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dérivé

   
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premièredérivé

#msg2489822 Posté le 04-07-09 à 20:02
Posté par Profilacdc_27 acdc_27

bonjour à tous ,  je vais bientot  entrer en 1ere S et n'étant une  personne  qui s'avance , pourriez  m'aider à comprendre les  dérivés s'il vous plais   

j'ai fais  quelques  exos , mais  malheureusement  j'ai du mal . . . alors si vous  auriez  des  exemples  concrés avec lesquel m'expliquer , je serai  tout ouie

merci
re : dérivé#msg2489824 Posté le 04-07-09 à 20:04
Posté par Profilolive_68 olive_68

Salut

Ben poste tes exemples, qu'on puisse voir là ou tu coinces
re : dérivé#msg2489829 Posté le 04-07-09 à 20:09
Posté par Profilacdc_27 acdc_27

par exemple :   etudier  la  dérivabilité  en a d'une fonction
               a=3
            f(x)=x²+3x-1   donc  moi  j'utilise la formule p(h)=f(a+h)-f(a)/ h

  alors  sa  me  donne  :  p(h)= f(3+h)-f(3) / 3

  et pourtant  ce n'est pas ce  que  dis  le corrigé  --'
                                                                

              
re : dérivé#msg2489830 Posté le 04-07-09 à 20:16
Posté par Profilolive_68 olive_68

Oui pour commencé on ne divise pas le tout par 3$3 mais par 3$h

Ensuite, ce qu'il faut retenir dans le cas ou tu as un polynôme c'est qu'il est toujours dérivable en tant que somme de monôme dérivable mais bon ça ne t'encombre par l'esprit avec ça pour le moment.

Bon ben la moi je comprends la question comme ça: Est-ce que la fonction est dérivable en 3$x=3?

Ben la tu peux utiliser la formule que tu viens de donner, tu dévellopes le tout ensuite et tu simplifies puis tu passes à la limite etc ..

Mais ce que je ferais moi, on dérive la fonction (Tu as des problèmes pour dériver ? ):

        3$f^'(x)=2x+3

Quel est le domaine de définition de la fonction dérivée 3$f^' ?

re : dérivé#msg2489834 Posté le 04-07-09 à 20:21
Posté par Profilnumero10 numero10

Salut à vous deux,

Je sais pas ce qu'en pense olive_68 mais si je peux me permettre tu ne commence pas par le meilleur même si c'est la base.
re : dérivé#msg2489836 Posté le 04-07-09 à 20:23
Posté par Profilacdc_27 acdc_27

ba oui  c'est  ça  la  question  du  je l'ai ressentis comme ça  .  
ba  le  domaine  de  d"finition  je  le  sais  pas ,  il n'est pas  mentionné .

et  si  ça  te derange pas ,  pourrais me  montrer  le  développement à faire  ,  car  je vois  vraiment  pas  clair
re : dérivé#msg2489837 Posté le 04-07-09 à 20:23
Posté par Profilacdc_27 acdc_27

ba  j'ai  deja  ingurgité le  chapitre  sur  les polynomes
re : dérivé#msg2489838 Posté le 04-07-09 à 20:34
Posté par Profilolive_68 olive_68

Salut numéro10

En fait je vais sortir la donc je te répondrais plutôt tard cette nuit, tu auras des réponse demain si personne d'autre ne s'en ai chargé et si je suis motivé je te ferais un petit truc sur les dérivés

Op bonne soirée
re : dérivé#msg2489840 Posté le 04-07-09 à 20:35
Posté par Profilacdc_27 acdc_27

ok merci bcp    tk  jsré la  ce soir  . et merci :p
re : dérivé#msg2489887 Posté le 04-07-09 à 22:40
Posté par Profilwiwol wiwol

bonsoir,

honnêtement je ne te conseille pas de t'avancera sur les dérivés, tu les verra l'année prochaine et tu en aura assez, si tu veux t'avancer commence par la résolution des polynôme du 2nd degrés
re : dérivé#msg2489892 Posté le 04-07-09 à 23:09
Posté par Profilnumero10 numero10

Citation :
ba  le  domaine  de  d"finition  je  le  sais  pas ,  il n'est pas  mentionné .


Donne le alors:pas de fraction pas de racine carré donc Df'= (si j'ai bien compris la question de olive_68)

Pourrais tu dire ce que dis le corrigé stp?

Il ne faut pas savoir étudier les limites pour étudier la dérivabilités en un point.


