles d'une montre, puis qu'on le transforme en son symétrique par rapport au nouvel axe horizontale :
la courbe est fonction de y dans l'intervalle [0; pi/2] et sa dérivée est l'inverse de la première : pi/(2pi-2y).
Le temps de remplissage est la valeur à pi/2 de la fonction en y tel que f(0) = 0 et que f'(y) = pi/(2pi-2y).
Lors du vidage.
Soit x le temps depuis le début du vidage et y le volume du vide dans la cuve.
La courbe a pour dérivée 2 - Zy/pi.
En raisonnant comme pour le remplissage, on trouve que le temps de vidage est égal au temps de remplissage.
re : Enigme mathématique : La carafe filtrante Posté le 01-07-09 à 10:19
Posté le 01-07-09 à 10:19Posté par matovitch matovitch
Bonjour à tous !
Soit
)
l'expression du volume en fonction du temps.
Cette fonction est solution de l'équation différentielle :=3-\fr{V(t)}{0,04\pi^2}-1)
Ainsi=2-\fr{V(t)}{0,04\pi^2})
Équation différentielle que j'ai appris à résoudre cette année d'où V(t) =
avec 
Or à
,  = 0)
d'où  = -80\pi^2 e^{-\fr{1}{0,04\pi^2}t}+0,08\pi^2)
Et lorsque l'eau affleure, on a = 0,04\pi^2)
d'où
Ainsi, on trouve min)
d'où L)
On en déduitL}{5\pi^2}\times 10^3 = 24\pi ln(2) cm)
.
Sauf erreur.
Et merci à rudi !
ps : La plante à l'air d'avoir bien poussée sur son croisillon !
matovitch matovitchBonjour à tous !
Soit
Cette fonction est solution de l'équation différentielle :
Ainsi
Équation différentielle que j'ai appris à résoudre cette année d'où V(t) =
Or à
Et lorsque l'eau affleure, on a
d'où
Ainsi, on trouve
d'où
On en déduit
Sauf erreur.
Et merci à rudi !
ps : La plante à l'air d'avoir bien poussée sur son croisillon !
re : Enigme mathématique : La carafe filtrante Posté le 01-07-09 à 10:31
Posté le 01-07-09 à 10:31Posté par lo5707 lo5707
Salut,
Moi, je constate une incohérence :
Rien de tel qu'une bonne bière...
lo5707 lo5707Salut,
Moi, je constate une incohérence :
Citation :
Avec cette chaleur, on cherche à se désaltérer et rien de mieux que de boire de l'eau.
Avec cette chaleur, on cherche à se désaltérer et rien de mieux que de boire de l'eau.
Rien de tel qu'une bonne bière...
re : Enigme mathématique : La carafe filtrante Posté le 01-07-09 à 12:53
Posté le 01-07-09 à 12:53Posté par veleda veleda
bonjour,
>>matovitch
tu as oublié de blannker(je n'ai pas encore eu le temps de chercher)
veleda veledabonjour,
>>matovitch
tu as oublié de blannker(je n'ai pas encore eu le temps de chercher)
re : Enigme mathématique : La carafe filtrante Posté le 01-07-09 à 13:11
Posté le 01-07-09 à 13:11Posté par matovitch matovitch
veleda >> Pardon
, étant donné que plumemeteore n'avait pas blanqué, j'en ai conclu que je pouvais faire de même.
J'ajouterai que les non-lecteurs de blanqués sont extrêmement rare. ^^
matovitch matovitchveleda >> Pardon
, étant donné que plumemeteore n'avait pas blanqué, j'en ai conclu que je pouvais faire de même.J'ajouterai que les non-lecteurs de blanqués sont extrêmement rare. ^^
re : Enigme mathématique : La carafe filtrante Posté le 01-07-09 à 21:49
Posté le 01-07-09 à 21:49Posté par Daniel62 Daniel62
Bonjour,
comme personne ne blanque ...!
