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Quelques limites à me faire calculer ? :)

   
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terminaleQuelques limites à me faire calculer ?

#msg2489557 Posté le 03-07-09 à 14:14
Posté par Profilolive_68 olive_68

Bonjour

J'aimerais bien recevoir des limites à calculer qui vous semblent interressante par la démarche à mener pour obtenir le calcul

Donc les limites du genre 3$\fr{1}{(x-1)^2} en 3$1 ne sont pas d'un grand intêret mais par exemple 3$\lim_{n\to +\infty} \ \(1+\fr{1}{n}\)^n est déjà plus interressante ^^

Voilà un grand 4$\rm Merci d avance

(Euh ça peut-être de tout genre ^^ suite, fonction etc .. tout ce qu'on peut avoir en relation avec les limites )
re : Quelques limites à me faire calculer ? #msg2489570 Posté le 03-07-09 à 14:32
Posté par Profilmonrow monrow Posteur d'énigmes

Salut !

Je te conseille ce topic. Et beaucoup d'autres que je postais comme sortes de défis il y a longtemps déjà ... DEFIS DE 1 A 46 ou je ne sais quoi, ils vont te faire plaisir

re : Quelques limites à me faire calculer ? #msg2489576 Posté le 03-07-09 à 14:51
Posté par ProfilJ-R J-R

le bon vieux temps ...

bonjour,













... c'était très prisé dans les défis

@+
re : Quelques limites à me faire calculer ? #msg2489577 Posté le 03-07-09 à 14:59
Posté par Profilolive_68 olive_68

Re monrow Salut J-R

Merci beaucoup à vous deux

Elles sont super sympa tes premières limites monrow ^^ j'aime bien quand on doit faire les changements de variable et utiliser des taux de variations (Donc la première m'a bien plu )
re : Quelques limites à me faire calculer ? #msg2489586 Posté le 03-07-09 à 15:38
Posté par Profilolive_68 olive_68

Re

Pour la 5eme limite de ton poste monrow j'hésite entre deux méthodes enfin je ne sais pas celle qui est juste merci


Tout d'abord on veut trouver 3$\lim_{x\to +\infty} \ x^3\[e^{\fr{1}{x}}-e^{\fr{1}{x+1}\]

J'ai choisi de poser 3$X=\fr{1}{x} donc 3$x=\fr{1}{X} et 3$\fr{1}{x+1}=\fr{1}{\fr{1}{X}+1}=\fr{X}{X+1}

De plus 3$\lim_{x\to+\infty} \ X=0

Donc 3$x^3\[e^{\fr{1}{x}}-e^{\fr{1}{x+1}\]=\fr{1}{X^2}\times \(\fr{e^X-e^{\fr{X}{X+1}}}{X}\)=\fr{1}{X^2}e^{X}\[1-e^{\fr{1}{1+X}}\]

On un taux de variation mais 3$\lim_{X\to0} \ -\(\fr{e^{\fr{1}{X+1}}-1}{X}\)=1 ?? ou alors on prend l'expression de la fonction? enfin je ne sais pas si je dois prendre alors comme limite 3$-\(-\fr{e^{\fr{1}{0+1}}}{(0+1)^2}\)=1

Ce qui me donnerais comme limite 3$+\infty..

Merci d'avance
re : Quelques limites à me faire calculer ? #msg2489615 Posté le 03-07-09 à 17:15
Posté par Profilmonrow monrow Posteur d'énigmes

Citation :
Donc 3$x^3\[e^{\fr{1}{x}}-e^{\fr{1}{x+1}\]=\fr{1}{X^2}\times \(\fr{e^X-e^{\fr{X}{X+1}}}{X}\)=\fr{1}{X^2}e^{X}\[1-e^{\fr{1}{1+X}}\]


La dernière égalité est fausse ! T'as pas bien factorisé par e^X
re : Quelques limites à me faire calculer ? #msg2489617 Posté le 03-07-09 à 17:20
Posté par Profilolive_68 olive_68

Ah oui en effet, c'est, 3$\fr{1}{X^2}e^{X}\[1-e^{\fr{-X^2}{1+X}}\] merci !

Mais ça ne change rien à ma question ^^ Je peux prendre la dérivée de ceci en 3$O ?

re : Quelques limites à me faire calculer ? #msg2489619 Posté le 03-07-09 à 17:24
Posté par Profilmonrow monrow Posteur d'énigmes

Oui tu peux !