Citation :
commence par la résolution des polynôme du 2nd degrés


Effectivement nous c'étais notre premier chapître donc ça peut être pas mal et en plus c'est assez simple.
re : dérivé#msg2489897 Posté le 04-07-09 à 23:31
Posté par ProfilBourricot Bourricot

Bonsoir,

Dans le cas de la fonction f définie par f(x) = x² + 3x - 1

Il suffit d'appliquer un des théorèmes à la disposition des élèves de première :

une fonction polynôme est définie et dérivable sur

Donc le fonction en question est dérivable en 3 et on peut ajouter que son nombre dérivé en 3 vaut 9.
re : dérivé#msg2489899 Posté le 04-07-09 à 23:37
Posté par Profilwiwol wiwol

pour les dérivés tu as un tableau avec tes formules que tu devra connaitre qui te permettrons de dériver les fonction
re : dérivé#msg2489914 Posté le 05-07-09 à 04:30
Posté par Profilolive_68 olive_68

Re


Citation :
ok merci bcp    tk  jsré la  ce soir  . et merci :p

\toJe t'avais dit tard cette nuit

Bon sinon par ou commencer..

J'ai lu que revoir un peu les équations du second degré pourrait ne pas être inutile,
(Bon je sais pas trop par ou commencer quoi .. je vais te mettre en vrac ce qui me passe à l'ésprit à 3h30 du mat après une soirée ..)


    10$\star     Petite intro sur les polynômes :

Citation :
Tout d'abord un polynôme est de la forme 3$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_2x^2+a_1x^1+a_0 \ \ a_i\in \bb{R} (J'en sais rien si cette écriture te fais peur ou pas, en tout cas ça veut rien dire de plus que tu as des sommes de x avec des exposant variée et devant ces x il y a un coefficient )

Retiens que tout polynôme de cette forme est dérivable et continue sur 3$\bb{R} puisque une polynôme est tout le temps définie et la dérivée d'un polynôme est un polynôme de degré inférieur (Donc définie tout le temps aussi)

Exemple de polynôme :

3$3x^8+5x^5+x^2-4x+2 (Tu remarques que le plus haut degré est 3$8)

La dérivée de se polynôme est 3$24x^7+25x^4+2x-5 (Tu remarques que le plus haut degré dans la dérivée de ce polynôme est 7 donc un degré en dessous comme je te l'ais dis avant)

Sinon, si un polynôme P admet une racine que je note 3$x_0 (C'est à dire que 3$P(x_0)=0) alors il peut s'écrire de cette manière 3$P(x)=(x-x_0)Q(x)  avec 3$Q(x) un polynôme de degré inférieur à 3$P(x)

Exemple:

3$P(x)=x^3-2x^2+x on voit que 3$P(1)=0 et si tu fais le calcul tu vois que 3$P(x)=(x-1)(x^2-x) et ça verifie ce que je t'ai dis avant



    10$\star     Maintenant on va parler de trinôme :

Citation :
Un trinôme du second degré un "polynôme particulier", il est de degré 2 comme l'indique sont nom hein ^^ c'est à dire que le plus grand exposant que l'on puisse trouver dans ces trinômes est un carré

Ils sont de la forme :  3$ax^2+bx+c \ \ a,b,c\in \bb{R} \ a\neq 0

Puisqu'il est un polynôme particulier il est forcément dérivable et continue sur \bb{R}

Remarque,
Citation :

La dérivée d'un polynôme est de la forme 3$2ax+b \ \ a,b\in \bb{R}, a\neq 0
La dérivée ne s'annule qu'une unique fois, cela signifie que un trinôme du second degré admet toujours soit un maximum soit un minimum .


    10$\star     On va maintenant s'intérresser aux variations d'un trinôme,
Citation :

Si 3$a>0 le trinôme est décroissant sur 3$]-\infty;-\fr{b}{2a}[ puis croissante sur 3$]-\fr{b}{2a};+\infty[

(Fait le lien entre le signe de a dans la dérivée et quand elle s'annule, tu vas directement comprendre )

Et c'est exactement l'inverse si 3$a<0


    10$\star     Ensuite je vais te parler des racines et du nombres de celles-ci selon les cas,

Pour ça je pense que tu connais 3$\Delta qu'on appelle discriminant, ce genre de partie de chapitre c'est ce qui rentre le plus facilement,

3$\Delta=b^2-4ac   (Pour la démonstration va voir sur le net ^^ je ne la connais pas)

    10$\star     Nombre de solutions selon le signe du discriminant :

Citation :
    10$\star     Si 3$\Delta>0 alors il y a deux racines réelles x_1 et x_2
    10$\star     Si 3$\Delta=0 alors il y a une racine réelles dite double x_0
    10$\star     Si 3$\Delta<0 alors il n'y a pas de racines réelles

/!\ Attention à ne pas dire dans le dernier cas qu'il n'y as pas de racine puisque c'est faux, tu verras en terminale qu'il existe des solutions mais non réelles..