j'avais trouvé un résultat par programmation,
2 temps identiques pour le remplissage et le vidage soit t=65,327582 s
et qui semble être confirmé par plumemeteore
en partant de sa formule je trouve:
 = \pi \times (1 - e^{-\frac{2}{\pi}t}))
pour un volume égal à Pi/2:
\pi}{2} = 1,08879 mn = 65,327582 s)
pour un débit de 50 cm3 par seconde, on calcule la hauteur au bout du temps t et on ajoute 20 cm pour avoir la hauteur totale:
 + 20 = 61,5888 cm)
le temps total est égal à 2t soit en secondes:
\times \pi = 130,655 s)
Daniel62 Daniel62Bonjour,
comme personne ne blanque ...!
j'avais trouvé un résultat par programmation,
2 temps identiques pour le remplissage et le vidage soit t=65,327582 s
et qui semble être confirmé par plumemeteore
en partant de sa formule je trouve:
pour un volume égal à Pi/2:
pour un débit de 50 cm3 par seconde, on calcule la hauteur au bout du temps t et on ajoute 20 cm pour avoir la hauteur totale:
le temps total est égal à 2t soit en secondes:
re : Enigme mathématique : La carafe filtrante Posté le 02-07-09 à 00:03
Posté le 02-07-09 à 00:03Posté par lo5707 lo5707
Tu n'imagines même pas ce que tu rates...
lo5707 lo5707Citation :
Je ne bois jamais de bière de peur de finir dedans !
Je ne bois jamais de bière de peur de finir dedans !
Tu n'imagines même pas ce que tu rates...
re : Enigme mathématique : La carafe filtrante Posté le 02-07-09 à 00:05
Posté le 02-07-09 à 00:05Posté par Rudi Rudi
Bonjour,
Merci pour votre participation, je n'ai pas eu le temps de me pencher sur la résolution et je ne pourrais pas être critique sur vos propositions.
Effectivement, je n'ai pas précisé de rendre vos réponses invisibles, ça se voulait implicite, mais je le mentionnerai à l'avenir dans l'énoncé initial.
L'invisible permet de ne pas être influencé par des réponses précédentes, et même si elles ne sont lues qu'en diagonal.
Pour ceux qui ont répondu aux deux premières questions, je leur soumets la troisième que j'avais en tête : déterminer la valeur de la hauteur d'eau dans la cuve, x, en fonction du temps, l'origine temporelle étant le moment où le robinet est ouvert avec le débit constant de 3 litres par minute : exprimer et représenter x(t) (fig.4)
Nota : Pour les puristes, je considère que la durée de chute de l'eau du robinet jusqu'au bas de la cuve est nulle.
Enfin, l'énoncé initial que j'avais prévu était légérement plus complexe car j'envisageais une cuve en tronc de cône de hauteur et volume identiques à celle cylindrique, en choississant par exemple les rayons R et r tels que :
R = (22/13).rayon cuve cylindrique
r = (1/13).rayon cuve cylindrique
comme l'indique la figure ci-dessous.
Rudy
Rudi RudiBonjour,
Merci pour votre participation, je n'ai pas eu le temps de me pencher sur la résolution et je ne pourrais pas être critique sur vos propositions.
Effectivement, je n'ai pas précisé de rendre vos réponses invisibles, ça se voulait implicite, mais je le mentionnerai à l'avenir dans l'énoncé initial.
L'invisible permet de ne pas être influencé par des réponses précédentes, et même si elles ne sont lues qu'en diagonal.
Pour ceux qui ont répondu aux deux premières questions, je leur soumets la troisième que j'avais en tête : déterminer la valeur de la hauteur d'eau dans la cuve, x, en fonction du temps, l'origine temporelle étant le moment où le robinet est ouvert avec le débit constant de 3 litres par minute : exprimer et représenter x(t) (fig.4)
Nota : Pour les puristes, je considère que la durée de chute de l'eau du robinet jusqu'au bas de la cuve est nulle.
Enfin, l'énoncé initial que j'avais prévu était légérement plus complexe car j'envisageais une cuve en tronc de cône de hauteur et volume identiques à celle cylindrique, en choississant par exemple les rayons R et r tels que :
R = (22/13).rayon cuve cylindrique
r = (1/13).rayon cuve cylindrique
comme l'indique la figure ci-dessous.
