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Exercice L3 calcul d'intégrale

   
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licenceExercice L3 calcul d'intégrale

#msg2489767 Posté le 04-07-09 à 16:46
Posté par Profilolive_68 olive_68

Bonjour

Je me teste à un exercice de calcul d'intégrale etc .. Si vous pouviez me corriger

Exercice 1:

Pour chaque entier 3$n\in \bb{N^+}, on définit la fonction  3$f_n: 3$\bb{R}_+\to \bb{R} par :

                       3$\fbox{f_n(x)=\arctan\(\fr{x}{n^2+x^2}\)


4$\fbox{1.} Montrez que la série de fonctions  3$\Bigsum__{n\ge 1} \ f_n converge simplement sur 3$\bb{R}_+

Bon la à ce que j'ai pu lire il faut montrer que 3$f_n converge..

J'imagine que je dois montrer que 3$\lim_{x\to +\infty} \ f_n(x)=\ell

On a 3$\fr{x}{n^2+x^2}=\fr{x}{x(\fr{n^2}{x}+x)}=\fr{1}{\fr{n^2}{x}+x}, comme 3$n est fixé on a 3$\lim_{x\to +\infty} \ \fr{x}{n^2+x^2}=0 puisque 3$\lim_{x\to +\infty} \ \fr{1}{\fr{n^2}{x}+x}=0

On pose X=\fr{x}{n^2+x^2}, on a donc 3$\lim_{x\to +\infty} \ f_n(x)=\lim_{X\to 0} \ \arctan(X)=0

Donc 3$\lim_{x\to +\infty} \ f_n(x)=0

On en déduit que 3$f_n converge sur 3$\bb{R}_+ donc que la série converge simplement sur 3$\bb{R}_+

Bon début ?

3$\fbox{2.} Soit 3$f la somme de la série de fonctions 3$\Bigsum__{n\ge 1} \ f_n.Montrer que 3$f est continue sur 3$\bb{R}_+

Ben la à mon avis il faudrait étudier le terme général de la somme,

               3$f_n(x)=\arctan\(\fr{x}{x^2+n^2}\)

Tout d'abord si on pose 3$g_n(x)=\fr{x}{x^2+n^2} on à 3$g_n dérivable en tant que quotient de deux fonctions dérivables sur 3$\bb{R}_+.

De plus 3$x^2+n^2>0 car 3$n\ge 1 et 3$x\ge 0.

La fonction arctangente est continue et dérivable sur 3$\bb{R} donc plus particulièrement sur 3$\bb{R}_+.

Donc le 3$f_n est dérivable sur 3$\bb{R}_+ en tant que composée de fonctions dérivables.

Comme 3$f_n est dérivable sur 3$\bb{R}_+ alors 3$f_n est continue sur 3$\bb{R}_+.

Je posterais la suite ensuite .. 3$\rm Merci d^'avance
re : Exercice L3 calcul d'intégrale#msg2489769 Posté le 04-07-09 à 16:47
Posté par Profilotto otto

Bon début ?
Non, tu montres que f_n converge, on veut montrer que c'est leur somme qui converge.
re : Exercice L3 calcul d'intégrale#msg2489773 Posté le 04-07-09 à 16:54
Posté par Profilotto otto

f_n est continue sur R est quelque chose de trivial...
On veut montrer que la somme des f_n est continue ce qui l'est beaucoup moins.

Sans vouloir te décourager, je pense que tu n'as pas le niveau pour traiter ce genre d'exercice, du moins pas aussi facilement que tu l'espérais.
re : Exercice L3 calcul d'intégrale#msg2489774 Posté le 04-07-09 à 16:57
Posté par Profilolive_68 olive_68

Euh j'ai oublié de conclure, je voulais dire que le tout est dérivable en tant que somme de fonctions dérivables donc que la série est continue..

Ah j'avais lu ça sur l'île,

Citation :
Par contre, la convergence simple nous dit juste que pour tout x, la suite f_n(x) converge.


La réciproque c'est pas vrai ?
re : Exercice L3 calcul d'intégrale#msg2489776 Posté le 04-07-09 à 17:06
Posté par Profilinfophile infophile

Je suis d'accord avec otto, ces notions te dépassent encore, on voit ça seulement en spé.

