Enigme mathématique : Découpage

Posté par Rudi Rudi

Bonjour,

Après le succès de l'énigme de découpage de monrow, intitulée ENIGMA 26, http://www.ilemaths.net/forum-sujet-287876.html obtenant 92% sur 35 réponses, voici trois découpages à réaliser :



Les deux dernières transformations doivent avoir une justification mathématique que je n'ai pas : si vous l'avez, je suis preneur

Puisqu'il faut le préciser, surtout que les réponses sont visuelles, répondez en invisible

Rudy

Posté par jandri jandri

Bonjour Rudy,

Pour le B) j'ai une solution immédiate avec un coup de ciseaux.
Pour le C) j'ai une solution immédiate avec trois coups de ciseaux.

Posté par veleda veleda

bonjour,


*T_P : message blanké

Posté par veleda veleda

redésolée,moi qui reprochais à matovitch de ne pas avoir blanké je suis trop étourdie et impardonnable de ne pas avoir fait un aperçu
il me reste à espérer que mon charabia découragera  les curieux

Posté par veleda veleda

pour le A)

merci pour ce découpage

Posté par veleda veleda

bonjour Rudy

en cherchant le C)je me rends compte que j'ai traité le B) avec la figure du C)donc c'est faux- blanké ou pas cela n'a donc pas d'importance
pour le B)j'ai bien une solution mais avec deux coups de ciseaux dont on pourrait se passer

Posté par Rudi Rudi

Bonjour,

Merci pour vos réponses, jandri et veleda

Au vu des réponses proposées, je précise alors qu'il n'est pas autorisé de :
- plier les papiers
- superposer les pièces obtenues ou initiales afin d'effectuer des coups de ciseaux sur plusieurs épaisseurs de papier

Pour répondre à jandri, j'ai hésité à demander le A) en un seul coup de ciseau car, alors, il aurait fallu préciser la possibilité de superposer les pièces individuelles
Ce que je ne désirais pas, surtout pour le B) et le C)...

Bonne poursuite de recherche,

Rudy

Posté par veleda veleda

bonsoir,
>>TP merci d'avoir rectifié mon erreur de balises

>>rudy

Posté par Rudi Rudi

Bonjour

Bravo pour la 1°,



mais la seconde méritait un énoncé avec une précision que j'ai omise; je redonne l'énoncé plus "intéressant" :



Pour ceux qui aime bien les découpages...

Rudy

Posté par jandri jandri

Bonjour Rudy,

Pour l'énoncé modifié j'ai toujours une solution avec 1 coup de ciseaux dans le cas 2,5 x 10 et 3 coups pour le cas 2 x 12,5 (je n'utilise que le compas et la règle non graduée).
Pour a x b le nombre n dépend de a et b.
Par exemple pour a=1 et b=25 j'ai 4 coups de ciseaux.
Pour a=0,25 et b=100 j'ai 19 coups de ciseaux.

Posté par veleda veleda

bonjour
>>rudypas eu le temps de chercher avec le nouvel énoncé je viens de faire 650km
pour la A) c'est bien la figure que je voulais joindre mais je n'ai pas réussi à la blanker

Posté par Rudi Rudi

bonjour jandri

je suis intéressé par ta solution en un coup de ciseaux pour le 2,5 x 10 qui, j'espère, ne tient pas compte des valeurs numériques particulières de 2,5 = 5/2 et 10 = 5*2
car, si cela correspond à ce mode opératoire :



ce n'est pas ce qui est attendu car il ne faut pas tenir compte de la particularité des valeurs numériques (rapport entier entre les 2 nombres notamment)

Il faut supposer, par exemple, que l'on a un rectangle de côtés racine(3) et racine(23) et que l'on cherche à construire un carré de côté racine(69)

J'espère avoir été plus clair encore

Rudy

Posté par Rudi Rudi

pour veleda

pour joindre ta figure en invisible :