Rudy
re : Enigme mathématique : La carafe filtrante Posté le 02-07-09 à 11:06
Posté le 02-07-09 à 11:06Posté par matovitch matovitch
J'ai fait une erreur dans mon équation différentielle, donc mon résultat est faux.
Je vais me pencher sur le deuxième pour voir, il a l'air plus dur !
matovitch matovitchJ'ai fait une erreur dans mon équation différentielle, donc mon résultat est faux.
Je vais me pencher sur le deuxième pour voir, il a l'air plus dur !
re : Enigme mathématique : La carafe filtrante Posté le 02-07-09 à 11:46
Posté le 02-07-09 à 11:46Posté par matovitch matovitch
Non ! L'équation différentielle est correcte, Je me suis planté pour calculer le volume !
J'ai pris l'aire d'un cercle
(la honte !)
Dans le 1er cas, on a}{2})
min et }{2})
L
et
.
Je trouve bien pareil que plumemeteore et daniel.
matovitch matovitchNon ! L'équation différentielle est correcte, Je me suis planté pour calculer le volume !
J'ai pris l'aire d'un cercle
(la honte !)Dans le 1er cas, on a
et
Je trouve bien pareil que plumemeteore et daniel.
re : Enigme mathématique : La carafe filtrante Posté le 02-07-09 à 14:18
Posté le 02-07-09 à 14:18Posté par veleda veleda
bonjour
ce n'est pas un peu haut pour une cafetière?en tout cas ce n'est pas celle qui est sur la photo jointe
veleda veledabonjour
ce n'est pas un peu haut pour une cafetière?en tout cas ce n'est pas celle qui est sur la photo jointe
re : Enigme mathématique : La carafe filtrante Posté le 04-07-09 à 09:50
Posté le 04-07-09 à 09:50Posté par Rudi Rudi
Bonjour,
Il me semblait bien que la deuxième forme de la cuve, en tronc de cône, serait plus intéressante.
Malheureusement, j'ai commis une erreur de recopie dans les valeurs des rayons R et r de ce tronc de cône : il faut lire :
R = (11/7).rayon cuve cylindrique = 55/7 cm
r = (2/7).rayon cuve cylindrique = 10/7 cm
ce qui fournit bien le même volume et la même hauteur que la cuve cylindrique initiale.
Indépendemment de la réactualisation de ces valeurs numériques, le problème, comme le canard, est toujours vivant...
Rudy
Rudi RudiBonjour,
Il me semblait bien que la deuxième forme de la cuve, en tronc de cône, serait plus intéressante.
Malheureusement, j'ai commis une erreur de recopie dans les valeurs des rayons R et r de ce tronc de cône : il faut lire :
R = (11/7).rayon cuve cylindrique = 55/7 cm
r = (2/7).rayon cuve cylindrique = 10/7 cm
ce qui fournit bien le même volume et la même hauteur que la cuve cylindrique initiale.
Indépendemment de la réactualisation de ces valeurs numériques, le problème, comme le canard, est toujours vivant...
Rudy
re : Enigme mathématique : La carafe filtrante Posté le 05-07-09 à 00:22
Posté le 05-07-09 à 00:22Posté par Daniel62 Daniel62
Bonsoir,
avec les nouvelles données le volume est bien de 500
Cliquez pour afficher
Daniel62 Daniel62Bonsoir,
avec les nouvelles données le volume est bien de 500
Cliquez pour afficherre : Enigme mathématique : La carafe filtrante Posté le 07-07-09 à 22:39
Posté le 07-07-09 à 22:39Posté par Rudi Rudi
Bonjour,
Je vous propose la méthode que j'ai suivie et le résultat auquel je suis arrivé
Si vous avez quelquechose de plus rigoureux ou plus rapide, merci de corriger ou compléter.
