Equations différentielle et transformée de Laplace

Posté par parsy parsy

Bonjour,

Je cherche à résoudre l'ED



avec



en utilisant la transformée de Laplace.

étant la fonction de Dirac.

L'équation transformée devient:



d'où on tire



La solution de l'ED est:



Ce qui me gêne, c'est que est ègal à et
non pas   à comme le précise l'énoncé.

Merci de m'éclairer

Posté par milton milton

peux tu nous donner la fonction de dirac

Posté par otto otto

Bonjour,
la fonction de Dirac (qui est une distribution et non une fonction...) vaut 0 sur R* et a une intégrale de 1.
C'est un peu bidon comme définition mais c'est celle qu'on donne dans un premier temps et historiquement c'est vraiment la raison de son existence.

C'est le neutre pour la convolution et sa transformée de Laplace est donc le neutre multiplicatif, ce qui est bien fait ici.

Posté par PIL PIL

Bonsoir,

Parsy, ce qui est encore plus gênant, c'est qu'avec ta fonction y(t), tu as y'(t) + y(t) = 0 et non pas (t)  !  Le problème vient du fait, comme l'a dit otto, que (t) n'est pas une fonction.  Si tu veux résoudre ton problème en restant dans les fonctions, tu prends pour second membre de ton équation une approximation de (t) par une fonction du type "impulsion très courte en 0, d'intégrale 1", la plus simple étant    si 0 t   et    sinon  ( est un nombre très petit, ce qui compte, c'est "avant" l'impulsion et "après"l'impulsion, "pendant" est négligeable ...). Tu considères donc l'équation   ; prends pour commencer la condition initiale nulle : a=0. L'équation transformée est

     et la solution    
      où U(t) est l'échelon-unité.
Cette fonction y(t) est nulle pour t0, rapidement croissante entre 0 et   puis décroît exp. pour t>. Maintenant regarde ce qui se passe pour y(t) lorsque 0 !