    10$\star     Les solutions,
Citation :

Elles sont donnée par,

        3$x_1=\fr{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}     et      3$x_2=\fr{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

Dans le cas ou 3$\Delta=0 est un cas particulier


Donc d'après ce que je t'ai dis un trinôme du second degré peut s'écrire de la forme 3$P(x)=(x-x_1)(x-x_2)

Remarque,

Citation :
Dans le cas ou \Delta=0 le polynôme peut toujours s'écrire à l'aide d'une identitée remarquable





Je te donne 2 petits exercices que j'invente la pour t'exercer,

    10$\star     Exo 1:

Citation :
         Soit 3$f(x)=2x^3-3x^2+2x-1

4$\fbox{1.}  a) La fonction 3$f est-elle dérivable? sur quel intervalle ?
          b)  Calcules la dérivée.
          c)  En déduire les variations de 3$f

4$\fbox{2.}  a) Calcules 3$f(1)
          b) Trouves les réels a,b,c et x_0 tel que f(x)=(x-x_0)(ax^2+bx+c)

4$\fbox{3.}  Résoud alors 3$f(x)=0


    10$\star     Exo 2:

Citation :
         Soit 3$g(x)=x^4+2x^2-4

4$\fbox{1.}  a) La fonction 3$f est-elle dérivable? sur quel intervalle ?
          b)  Calcules la dérivée, puis la dérivée seconde
          c)  Etudie le signe de la dérivée seconde,en déduire les variations de la dérivée

4$\fbox{2.}  a) Remarques que 0 est solution.
          b) Déduis-en alors le signe de la dérivée, et donc les variations de 3$g

4$\fbox{3.} a)  Résoud u^2+2u-4
          b)  En déduire les solutions de l'équation 3$g(x)=0



J'éspère que ça à pu t'aider un peu ... je vais voir si je peux t'aider sur les dérivées..
re : dérivé#msg2489916 Posté le 05-07-09 à 04:41
Posté par Profilolive_68 olive_68

Pour le dévelloppement,

3$\fr{f(3+h)-f(3)}{h}=\fr{\[(3+h)^2+3(3+h)-1\]-\[3^2+3\times 3-1\]}{h}=\fr{9+6h+h^2+9+3h-1-9-9+1}{h}=\fr{9h+h^2}{h}=9+h

Et donc la limite quand 3$h tend vers 3$0 donne 3$\lim_{h\to 0} \ 9+h=9

De plus 3$9 est un réel donc la fonction est bien dérivable en ce point 3$(\to \ f^'(3)=9 )
re : dérivé#msg2489921 Posté le 05-07-09 à 07:40
Posté par Profilolive_68 olive_68

Re;

Sinon pour les dérivations j'ai beaucoup moins d'inspiration parce que c'est super vaste ^^


        10$\star    Encore une petite intro ..
Citation :

La dérivée se calcule par une différence d'ordonnées sur une différence d'abscisses, on choisit une différence d'abscisses très très petites pour que la droite passant par les deux points choisis ressemble le plus possible localement à la courbe ..

Je ne sais pas trop si tu vois ce que je veux dire, et puis ton prof à déjà du te l'expliquer ^^..

Donc je ré-explique d'une deuxième manière, la dérivée en un point mesure le coefficient directeur de la tangente passant par celui-ci..




        10$\star      Dérivée ? C'est quoi? ça sert à quoi ?
Citation :

Cette outil est définie par :

Citation :
3$f^'(x)=\lim_{h\to 0} \ \fr{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-(x)}=\lim_{h\to 0} \ \fr{f(x+h)-f(x)}{h}

Tu remarques que cet outil mes en évidence les variations de la fonction puisque,
Citation :

          En effet, entre dérivée et fonction il y a un lien très fort (Signe-Variation):

\bullet   On prend 3$h>0, Donc la dérivée est du signe de 3$f(x+h)-f(x) donc tu sais que si 3$f^'(x)>0 alors 3$f(x+h)-f(x)>0 et donc que 3$f(x+h)>f(x) or 3$x+h>x