NB: j'ai totalement oublié ces méthodes qu'on faisait au terminale ! A coup de DL ca donne le résultat en une demi-ligne... Ces méthodes ne seront plus utilisées (que très rarement) en prépa ..
re : Quelques limites à me faire calculer ? #msg2489622 Posté le 03-07-09 à 17:28
Posté par Profilolive_68 olive_68

Merci Oui j'imagine que ces méthodes seront totalement dépassé en prépa ^^

Je vais essayer avec les 3$D_l ça me ferait un bon entrainement ..

re : Quelques limites à me faire calculer ? #msg2489627 Posté le 03-07-09 à 17:37
Posté par Profilolive_68 olive_68

Ah ben je viens de me souvenir que la limite est en +\infty et je ne sais pas faire les 3$\cal{D}_l vriament en 3$0 alors à cet endroit..(Au passage ça ne s'appel pas dévellopement asymptotique? )

Je vais plutôt essayer alors un autre et je posterais mes calculs, si ça te dérange pas.. Que je puisse m'entrainer en 3$\cal{D}_l

re : Quelques limites à me faire calculer ? #msg2489629 Posté le 03-07-09 à 17:48
Posté par Profilmonrow monrow Posteur d'énigmes

Oui ça s'appelle un développement asymptotique

Tu peux tours revenir en 0 par le changement de variable que t'as fait au début 1/X
re : Quelques limites à me faire calculer ? #msg2489630 Posté le 03-07-09 à 17:50
Posté par Profilolive_68 olive_68

Wow je viens de voir la puissance que représente les 3$\cal{D}_l

Par exemple pour 3$\fr{\ell n(x+1)-x}{x^2} :

Le 3$\cal{D}l_2 (0) \ \ell n(x+1)=x-\fr{x^2}{2}+o(x^2)

D'ou 3$\fr{\ell n(x+1)-x}{x^2}=\fr{x-\fr{x^2}{2}+o(x^2)-x}{x^2}=-\fr{1}{2}+o(x^2)

Or 3$\lim_{x\to 0} \ o(x^2)=0 donc 3$\lim_{x\to 0} \ \fr{\ell n(x+1)-x}{x^2}=-\fr{1}{2}

Désolé de flooder la ^^ mais je viens de remarquer la puissance de la chose ^^

Petite question, 3$\fr{o(x^2)}{x^2}=o(x^2) ?? On fait quoi de l'exposant du 3$\cal{D}l dans ces cas la ?

Sinon on retrouve le même résultat en faisant un changement de variable 3$X=x^2 pour se rammener à un taux de variations

re : Quelques limites à me faire calculer ? #msg2489632 Posté le 03-07-09 à 17:53
Posté par Profilmonrow monrow Posteur d'énigmes

Citation :
Petite question, 3$\fr{o(x^2)}{x^2}=o(x^2) ??


Non, c'est o(1) (Reviens par exemple à la définition de petit o avec epsilon ...) Sinon c'est logique, le tout est divisé par 2, la précision aussi diminuera.
re : Quelques limites à me faire calculer ? #msg2489642 Posté le 03-07-09 à 18:11
Posté par Profilolive_68 olive_68

Ok merci je vais regarder les fiches de l'île

J'ai fais comme tu as dis pour la limite précédente,

En ecrivant les 3$D_l à l'ordre 3$2 je trouve comme limite 3$+\infty

Super puissant les 3$D_l !!

re : Quelques limites à me faire calculer ? #msg2489651 Posté le 03-07-09 à 18:46
Posté par Profilmonrow monrow Posteur d'énigmes

Oui c'est +oo

Oui oui, c'est puissant comme outil
re : Quelques limites à me faire calculer ? #msg2489676 Posté le 04-07-09 à 02:41
Posté par Profilolive_68 olive_68

Encore moi,

Je ne comprends pas pourquoi 3$\lim_{x\to\0}\frac{cos(2x)-1+2x^2}{x^4}=\fr{2}{3}

En essayant un 3$D_l je n'y parviens pas, ainsi que en essayant les taux de variations..