Tout d'abord, je redonne l'énoncé de l'exercice pour synthèse :
Puis, pour ceux qui désirent encore chercher et qui ne lisent pas les invisibles (veleda), je propose une solution
Cliquez pour afficher
En cas d'erreur, ne pas hésiter de l'indiquer
Rudy
Rudi RudiBonjour,
Je vous propose la méthode que j'ai suivie et le résultat auquel je suis arrivé
Si vous avez quelquechose de plus rigoureux ou plus rapide, merci de corriger ou compléter.
Tout d'abord, je redonne l'énoncé de l'exercice pour synthèse :
Puis, pour ceux qui désirent encore chercher et qui ne lisent pas les invisibles (veleda), je propose une solution
Cliquez pour afficher
En cas d'erreur, ne pas hésiter de l'indiquer
Rudy
re : Enigme mathématique : La carafe filtrante Posté le 07-07-09 à 23:49
Posté le 07-07-09 à 23:49Posté par Rudi Rudi
Enfin, les variations de x(t) au cours des deux phases de remplissage et vidage
[blank][/blank]
Rudy
Rudi RudiEnfin, les variations de x(t) au cours des deux phases de remplissage et vidage
[blank][/blank]
Rudy
re : Enigme mathématique : La carafe filtrante Posté le 16-07-09 à 17:23
Posté le 16-07-09 à 17:23Posté par Rudi Rudi
Bonjour
En utilisant les indications fournies par PIL, elhor_abdelali et J-P dans ce fil pour résoudre l'équadiff de la forme y' = (ay+b)/y², http://www.ilemaths.net/forum-sujet-289622.html,
j'ai appliqué la méthode donnée à la première équation différentielle pour le remplissage : dx/dt = 5(40-x)/( 6(pi/28²)(40+9x)² )
En posant y=40+9x et avec la condition initiale t=0, x=0, y=40, j'obtiens :
t = (3pi/3920)( (40-y)(840+y) - 2.400².ln|(400-y)/360|
je déduis la valeur de t=T en remplaçant x=20 ou y=220, ce qui fournit la valeur "exacte" :
T = 30pi(800ln2 - 477)/98 = 74,5497...s
qui, à la seconde décimale, est la valeur obtenue avec la méthode d'Euler et un pas de 0,002 s
La seconde équadiff pour le vidage se traiterait de la même manière, serait tout aussi fastidieuse, et permettrait de trouver la valeur exacte donnant 56,67... s
Rudy
Rudi RudiBonjour
En utilisant les indications fournies par PIL, elhor_abdelali et J-P dans ce fil pour résoudre l'équadiff de la forme y' = (ay+b)/y², http://www.ilemaths.net/forum-sujet-289622.html,
j'ai appliqué la méthode donnée à la première équation différentielle pour le remplissage : dx/dt = 5(40-x)/( 6(pi/28²)(40+9x)² )
En posant y=40+9x et avec la condition initiale t=0, x=0, y=40, j'obtiens :
t = (3pi/3920)( (40-y)(840+y) - 2.400².ln|(400-y)/360|
je déduis la valeur de t=T en remplaçant x=20 ou y=220, ce qui fournit la valeur "exacte" :
T = 30pi(800ln2 - 477)/98 = 74,5497...s
qui, à la seconde décimale, est la valeur obtenue avec la méthode d'Euler et un pas de 0,002 s
La seconde équadiff pour le vidage se traiterait de la même manière, serait tout aussi fastidieuse, et permettrait de trouver la valeur exacte donnant 56,67... s
Rudy
re : Enigme mathématique : La carafe filtrante Posté le 16-07-09 à 20:02
Posté le 16-07-09 à 20:02Posté par Daniel62 Daniel62
Bonjour Rudi,
mes 6 décimales sont bonnes !
je n'ai même pas essayé de résoudre l'équation différentielle
seulement l'équation du 3ème degré:
27x3 + 360x2 + 1600x = 784V
Daniel62 Daniel62Bonjour Rudi,
mes 6 décimales sont bonnes !
je n'ai même pas essayé de résoudre l'équation différentielle
seulement l'équation du 3ème degré:
27
x3 + 360x2 + 1600x = 784V
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