Dans ta citation c'est la suite de fonctions (fn) qui converge, alors que dans l'exo c'est la série de fonctions, ce qui est radicalement différent.

re : Exercice L3 calcul d'intégrale#msg2489777 Posté le 04-07-09 à 17:08
Posté par Profilolive_68 olive_68

Ah bon .. bon ben tampis merci quand même ..
re : Exercice L3 calcul d'intégrale#msg2489778 Posté le 04-07-09 à 17:09
Posté par Profilamauryxiv2 amauryxiv2

Il était peut-être en terminale S en 2007 et maintenant à bac+2 ? A lui de nous répondre, mais c'est qu'il démontre des chose vraies mais à côté de l'énoncé ....
re : Exercice L3 calcul d'intégrale#msg2489779 Posté le 04-07-09 à 17:14
Posté par Profilolive_68 olive_68

Non non amauryxiv2 j'ai bien passé mon bac cette année..

En regardant l'exercice et ce que j'avais lu je pensais que c'était faisable pour moi (d'où mes réponses) mais il semble que c'est beaucoup plus dure que ce que je pensais..

Merci quand même
re : Exercice L3 calcul d'intégrale#msg2489780 Posté le 04-07-09 à 17:14
Posté par Profilolive_68 olive_68

Pardon j'ai oublié de l'écrire , salut
re : Exercice L3 calcul d'intégrale#msg2489785 Posté le 04-07-09 à 17:19
Posté par Profilotto otto

Si tu veux quand même de l'aide, je pense que tu peux t'en sortir pour les deux questions en donnant une majoration de arctan(u) et en la sommant.
re : Exercice L3 calcul d'intégrale#msg2489789 Posté le 04-07-09 à 17:31
Posté par Profilinfophile infophile

Bon allez juste pour la curiosité je te dis comment faire :

Tu as pour tout x > 0, arctan(x) < x.

Donc aussi pour tout x > 0, arctan(x/(n²+x²)) < x/(n²+x²) < x/n²

Et la série {x/n²} converge, donc la nôtre aussi (par croissance) puisqu'elle est majorée.

re : Exercice L3 calcul d'intégrale#msg2489791 Posté le 04-07-09 à 17:32
Posté par Profilinfophile infophile

Oui en fait la première question était faisable en Terminale à partir du moment où on savait que la somme des 1/n² a une limite (finie).

re : Exercice L3 calcul d'intégrale#msg2489792 Posté le 04-07-09 à 17:33
Posté par Profilotto otto

J'imagine que je dois montrer que lim f_n(x) = l
Non, c'est une mauvaise idée.
Sur R+ chacune des f_n est positive, donc la somme est croissante.
re : Exercice L3 calcul d'intégrale#msg2489797 Posté le 04-07-09 à 17:45
Posté par Profilolive_68 olive_68

Merci

Ben j'étudie la fonction 3$h(x)=\fr{1}{x}-\arctan\(\fr{x}{1+x^2}\) puisque 3$\fr{x}{n^2+x^2} est décroissante donc 3$\fr{x}{1+x^2}\ge \fr{x}{n^2+x^2} donc par composée 3$f_1(x)\ge f_n(x)

3$h^'(x)=-\fr{1}{x^2}-\fr{1}{\(\fr{x}{1+x^2}\)^2+1}\times \[\fr{1-x^2}{(1+x^2)^2}\]=-\fr{1}{x^2}-\fr{1-x^2}{x^2+(1+x^2)^2}=\fr{-x^2-(1+x^2)^2-(1-x^2)x^2}{x^2(x^2+(1+x^2)^2)}=\fr{-x^2-1-2x^2-x^4-1-x^2+x^4}{x^2(x^2+(1+x^2)^2)}=\fr{-2-4x^2}{x^2(x^2+(1+x^2)^2)}<0

Donc la fonction est décroissante sur 3$\bb{R}_+ De plus 3$\lim_{x\to 0} \ h(x)=+\infty et 3$\lim_{x\to +\infty} \ h(x)=0

Donc 3$h(x)>0

Ainsi 3$\fr{1}{x}\ge \arctan\(\fr{x}{x^2+n^2}\) C'est un bon début ?

