point fixe et contraction

Posté par tazia tazia

Bonjour!

J'espère que vous pouvez m'aider!

Soit (X,d) un espace vectoriel normé. Soit :XX une contraction lorsque x,yX: xy et
d((x),(y))< d(x,y)

a) il faut que je trouve une contraction dans avec d(x,y)=|x-y|, qui n'a pas de point fixe. il faut constater (x)-x (et quelles sont les caractéristiques qu'elle doit avoir?)

MERCI d'aance!

Posté par dolma dolma

Salut Tazia,

Bon, c'est la première fois que j'entends parler de contractions donc je ne peux pas dire que ce que j'ai trouvé est a 100% sur, mais ça m'a l'air bon.

Déjà, tu cherches une application : . Tu peux donc tracer la courbe correspondante y=(x).

Maintenant traces la droite y=x et tu te rends vite compte que toute courbe de "pente" (en valeur absolue) inférieure à 1 est une contraction et toute courbe de "pente" (toujours en valeur absolue) supérieure à 1 n'en est pas une.
En effet, comme ici la distance d est définie par il te suffit d'ecrire la valeur absolue du taux de variation de ta courbe qui est :



On voit bien que si c'est inferieur à 1, c'est bien la définition de la contraction que t'as donnée au debut .

Maintenant pour qu'il n'y ait pas de point fixe, il suffit que ta courbe ne coupe pas y=x.

Et voila, donc, toute courbe qui admet en tout point un taux de variation tel que || < 1 et ne coupant pas la droite x=y represente une contraction de n'ayant pas de point fixe.

Le coup de constater (x)-x , je suppose que c'est pour dire que comme la courbe ne doit pas couper y=x, il faut donc que (x)-x soit de signe constant (et donc ne s'annule pas).

Voila voila, j'espère que ca t'aidera. (et surtout que c'est pas faux )


PS : J'ai mis au lieu de dans les équations mais c'est la même chose, j'ai juste pas trouvé le sous LaTeX

Posté par dolma dolma

Ooops, dans la formule c'est et pas .

Posté par caypak caypak

Tazia,
remarquons tout d'abord que pour d(x,y)=/x-y/ ,d définit une distance sur R.Alors (R,d) est un espace métrique et de surcroit complet.Par suite,toute appliction contractante de R à valeurs dans R admet un unique point fixe d'après bien entendu le théorème des points fixes de Banach.

En revenant donc à l'exercice,on ne trouvera jamais une contraction de R qui n'a pas de point fixe.Et déjà il faut rectifier la def donnée:l'hypothèse
d(f(x),f(y))<d(x,y) n'implique pas que f est une contraction:f est une contraction sur X si pr tt (x,y) dans XxX ,d(f(x),f(y))<=kd(x,y) avec 0<=k<1. merci et bye.                                              

Posté par tazia tazia

je vous remercie énormément de votre aide...(en fait il s'agit d'une contraction point par point)n'ayant pas de point fixe c'est pas évident À montrer..

Posté par tazia tazia

En cours on a parlé de Banach (mais bon le cours est en allemand)

Posté par elhor_abdelali elhor_abdelali

_{sauf erreur bien entendu}

Posté par tazia tazia

je ne vois pas trop pourquoi ca n'admettrait pas de point fixe?!

Posté par elhor_abdelali elhor_abdelali

Eh bien tu résouds l'équation pour t'en convaincre

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

Voici aussi ma contribution. (pas la même que celle d'elhor.

Il y a deux idées: d'abord pour être sur qu'une fonction est contractante, on peut la prendre dérivable avec dérivée strictement inférieure à 1 (en valeur absolue)
et faire marcher le théorème des accroissements finis.

Ensuite, une fonction f est sans point fixe si et seulement si elle est de la forme f(x)=x+g(x) où g ne s'annule pas.

Avec ça, voici un exemple (après un peu de bricolage)



Evidemment pas de point fixe, et

Posté par tazia tazia

Je vous remercie énormément Camélia et Elhor! grâce à vous j'ai compris!!!(mon message est un peu tard )

Posté par elhor_abdelali elhor_abdelali

De rien tazia

la fonction étant continue et ne s'annulant pas sur elle y garde un signe constant et on a donc :

soit pour tout réel comme c'est le cas par exemple pour

noter que dans ce cas est strictement positive au moins sur et

soit pour tout réel comme c'est le cas par exemple pour

noter que dans ce cas est strictement négative au moins sur et _{sauf erreur bien entendu}