Donc tu reconnais que l'inégalité ne change pas de sens pas 3$f donc que la fonction 3$f est croissante

Le raisonnement est le même si 3$f(x+h)-f(x)<0 qui mène à 3$f décroissante

\bullet   Ou alors on prend 3$h<0, Alors la dérivée est du signe contraire à 3$f(x+h)-f(x)  donc si 3$f^'(x)>0 alors 3$f(x+h)-f(x)<0 et donc que f(x+h)<f(x) or x+h<x

Tu remarques de même que l'inégalité ne change pas de sens (Ce qui est rassurant au fond) donc que la fonction est croissante
Les raisonnements sont similaires dans les cas ou la fonction est décroissante ou constante (Pas de variation d'ordonnée)

Sinon une remarque,
Citation :

Citation :
Si une fonction est dérivable alors elle est continue puisque la courbe existe localement autour du point étudié.. donc de proche en proche si elle est dérivable partout elle est continue partout..
L'inverse est fausse..


En effet on remarque qu'une fonction est dérivable en 3$x_0 si :

                3$\lim_{x\to a \\ x<a} \ f^'(x)=\lim_{x\to a \\ x>a} \ f^'(x)

Pour la cas de la valeur absolue,

    3$\rm |x|= \{ x \ \ si x>0 \\ -x si x<0

Donc 3$\rm \(|x|\)^'= \{ 1 \ \ si x>0 \\ -1 si x<0

Ainsi en 3$0, 3$\lim_{x\to 0 \\ x<0} \ \(|x|\)^'=-1  et 3$\lim_{x\to 0 \\ x>0} \ \(|x|\)^'=1
D'ou 3$\lim_{x\to 0 \\ x<0} \ \(|x|\)^'\neq \lim_{x\to 0 \\ x>0} \ \(|x|\)^'

Ce qui montre bien que la fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 3$0





        10$\star      Quand est-ce qu'une fonction est dérivable ou pas ?continue ou pas
Citation :

Une fonction est dérivable en un point 3$x_0 si :

        3$\lim_{x\to x_0} \ \fr{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\ell \ \ \ \ell \in \bb{R}

Sinon on a plusieurs cas très généraux qui permette d'éviter ceci en effet,

Citation :
\bullet  La somme de deux fonctions dérivables en 3$I est une fonction dérivable en 3$I

\bullet  La produit de deux fonctions dérivables sur 3$I est une fonction dérivable sur 3$I

\bullet  Le quotient de deux fonctions dérivables sur 3$I est une fonction dérivable sur 3$I si la fonction au dénominateur ne s'annule pas sur 3$I .

\bullet  Si une fonction 3$f est dérivable sur 3$I et une fonction 3$g est dérivable sur 3$I alors la fonction 3$g\circ f (ou 3$f\circ g) est elle aussi dérivable sur 3$I


De même pour savoir quand elle est continue, (Déja elle est continue si elle est dérivable) sinon :

Citation :
\bullet  La somme de deux fonctions continues en 3$I est une fonction continue en 3$I

\bullet  La produit de deux fonctions continues sur 3$I est une fonction continue sur 3$I

\bullet  Le quotient de deux fonctions continues sur 3$I est une fonction continue sur 3$I si la fonction au dénominateur ne s'annule pas sur 3$I .

\bullet  Si une fonction 3$f est continue sur 3$I et une fonction 3$g est continue sur 3$I alors la fonction 3$g\circ f (ou 3$f\circ g) est elle aussi continue sur 3$I


Mais la comme dit après une nuit blanche j'ai pas vraiment d'inspiration, j'éspère que ça à pu t'aider..

Je te proposerais un exercice ou deux demain mais la je suis pas motivé pour en inventer à l'instant ^^
re : dérivé#msg2489924 Posté le 05-07-09 à 08:04
Posté par Profilolive_68 olive_68

Ah et j'ai oublié de conclure pour le cas de la valeur absolue, elle n'est pas dérivable en 3$0 mais pourtant elle est continue puisque 3$|0|=0 et cette valeur existe

Et je voulais rajouté, on fonction 3$f est continue en 3$x_0 si 3$\lim_{x \to x_0} \ f(x)=\ell \ \ \ \ell \in \bb{R}

C'est à dire que 3$\blue \fbox{\lim_{x \to x_0 \\ x<x_0} \ f(x)=\lim_{x \to x_0 \\ x>x_0} \ f(x)

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