Enfin en fait mon but en faisant ça c'était de montrer que le tout était majoré par 1 (Je pensais que en sommant les n allaient se simplifier pour donner 1)
Mais j'ai un x au lieu d'un n..

Merci d'avance
re : Exercice L3 calcul d'intégrale#msg2489799 Posté le 04-07-09 à 17:47
Posté par Profilolive_68 olive_68

Ah j'avais pas vu vos postes j'étais occuper à écrire le miens..

Oubliez ce que je viens de poster, je vais regarder attentivement ce que vous vus avez posté

Merci !
re : Exercice L3 calcul d'intégrale#msg2489801 Posté le 04-07-09 à 17:47
Posté par Profilinfophile infophile

Je t'ai donné la réponse ^^
re : Exercice L3 calcul d'intégrale#msg2489802 Posté le 04-07-09 à 17:50
Posté par Profilolive_68 olive_68

Oui merci j'avais pas vu vos postes (Voir mon poste de 17h47)
re : Exercice L3 calcul d'intégrale#msg2489805 Posté le 04-07-09 à 18:20
Posté par Profilinfophile infophile

Pour la 2) on se sert de la majoration de la 1), on a convergence uniforme sur tout compact donc continuité de la somme.

Bon ça tu pouvais pas deviner, par contre je viens de voir un truc en rapport avec ton exo que tu peux faire à ton niveau.

Soit 3$ f(x)=\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\frac{2x}{x^2+n^2}

Détermine la limite de f en +\infty.

re : Exercice L3 calcul d'intégrale#msg2489809 Posté le 04-07-09 à 18:44
Posté par Profilinfophile infophile

Note que la limite est la même en -\infty par imparité.

J'ai trouvé ce p'tit exo en traçant dans Maple la série de fonctions 3$ \Bigsum_{n=1}^{\infty}\frac{x}{x^2+n^2} et on voit assez bien vers quoi ça tend (j'ai ajouté le facteur 2 pour rendre la limite plus sympa).

En plus ça a l'avantage de se démontrer avec des outils de Terminale.

A toi de jouer
re : Exercice L3 calcul d'intégrale#msg2489820 Posté le 04-07-09 à 19:55
Posté par Profilgui_tou gui_tou

re : Exercice L3 calcul d'intégrale#msg2489821 Posté le 04-07-09 à 19:59
Posté par Profilolive_68 olive_68

Re

Merci infophile de tout de même m'aider (Je n'y ai pas encore réfléchie j'étais parti)

Et merci gui_tou mais j'irais pas regarder, j'aimerais trouver seul

Bon je vais sortir la donc je regarderais cette nuit , Bonne soirée

re : Exercice L3 calcul d'intégrale#msg2489844 Posté le 04-07-09 à 20:46
Posté par Profilinfophile infophile

Olive_68 est une fille ?
re : Exercice L3 calcul d'intégrale#msg2489869 Posté le 04-07-09 à 21:56
Posté par Profilelhor_abdelali elhor_abdelali Correcteur

re : Exercice L3 calcul d'intégrale#msg2489912 Posté le 05-07-09 à 02:54
Posté par Profilolive_68 olive_68

Citation :
Olive_68 est une fille ?


\to Ah ce qu'on m'a dit je ne crois pas non


Merci elhor mais même remarque que pour gui_tou

bon je vais regardé ce que tu m'a écris
re : Exercice L3 calcul d'intégrale#msg2489917 Posté le 05-07-09 à 06:25
Posté par Profilolive_68 olive_68

infophile >> D'ailleurs qu'est ce qui te fait dire ça ?

Sinon pour la convergence de cette série ça me disais quelque chose, y a pas du Riemann dans cette histoire? (Il me semble qu'il y a la même chose pour les intégrales non?)

