Projecteur ?

Posté par Shake Shake

Bonjour,

j'ai un exercice qui me pose problème :

Déterminer la distance du polynôme x^2 + 1 au sous ensemble des polynomes scindés de degré inférieur ou égal à 2.

Il ressemble à un exercice habituel où on introduit un produit scalaire, un projecteur etc.. mais là ça fonctionne pas bien :s

Posté par elhor_abdelali elhor_abdelali

On travaille dans l'espace ? muni de quelle métrique ? quelle norme ? quel produit scalaire ?

Posté par Shake Shake

Ce qui est bizarre c'est justement que l'ensemble sur le quel on projette n'est pas un espace vectoriel. c'est là que je coince.  

Posté par Gaxe Gaxe

Salut,

Traville t on forcément avec des polynômes réels?
Dans ce cas, es tu sûr  de ne pas connaître un espace vectoriel où tous les polynôme sont scindés ?

Posté par Shake Shake

Euu je pense qu'on travaille sur les polynomes réels.

un sous espace vectoriel de R2[X] où tous les polynômes sont scindés, eu non je connais pas ?

Posté par elhor_abdelali elhor_abdelali

Dans un espace métrique (tout court) ,

la distance d'un élément à une partie non vide de est toujours bien définie par axiomatique de :

tu vois donc qu'à priori aucune structure de A n'est exigible _{sauf erreur bien entendu}

Posté par Shake Shake

Ah ok Très bien. Donc J'essaye alors:

si on note H le sous ensemble des polynomes de degrés inférieur à 2 scindés et on introduit la norme 2 "N2" c'est à dire l'application qui à un polynome
a X^2 + b X + c associe ( a^2 + b^2 + c^2 )^(1/2)

d(x^2+1, H ) = inf{ N2( X^2+1 - a X^2-b X-c ) / (a,b,c) dans R et b^2-4 ac positif )

or N2( X^2+1 - a X^2-b X-c )= [ (1-a)^2 + b^2 + (1-c)^2 ]

et là on étudie alors le minimum de la fonction
f(a,b,c) = [ (1-a)^2 + b^2 + (1-c)^2 ] avec la condition en plus b^2-4ac positif

Posté par Shake Shake

bizarre le seul point critique ( qui annule les 3 derivées partielles ) est (1,0,1) et ne vérifie pas b^2 - 4 ac positif ??

Posté par elhor_abdelali elhor_abdelali

il n'y'a rien de bizarre là dedans c'est ce qu'on appelle une étude d'extremums liés :

on doit minimiser la quantité sous la contrainte

_{le point critique que tu as trouvé serait bon pour une étude d'extremums libres ce qui n'est pas le cas ici sauf erreur bien entendu}

Posté par elhor_abdelali elhor_abdelali

Si mes calculs sont bons je trouve (par la méthode des multiplicateurs de Lagrange) que

et que cette distance est atteinte en les deux polynômes scindés de degré deux : <sub>sauf erreur bien entendu

remarque : En général dans un evn de dimension finie la distance d'un vecteur à une partie fermée est toujours atteinte</sub>

Posté par Shake Shake

Elhor pourrais tu détailler tes calculs please ?

Posté par jandri jandri

Bonjour Shake et Elhor,

Les résultats donnés par Elhor sont exacts.
On peut les obtenir simplement en écrivant:
et en cherchant le point critique de cette derinère fonction g(a,c).
On trouve a=c=1/3 d'où le minimum quand b=2/3.

Posté par Shake Shake

Très bien Merci à vous