géométrie dans l'espace

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géométrie dans l'espace

Posté le 03-07-09 à 15:40

Posté par Adamo

Bonjour,
Je dois réaliser un travail de vacances en géometrie de l'espace et il y a une question que je n'arrive pas à résoudre. Pourriez vous m'aider svp ?
Voici l'énoncé:
Dans un repère orthonormé, détermine l'équation cartésienne du plan

passant par le point B(0,-2,-3) et perpendiculaire à la droite d qui a pour équation x=4
y=z+1

re : géométrie dans l'espace

Posté le 03-07-09 à 15:46

Posté par olive_68

Salut

Tu es en seconde ? ça me semble bien compliqué pour ton niveau ..Même en 1ere il me semble qu'on voit que la géo dans le plan..Je dirais que c'est un exercice qui utilise ce qu'on fait en terminal ..

Sinon, connais tu l'expression de l'équation carthésienne d'un plan ?
Et sais tu ce qu'es une représentation paramétrique de droite?

re : géométrie dans l'espace

Posté le 03-07-09 à 18:28

Posté par dolma

Salut,

Effectivement, ça me semble un peu compliqué pour le niveau seconde, mais bon ça arrive.

Alors, déjà le premier conseil que je peux te donner quand t'as un exo de geometrie, que ce soit dans l'espace ou dans le plan, c'est de faire un dessin. Ca parait idiot comme ca mais crois moi c'est vraiment utile (dans la plupart des cas). Tu verras même qu'au bout d'un moment tu finiras par le faire dans ta tête.
Là je t'ai mis deux figures à la fin et j'y ferai référence dans mon explication.

Ensuite, et ça vaut pour n'importe quelle branche des maths, demande toi ce que tu cherches, de quoi tu as besoin pour l'obtenir, et de quoi tu disposes.

En l'occurence, tu cherche un plan, donc tu as besoin au choix :

- Deux vecteurs directeurs (non colinéaires)
- Un vecteur normal et un point

Maintenant, qu'est ce que t'as :

- Une droite $3$D$ perpendiculaire (normale) au plan $3$\alpha$
- Un point $3$B$

Donc tu vois bien en comparant les deux (ce que tu cherches et ce que t'as à ta disposition) qu'on va chercher un vecteur normal et un point.

Tu vois, je n'ai rien fait pour l'instant à part un petit récapitulatif, et pourtant ça me permet déjà de savoir comment faire pour resoudre l'exo. Comme quoi ça marche !!

* On a déjà le point.
* Et le vecteur normal n'est autre qu'un vecteur directeur de la droite D (c'est la que le petit dessin (FIGURE 2) peut te servir

)

Donc il ne reste plus qu'à trouver ce vecteur directeur :

Mais, comment faire ?

Déjà, il faut savoir ce qu'est une représentation paramétrique de droite et à quoi ça correspond.

- Écrire une représentation paramétrique(RP) d'une droite revient à exprimer les coordonnées de tous les points de cette droite en fonction d'un paramètre (d'où le nom).

- En fait, on écrit que la droite est représentée par un point et un vecteur directeur. (encore un ptit dessin pour expliquer ça)
- Sur ce dessin (FIGURE 1), tu vois bien que si on prends $3$M_0$ comme point "de référence", on peut obtenir n'importe quel point de la droite en partant de $3$M_0$ et en ajoutant un certain nombre (qu'on notera $3$t$ ) de fois le vecteur directeur $3$\vec{u}$ .

Et ça se note : $3$\vec{M_0 M}\ =\ t.\vec{u}$

Donc : $3$$\array{x\\y\\z}$\ -\ $\array{x_0\\y_0\\z_0}$\ =\ t.$\array{\alpha\\\beta\\\gamma}$$

Donc : $3$$\array{x\\y\\z}$\ =\ $\array{x_0\\y_0\\z_0}$\ +\ t.$\array{\alpha\\\beta\\\gamma}$$

Et c'est de là que vient la representation parametrique de la droite qui s'ecrit :

$3$\{\array{x\ =\ x_0\ +\ t.\alpha\\y\ =\ y_0\ +\ t.\beta\\z\ =\ z_0\ +\ t.\gamma}$

Voila, ca c'etait pour que tu vois ce qu'etait une RP (si tu l'as deja vu, ca fait pas de mal de le revoir un ptit coup

)
Mais en pratique, qu'est ce qu'on fait ?

Et beh on va voir ca avec ta RP : $3$\{\array{x\ =\ 4\\y\ =\ z+1\\z\ =\ z}$

T'as dû remarquer que j'ai rajouté une ligne par rapport à ce que t'as donné, c'est parce qu'en l'occurrence, $3$z$ est ce que j'appelle un "paramètre libre", c'est à dire, qui peut prendre n'importe quelle valeur (ce qui s'écrit dans une RP, $3$z\ =\ z$ ). C'est une bonne habitude à prendre pour bien travailler sur la RP.