1) tu t'assures qu'elle respecte les dimensions maximales* et le poids max (60 kO)
( * je crois que l'aide, la FAQ n'est pas à jour quant aux dimensions maximales, alors que le warning de la fenêtre d'attachement doit être juste )

2) tu attaches ta figure par le bouton Img

3) tu écris [ img1 ] (sans les spaces) dans le corps de ton message à l'endroit où tu désires l'insérer

4) tu sélectionnes cet [ img1 ] et tu cliques sur le bouton banker

Pour exemple, en cliquant sur l'oeil :


Rudy

Posté par jandri jandri

Rudy,

Ma solution pour 2,5 x 10 est bien celle que tu as exposé à 20h02.
Le problème que j'ai pour généraliser est qu'une méthode pour découper un rectangle a x b en n morceaux (et reconstituer un carré) doit tenir compte du rapport a/b; le nombre n ne peut être obtenu que si ce rapport est compris entre deux bornes qui dépendent de n.

Posté par Rudi Rudi

Bonjour jandri,

Tu disais hier, à 18h41 pouvoir traiter le cas 2 x 12,5 en 3 coups; j'espère que ce n'est pas le mode opératoire suivant :



Car, là aussi, il est tenu compte de la particularité des valeurs numériques, avec un rapport entier entre les 2 distances

Sans nécessairement chercher à généraliser avec a et b quelconques (ton message d'hier 22h08), peux-tu exposer tes solutions pour les deux exemples proposés : 2 x 12,5 et 2,5 x 10 ?

Je fournirai, ensuite, puisque ça ne semble intéresser qu'un nombre très restreint de membres, une solution qui mériterait de se pencher sur sa généralisation ( qui me dépasse ) pour déduire N de a et b...

Rudy

Posté par jandri jandri

Bonjour Rudy,

J'ai procédé exactement comme tu l'as très bien décrit dans les cas 2,5 x 10 et 2 x 12,5 car j'ai cru au départ que les dimensions étaient choisies pour que le découpage soit le plus simple possible.
Pour a et b "quelconques", j'ai commencé par construire la longueur puis avec deux coups de ciseaux j'obtiens deux morceaux qui débutent la formation du carré mais je n'ai pas réussi à découper le dernier morceau pour terminer le carré.

Posté par veleda veleda

bonjour
>>rudy
*merci pour tes conseils de blankage mon image avait bien les dimensions requises mais j'avais du mal placer les bornes blank
**j'ai eu le temps de chercher mais je n'arrive pas à former le carré dans le cas où a et b sont quelconques (si jandri n'a pas trouvé il y a peu de chances que je trouve)
***très bien tes explications en images des mèthodes qui ne sont pas celles attendues

Posté par Rudi Rudi

Bonjour jandri

Voici comment j'ai procédé, et, à te lire, je pense que tu es dans la même direction :

Soit un rectangle a x b avec a inférieur à b, que je positionne verticalement, ie côté à l'horizontale.

Du côté horizontal, je trace un segment reliant les deux bords verticaux, incliné d'un angle t avec l'horizontale, de longueur racine(ab) qui est la longueur du côté du carré

l'angle t possède un cosinus valant a/racine(ab) = racine(a/b) ; c'est là qu'intervient la calculette trigo pour trouver l'angle t

Je trace, grâce au rapporteur, le segment rouge et par le premier coup de ciseaux dissocie deux morceaux dont un triangle inférieur [eg t = 60° et triangle de hauteur racine(a(b-a)) = a.racine(3) = 2,5.racine(3) )

Dans le triangle inférieur, grâce à l'équerre, je trace la perpendiculaire au segment précédent passant par l'angle droit
Je dissocie deux morceaux [eg vert et jaune foncé] par un deuxième coup de ciseaux sur le segment vert.