Sinon je vais tenter un truc, j'irais voir vos liens ensuite pour voir à quel point je suis moche ^^

4$f(x)=\Bigsum_{n=1}^{+\infty} \ \fr{2x}{x^2+n^2}=\Bigsum_{n=1}^{+\infty} \ \fr{1}{x^2}\fr{2x}{\(\fr{n}{x}\)^2+1}=\Bigsum_{n=1}^{+\infty} \ \fr{1}{x}\times\[ \fr{2}{\(\fr{n}{x}\)^2+1}\]

C'est une somme de Riemann associé à la fonction 3$t \ : \to \ \fr{2}{t^2+1} qui est continue et dérivable sur 3$\bb{R}_+ donc :

3$\Bigsum_{n=1}^{+\infty} \ \fr{2x}{x^2+n^2}=\Bigint_0^{x} \ \fr{2}{t^2+1} \ \text{d}t =2\arctan(x)

Et 3$\lim_{x\to +\infty} \ \arctan(x)=\fr{\pi}{2}

D'ou, 3$\lim_{x\to +\infty} \ f(x)=\pi

Pour les bornes je ne suis pas trop sur.. j'ai mis 3$x parce que ça m'aurait embêté de me retrouver sans rien quoi et la à cette heure-ci de la nuit j'arrive plus à rien faire rentrer dans mon crâne ..

J'éspère que j'ai pas trop fais le moche ..

Merci d'avance
re : Exercice L3 calcul d'intégrale#msg2489918 Posté le 05-07-09 à 06:29
Posté par Profilolive_68 olive_68

(Ben en voyant les réponses envoyé je ne sais pas trop quoi penser.. je pense que c'est un hasard plus qu'autre chose que je trouve la bonne limite et puis si c'était la méthode que tu attendais de moi je n'y aurais jamais pensé par moi même même si j'aime beaucoup l'astuce..)
re : Exercice L3 calcul d'intégrale#msg2489935 Posté le 05-07-09 à 10:16
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Citation :
C'est une somme de Riemann associé à la fonction


Raté, c'en n'est pas une Et oui, c'est un gros coup de chance que tu tombes sur le résultat.
re : Exercice L3 calcul d'intégrale#msg2489936 Posté le 05-07-09 à 10:17
Posté par Profilgui_tou gui_tou

En revanche, il y a un truc avec une intégrale, essaie la comparaison série-intégrale
re : Exercice L3 calcul d'intégrale#msg2490034 Posté le 05-07-09 à 15:19
Posté par Profilolive_68 olive_68

Ah bon mais comment on le remarque que elle ne veut pas être une somme de Riemann?

Et puis la comparaison série-intégrale je connais pas :S je vais voir sur le net
re : Exercice L3 calcul d'intégrale#msg2490039 Posté le 05-07-09 à 15:28
Posté par Profilotto otto

Pour le calcul de la limite, il me semble que c'est trivial, pas besoin de théorèmes, il suffit juste d'observer la fonction...
re : Exercice L3 calcul d'intégrale#msg2490045 Posté le 05-07-09 à 15:41
Posté par Profilotto otto

Non ce n'est peut être pas si évident en fin de compte, j'ai parlé un peu vite.
Salade#msg2490070 Posté le 05-07-09 à 17:36
Posté par ProfiliMouf iMouf

un peu de salade dans l'air!
re : Exercice L3 calcul d'intégrale#msg2490077 Posté le 05-07-09 à 18:23
Posté par Profilotto otto

Pardon ?
re : Exercice L3 calcul d'intégrale#msg2490083 Posté le 05-07-09 à 18:38
Posté par Profilotto otto

Tu as mal fait ta somme de Riemann,
si tu transformes ta somme de cette façon, ça me semble déjà plus correct (et plus intéressant)

\frac{1}{n}\sum \frac{(x/n)}{(x/n)^2+1}
re : Exercice L3 calcul d'intégrale#msg2490087 Posté le 05-07-09 à 18:56
Posté par Profilotto otto

Mais comme guitou l'a dit ce n'est de toute facon pas une somem de Riemann.
Par curiosité quel est le reste de l'énoncé de ton exercice ?

