équation différentielle

Posté par abdalnour abdalnour

Bonjour,

J'ai un petit problème par rapport à cette équation différentielle: (x²+1)y"+2y=x
L'énoncé est le suivant:
1 - Trouver les solutions polynomiales de l'équation homogène
2 - En déduire les solutions de l'équation différentielle

Je suis lamentablement bloqué au 1) mais ce qui me rassure c'est que mathematica n'y arrive pas non plus...
Qu'en pensez vous?

Merci

Posté par girdav girdav

BOnjour.
On veut une solution polynomiale, disons . On cherche dans un premier temps son degré.
Notons-le . Alors est de degré et est de degré donc par somme ceci impose .

Posté par abdalnour abdalnour

oui je l'ai fait:
d°((x²+1)y"+2y)=-inf
max(d°((x²+1)y"),d°(y))

donc soit -inf=max(d°((x²+1)y"),d°(y)) => y=0=(x²+1)y"
ou
max(d°((x²+1)y"),d°(y))>-inf
ba il pourrait y avoir plein de solution mais prenons max(d°((x²+1)y"),d°(y))=2
alors d°(y)=2 et alors je résouds un système qui me donne encore la solution nulle.


Finalement j'arrive pas a avancer...

Posté par girdav girdav

Tu sais que l'ensemble des solutions de l'équation homogène forme un espace vectoriel sur . Donc il suffit de regarder les pour lesquels est solution de l'équation.

Posté par abdalnour abdalnour

a oui tout simplement merci beaucoup

Posté par veleda veleda

bonjour,
soit un polynôme non nul solution de l'équation homogène
on a donc
le terme de plus haut degré du membre de gauche c'est
et il doit être nul
donc  (1) puisque non nul  mais (1) n'apas de solution dans N donc ce n'est pas possible
je ne pense pas me tromper,tu es sûr de ton texte,

par contre si l'équation était (1+x²)y"-2y (1) devient n²-n-2=0 et n=2 est solution donc un polynôme solution est de degré 2 et  l'on trouve que les polynomes solutions sont de la forme a(x²+1)

Posté par abdalnour abdalnour

eee non en fait je ne comprends toujours pas.

J'arrive à:
2+n(n-1)=0
n(n-1)=0

C'est impossible...

Posté par veleda veleda

>>abdalnour
avec le texte que tu as donné je trouve aussi que cela ne "marche pas" mais si c'est -2y au lieu de +2y on trouve bien de solutions comme je te le dis dans mon post précédent

Posté par abdalnour abdalnour

a oui je n'avais pas vu ton post!
C'est un exo d'oral il doit y avoir une erreur parce que avec mathematica aussi j'avais trouvé cela impossible!

Merci beaucoup

Posté par veleda veleda

oui,sans doute une erreur de frappe,avec-2y cela "marche"