Maintenant que ça c'est fait, on va se remettre sous la forme de vecteurs qui est plus pratique :

On écrit alors : $3$$\array{x\\y\\z}$\ =\ $\array{4\\1\ +\ z\\z}$$

La deuxième étape consiste à "sortir" les constantes du vecteur de droite. On a donc :

$3$$\array{x\\y\\z}$\ =\ $\array{4\\1\\0}$\ +\ $\array{0\\z\\z}$$

On factorise ensuite le vecteur non-constant par le "paramètre libre" (ici $3$z$ ) et ça donne :

$3$$\array{x\\y\\z}$\ =\ $\array{4\\1\\0}$\ +\ z.$\array{0\\1\\1}$$

Et là c'est presque fini parce qu'on reconnait tout de suite la forme $3$\vec{M_0 M}\ =\ t.\vec{u}$ de tout à l'heure avec $3$t\ =\ z$ (d'où le nom de paramètre libre pour $3$z$

)

Voila, on a donc trouvé le vecteur directeur de D qui est donc : $3$\vec{u_D}\ =\ $\array{0\\1\\1}$$ C'est donc aussi le vecteur normal du plan $3$\alpha$ qui est donc : $3$\vec{n_\alpha}\ =\ \vec{u_D}\ =\ $\array{0\\1\\1}$$ .

Ca y est, on a le point et le vecteur normal qu'on cherchait (Enfin !!)

Maintenant, il ne reste qu'à en faire un équation cartésienne du plan $3$\alpha$ .

Pour faire ça, il suffit de savoir deux choses :

- La première : qu'est ce que l'équation cartésienne d'un plan ?

Et bien c'est tout simplement une equation qui permet, à elle seule, de caracteriser le plan. C'est un peu une sorte de résumé de la Représentation Paramétrique

.
Elle s'écrit pour un plan P (par exemple) : $3$P\ :\ a.x\ +\ b.y\ +\ c.z\ +\ d\ =\ 0$

Avec : a,b,c et d des constantes réelles et $3$$\array{x\\y\\z}$$ les coordonnees d'un point quelconque $3$M$ du plan.

Il faut aussi retenir, et c'est là que ça va nous intéresser, que le vecteur normal de ce plan est $3$\vec{n_P}\ =\ $\array{a\\b\\c}$$

On sait donc déjà (et c'est pas mal) que l'équation qu'on cherche s'écrit:

$3$\alpha\ :\ 0.x\ +\ 1.y\ +\ 1.z\ +\ d\ =\ 0$ (puisque $3$\vec{n_\alpha}\ =\ $\array{0\\1\\1}$$ )

- La deuxième chose a savoir est que tout point du plan vérifie cette équation. Plus clairement, ça veut dire que si tu prends n'importe quel point $3$M\ $\array{x\\y\\z}$$ du plan, t'auras TOUJOURS : $3$\ a.x\ +\ b.y\ +\ c.z\ +\ d\ =\ 0$ .

Or, nous, on sait que $3$B\ $\array{0\\-2\\-3}$$ est dans le plan.

Donc, il suffit de remplacer dans l'equation du plan d'au dessus et ca donne : $3$0\times0\ +\ 1\times(-2)\ +\ 1\times(-3)\ +\ d\ =\ 0$

Ce qui donne : $3$-5 +\ d\ =\ 0$

Et donc : $3$d\ =\ 5$

Maintenant tu re-remplace d dans l'equation du plan et c'est fini :

La reponse est donc : $3$\alpha\ :\ 0.x\ +\ 1.y\ +\ 1.z\ +\ 5\ =\ 0$ et donc pour simplifier :

$3$\fbox{\alpha\ :\ y\ +\ z\ +\ 5\ =\ 0}$

Voila voila, j'ai vraiment tout détaillé vu que t'es en seconde et que c'est plutôt Hors Programme. Et puis comme ça t'as vu la méthode de raisonnement et je pense que tu pourras facilement faire d'autres exos du même genre.
Mais de toute façon, même si y'a des trucs que t'avais deja vu, ca fait jamais de mal de les revoir

.

Donc voila, j'espère que j'ai pas trop mal expliqué et que ça t'aura bien aidé. Et surtout que j'ai pas fait de fautes de calcul.

Salut et bonnes vacances

re : géométrie dans l'espace

Posté le 03-07-09 à 18:31

Posté par olive_68

Motivé ^^ Bien joué

re : géométrie dans l'espace

Posté le 03-07-09 à 18:36

Posté par dolma

Bah ouais, là tous mes potes sont en oraux, j'en ai pas d'ici lundi prochain et je viens de finir mon anime, alors du coup j'ai plus grand chose à faire

re : géométrie dans l'espace

Posté le 04-07-09 à 13:33

Posté par littleguy

> olive ...bonjour. tu écris "équation carthésienne" ?

re : géométrie dans l'espace

Posté le 04-07-09 à 15:45

Posté par olive_68

Bonjour littleguy,

Hum apparement c'est faux.. j'y arriverais jamais avec l'orthographe j'ai l'impression..

re : géométrie dans l'espace

Posté le 11-07-09 à 14:13

Posté par Adamo

Merci beaucoup pour vos réponses !!!

En fait je vis en Belgique et nous n'avons pas le même système scolaire donc je ne sais pas trop en quelle année je me situe en France ....
En tout cas merci beaucoup pour vos réponses !

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