Enfin, toujours avec l'équerre, je réalise un triangle de côté le segment rouge, et trace le segment bleu à angle droit
Je dissocie deux morceaux [eg bleu et jaune clair]

Sur cet exemple, j'assemble ces 4 pièces obtenues par 3 coups de ciseaux et forme le carré de côté 5 cm et de surface 25 cm².
Il est étonnant de constater que les côtés du carré sont issus de coups de ciseaux, et que les bords des pièces à l'intérieur sont des bords du rectangle initial



Dans d'autres exemples, la pièce verte peut être un quadrilatère car l'équerre traçant le segment vert ne passe pas par l'angle droit

Il est intéressant de construire, sur le même principe, le rectangle 2 x 12,5 et de "voir" les différences : on y parvient avec 4 coups de ciseaux

En revanche, et c'est là où je peine, c'est la détermination du nombre N de coups de ciseaux en fonction de a et b
Ce nombre N doit dépendre de racine(a/b) mais également d'autres critères...

Si jamais cette construction t'ouvre des idées, jandri, ta réflexion sur N = f(a,b) m'intéresse

Rudy

Posté par Rudi Rudi

Bonjour veleda

Tu as posté pendant que je rédigeais et je ne vois ton intervention que maintenant; je pensais que cet exo n'intéressait que jandri et moi

Désolé alors pour le dernier post qui propose un mode opératoire sans toutefois répondre à ma question de fond : N = f(a,b)
Si tu veux t'y pencher, tu es la bienvenue

Par ailleurs, l'autre point qui est encore flou pour moi est la question :
"Comment prouver que cette façon de découper ce rectangle parvient TOUJOURS à former un carré"
Je le pressens, d'une part du fait des surfaces identiques et qu'un côté vaut racine(a,b) d'autre part, mais la "vraie" jutification me manque...

Merci, enfin, pour ta remarque ***

Rudy

Posté par jandri jandri

Bonjour Rudy,

J'ai examiné ton découpage.
Il n'est valable que dans le cas où soit environ
Donc ce n'est pas valable pour a=2,5 et b=10.

Posté par Rudi Rudi

jandri

Je disais d'utiliser le "même principe", ie de reporter des bandes verticales

En adoptant le même principe au rectangle 2 x 12,5, on obtient bien un carré 5 x 5, et toujours sans règle graduée :


avec t = arccos(racine(2/12,5))

Quant à la généralisation...

Rudy

Posté par Rudi Rudi

Nota :
l'équerre du n°4 rouge de ma dernière figure est mal orienéee; elle doit être telle que son angle droit soit sur l'hypothénuse du triangle rectangle

Rudy

Posté par jandri jandri

Re-bonjour Rudy,

J'ai fini par comprendre ton découpage!
On peut découper avec 3 coups de ciseaux quand 2a < b < 4a.
J'ai fait un dessin avec Cabri.
Je vais continuer à chercher quand b < 2a ou b > 4a.

Posté par jandri jandri

Bonjour Rudy,

J'ai obtenu le nombre N de coups de ciseaux pour découper un rectangle de rapport en utilisant ta méthode. Il suffit en fait d'avoir une règle et un compas, car à partir des longueurs a et b on peut facilement construire ; le reste de la construction peut se faire avec des parallèles et des perpendiculaires.
Pour entier je note la solution positive de l'équation . Elle vérifie (plus précisément ).
Alors, si ou si il faut coups de ciseaux (il y a donc n+3 morceaux).
Si ou il faut coups de ciseaux.
La valeur correspond à l'égalité , la valeur correspond à .
Je joins les découpages pour les 4 premiers intervalles (]1 ; 2[,]2 ; 4,08[,]4,08 ; 5[,]5 ; 9,37[).

Posté par Rudi Rudi

bonjour jandri et merci pour tes recherches

Subsiste néanmoins toujours la dernière interrogation, ie la question de la possibilité de génération du carré à partir du rectangle qui peut se résumer ainsi :

Comment est-on certain que la découpe du triangle inférieur gauche du rectangle (celui entouré d'une ellipse rouge dans la figure ci-dessous) permet, à coup sûr, de générer les deux pièces hachurées vertes situées dans la partie droite du carré ?



Bon week-end du 14 juillet !

Rudy