Est-ce le même que ce qui a été posté par elhor entre autre ?
re : Exercice L3 calcul d'intégrale#msg2490090 Posté le 05-07-09 à 19:03
Posté par Profilolive_68 olive_68

Ah ok je savais pas que on pouvait sortir le \fr{1}{n} sans complexe alors qu'on somme en n

Pour l'énoncé je vais t'envoyer le lien si je le retrouve

En tout cas il me semble que la prochaine question est de montrer que la série ne converge pas uniformément
re : Exercice L3 calcul d'intégrale#msg2490092 Posté le 05-07-09 à 19:04
Posté par Profilinfophile infophile

Pourtant elle converge uniformément.
re : Exercice L3 calcul d'intégrale#msg2490095 Posté le 05-07-09 à 19:12
Posté par Profilotto otto

Ah ok je savais pas que on pouvait sortir le  sans complexe alors qu'on somme
Non, j'ai dit n'importe quoi, je ne suis pas en forme ce matin on dirait ...
Ca n'a évidemment aucun sens.
re : Exercice L3 calcul d'intégrale#msg2490102 Posté le 05-07-09 à 19:27
Posté par Profilolive_68 olive_68

^^

Ben infophile la prochaine question est mot pour mot,

Montrer que la série des fonction 3$\Bigsum \ f_n ne converge pas uniformément sur 3$\bb{R}_+.

Sinon la prochaine est déterminer la limite de 3$f en 0

Et la dernière, Montrer que 3$f est 3$C^1 sur 3$\bb{R}_+

re : Exercice L3 calcul d'intégrale#msg2490105 Posté le 05-07-09 à 19:34
Posté par Profilotto otto

Je pense effectivement que la convergence n'est pas uniforme, et je pense dire ma première non bétise de la journée en affirmant que
f_n(n) est équivalent à 1/2n ce qui implique que la convergence n'est uniforme que sur tout compact et non sur R.
re : Exercice L3 calcul d'intégrale#msg2490107 Posté le 05-07-09 à 19:35
Posté par Profilolive_68 olive_68

^^

Mais quelqu'un pourrait me dire ce qui est faux dans ma somme de Riemann?  j'ai du mal à comprend pourquoi ça n'en serait pas une en fait..

re : Exercice L3 calcul d'intégrale#msg2490108 Posté le 05-07-09 à 19:37
Posté par Profilinfophile infophile

Ah oui oui j'avais précisé sur tout compact plus haut (pour la continuité), mais sur R+ non.
re : Exercice L3 calcul d'intégrale#msg2490266 Posté le 06-07-09 à 11:40
Posté par Profilmonrow monrow Posteur d'énigmes

Salut !

Les sommes de Riemann c'est pour une somme finie ... Tu l'as démontré toi pour le cas d'une somme infinie?
re : Exercice L3 calcul d'intégrale#msg2490325 Posté le 06-07-09 à 13:59
Posté par Profilotto otto

Les sommes de Riemann c'est pour une somme finie
??
Ca n'a surtout pas "la tête" d'une somme de Riemann.
re : Exercice L3 calcul d'intégrale#msg2490382 Posté le 06-07-09 à 17:24
Posté par Profilolive_68 olive_68

monrow >> Ben je pensais calculer la somme de 3$1 à 3$n et le faire tendre vers l'infini .. Voici le lien (Les deux derniers exemples utilise bien le fait que 3$n tende vers l'infini)

Bon ben je pensais que ça ressemblait à ce que j'ai écris..

Je vais reprendre tout ça
re : Exercice L3 calcul d'intégrale#msg2490416 Posté le 06-07-09 à 19:22
Posté par Profilolive_68 olive_68

Bon le plus simple c'est que je laisse ça et que je me trouve un corrigé que je puisse voir ce qu'on attendait et m'entrainer un peu ..

Merci à vous tous
re : Exercice L3 calcul d'intégrale#msg2490426 Posté le 06-07-09 à 20:35
Posté par Profilolive_68 olive_68

Ah et puisque je viens d'y repenser en relisant le tout, je savais que la  3$\fbox{\Bigint_{n=1}^{+\infty} \ \fr{1}{n^2}=\zeta(2)=\fr{\pi^2}{6}

(Voir vers la fin ^^)

re : Exercice L3 calcul d'intégrale#msg2490427 Posté le 06-07-09 à 20:35
Posté par Profilolive_68 olive_68

.. je voulais mettre le symbole \Bigsum biensur ..

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