Merci d'avance
re : Quelques limites à me faire calculer ? #msg2489681 Posté le 04-07-09 à 08:34
Posté par ProfilJ-R J-R

re,

cos(2x)-1+2x^2=1-2x^2+\frac{16x^4}{24}-1+2x^2+o(x^4)=...



ou par l'Hospital (on assure qu'on a bien toutes les hypothèses):

pb <=> \lim_{0}\frac{-2sin(2x)+4x}{4x^3}

pb <=> \lim_{0}\frac{-4cos(2x)+4}{12x^2}

pb <=> \lim_{0}\frac{8sin(2x)}{12\times 2x} --> \frac{8}{12}=\frac{4}{3}



mais enfin là dans ce type de limite c'est vraiment le dl qui est approprié : dès que tu as une somme (comme là au numérateur), les équivalents ne servent à rien (donc les méthodes usuelles de meme) donc il reste les dl ...
re : Quelques limites à me faire calculer ? #msg2489682 Posté le 04-07-09 à 08:36
Posté par ProfilJ-R J-R

ah oué qd meme 8/12=2/3 ...
re : Quelques limites à me faire calculer ? #msg2489739 Posté le 04-07-09 à 15:38
Posté par Profilolive_68 olive_68

Oups, désolé de t'avoir dérangé pour ça .. je sais pas comment ça se fait que je ne suis pas tombé sur la bonne limite ..

Merci bien
re : Quelques limites à me faire calculer ? #msg2489747 Posté le 04-07-09 à 16:00
Posté par Profilbill159 bill159

c'est quoi l'Hospital?
re : Quelques limites à me faire calculer ? #msg2489750 Posté le 04-07-09 à 16:07
Posté par Profilolive_68 olive_68

Une règle pour calculer des limites il me semble .. Ce que je vais te dire est surement très érroné mais il me semble que c'est le principe,

Soient 3$f et 3$g deux fonctions dérivables  3$\lim_{x\to 0} \ g(x)=0 et 3$\lim_{x\to 0} \ f(x)=0 alors 3$\lim_{x\to 0} \ \fr{g(x)}{f(x)}=\lim_{x \to 0} \ \fr{g^'(x)}{f^'(x)}

C'est un peu près ça il me semble.. Fais une recherche sur le net
re : Quelques limites à me faire calculer ? #msg2489751 Posté le 04-07-09 à 16:08
Posté par Profilbill159 bill159

ah merci ok...
re : Quelques limites à me faire calculer ? #msg2489757 Posté le 04-07-09 à 16:19
Posté par Profilinfophile infophile

Il faut juste faire attention à ce que f ne s'annule pas au voisinage de 0, sinon c'est faux.

Et ceci marche aussi si on fait tendre vers autre chose que 0.

Mais à ne pas utiliser cette règle, elle est hors programme.

Pour m'être fait engueulé en khôlle je vous le recommande
re : Quelques limites à me faire calculer ? #msg2489758 Posté le 04-07-09 à 16:24
Posté par Profillittleguy littleguy Correcteur

Bonjour

pour l'Hospital, voir ici : ce qu'en disaient Nicolas_75 et Tigweg

re : Quelques limites à me faire calculer ? #msg2489772 Posté le 04-07-09 à 16:53
Posté par Profilolive_68 olive_68

Ah bon ? elle se voit quand cette règle ?

^^ Je pensais exactement à montrer ce lien à bill mais je ne le trouvais plus ^^

infophile >> je comprends pas trop, lorsque J-R à trouvé la limite avec l'Hospital dans son cas on avait 3$f(x)=x^4 et et 3$f(0)=0 donc elle s'annule,pourtant on l'utilise sans complexe dans la suite et le résultat est juste .. A moins que j'ai mal compris ce que tu voulais dire ? (Elle peut s'annuler en 0 mais pas dans le voisinage? )

\to Du genre une fonction comme 3$x^2\cos\(\fr{1}{x^2}\) ne ferait pas l'affaire ?


re : Quelques limites à me faire calculer ? #msg2489781 Posté le 04-07-09 à 17:16
Posté par Profilinfophile infophile

Oui voilà au voisinage de 0 il ne faut pas que ça s'annule.

Oui ta fonction est de ce type elle tend (chaotiquement) vers 0.

Je ne sais pas si on peut trouver une autre fonction f tel que f'/g' tende vers 0 (avec g ta fonction) et f/g n'ayant pas de limite.

J'ai testé avec f(x)=x² mais le quotient f'/g' n'a à priori pas de limite.

Y'a un bon contre-exemple sur wiki par contre.

re : Quelques limites à me faire calculer ? #msg2489784 Posté le 04-07-09 à 17:17
Posté par Profilinfophile infophile

enfin pas chaotiquement (je pensais à f'/g' quand j'ai écris ça) mais en oscillant indefiniment
re : Quelques limites à me faire calculer ? #msg2489786 Posté le 04-07-09 à 17:20
Posté par Profilolive_68 olive_68

Ok merci j'irais voir une fois que j'en saurais un peu plus sur la convergence

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