sous-groupe de PGL(n,k)

Posté par Charly88 Charly88

Bonjour à tous.
Soit k un corps et PGL(n,k) le quotient de GL(n,k) par son centre. De même que PSL(n,k).
Je voudrais savoir pourquoi PSL(n,k) est isomorphe à un sous-groupe de PGL(n,k).
Si quelqu'un à une idée. Merci d'avance

Posté par Rodrigo Rodrigo

Bonjour,
Ben SL(n,k) s'injecte dans GL(n,k), tu as une fleche de SL(n,k) dans PGL(n,k) qui se factorise par PSL(n,k)

Posté par Charly88 Charly88

Y'a quelque chose que je ne comprend pas.
PSL(n,k) ne s'injecte pas nécessairement dans PGL(n,k).
Car le centre de SL(n,k) n'est pas nécessairement un sous-groupe du centre de GL(n,k). Pour le deuxième on sait que c'est les homothéties mais pour le premier on en s'est rien

Posté par Ksilver Ksilver

Le centre de PSLn c'est aussi les Homotétie... enfin sauf peut-etre pour k=F3...



en dimension 1 c'est réglé, et si k=F2 GLn=SLn, on suppose donc que la dimension est >2 et que le corps de base a au moins 4 element. Soit G dans GLn qui comute a tous les element de Sln. soit V dans K^n un vecteur, qu'on complete en une base B. soit P l'element de SLn qui dans B s'ecrit diag(x,1/x,1,1...1) avec x un element différent de 0,1 et -1

alors comme Vect(V) est l'espace propre associé à la vp x, G stabibilise Vect(V) : G stabilise toute les doirtes : c'est une homotétie !

pour k=F3 j'en sais rien :p