Enigmo 123 : Le chemin le plus court

Posté par jamo jamo

Bonjour,

le schéma ci-dessous, qui n'est pas à l'échelle, donne la position de deux points A et B par rapport à un "chemin" qui est représenté par le segment vertical en noir.

L'objectif est de se rendre du point A au point B selon le trajet le plus court possible, mais en imposant le fait qu'on doit obligatoirement parcourir 500 mètres sur le chemin vertical, comme c'est indiqué sur la figure.

Question : quelle est la longueur du trajet le plus court ? (précision au mètre)

Bonne recherche !

Posté par 13or 13or

9045 m

Merci jamo pour l'énigmo!

Posté par Nofutur2 Nofutur2

je trouve 8544,58m + 500m 9045 m (arrondi au mètre le plus proche)

Posté par link224 link224

Salut jamo.

Il suffit de minimiser le nombre pour x compris entre 0 et 4900, et où x désigne la distance entre le projeté orthogonal de A sur le chemin vertical et l'extrémité nord de la partie de 500m que l'on doit parcourir sur ce segment.
On met tous ça sur tableur, et on trouve que la distance minimale entre les points A et B est de 9044,588931 mètres, soit 9045 mètres en arrondissant au mètre. Cette valeur est obtenue pour x=1400 mètres.

@+ et merci pour l'énigme.

Posté par link224 link224

(Les points d'interrogation de ma réponse précédente désignent des ² bien évidemment, mais ça ne change rien au résultat...)

Posté par yoyodada yoyodada

Bonjour Jamo

je trouve un chemin de 9996 mètres, en arrondissant à l'entier.
Merci pour l'énigme !

Posté par castoriginal castoriginal

Bonjour,

le chemin le plus court demandé est de 9044 m

A bientôt

Posté par Tyvan Tyvan

Bonjour à tous

alors, comme réponse, moi je trouve :

Pour le développement, pour l'instant, je m'embête chez moi, alors, je vais tout mettre (en plus je viens de découvrir la possibilité du TeX) :

la longeur du trajet peut s'écrire :


C'est une fonction décroissante en - et croissante en .

Si on la dérive, on obtien :


Cette dérivée à une racine pour .

Donc, notre fonction est minimum pour .

Posté par Tyvan Tyvan

Bon, j'ai cliqué sur poster au lieu de aperçu.

Donc, veuillez le non aboutissement de ce post, heureusement, la réponse y est quand même à la fin.

Merci pour l'énigme.

Tyvan

Posté par castoriginal castoriginal

j'ai oublié d'ajouter que la position du tronçon de 500m est telle que l'angle en A ( entre l'extrémité du tronçon de 500m et l'horizontale) est égal à l'angle en B ( entre l'autre extrémité du tronçon de 500M et l'horizontale). La tangente de l'angle vaut 0,7. On retrouve bien la loi de Descartes avec l'égalité des angles entre la normale au miroir et les rayons incident et réfléchi.
Bien à vous

Posté par integral integral

Bonjour, le trajet le plus court a une longueur de 9759 m environ.
Merci pour cette énigme

Posté par FlolamB FlolamB

Le chemin le plus court est de



Merci pour l'énigme

Posté par rezoons rezoons

Bonjour ,
le trajet le plus court est d'environ 7501 metres.

Posté par dpi dpi

Pour aller de A à B avec le détour imposé on ne pourra pas faire plus court que:8821 M 65

Posté par Daniel62 Daniel62

Bonjour Jamo,

ma réponse = 9045 mètres

je précise que j'ai arrondi au mètre

   AC + 500 + DB = 9044,588931 m

Posté par manpower manpower

Bonsoir,

à l'aide de Pythagore, je trouve un distance minimale pour une valeur de 1400 (via la dérivée, compliqué ?), puis un minimum de soit un minimum de 9045m environ.

Merci enfin pour cette _dernière Enigmo_{, ce soir, à mon retour de vacances}.

Posté par eour eour

approximativement 7500m

Posté par pacou pacou

Bonsoir, Jamo

La longueur du trajet le plus court est 9045 m au mètre près.
Merci pour l'énigmo.

Posté par bamboum bamboum

8.7946 km
Par minimisation du chemin et solution numerique....

Posté par Rudi Rudi

Bonjour

====== Réponse proposée ======

d = 9044 mètres

======= Méthode suivie =======

Une étude de fonction pouvait être entreprise; je propose plutôt une autre méthode, plus géométrique :



======= Proposition d'énoncé complémentaire =======

Plutôt que de rechercher la distance minimale, on peut rechercher le temps de trajet minimal en envisageant des vitesses différentes sur les 3 trajets :
A-chemin: vitesse inférieure à la vitesse de référence
chemin : vitesse de référence
chemin-B : vitesse supérieure à la vitesse de référence
Par exemple, on peut imaginer une vitesse de nage à contre-courant (A-chemin) et à une vitesse de nage dans le sens du courant (chemin-B)
Pour ne faire manipuler qu'une variable x, j'ai choisi des vitesses liées par des pourcentages



Je n'ai pas encore cherché cette extension d'énigme, j'espère qu'elle ne mène pas à des impasses (impossibiités, instabilités...)

Rudy

Posté par veleda veleda

bonjour jamo,

après des calculs simples

je trouve 8544,58 mètres soit 8545mètres  à 1m prés par excés

j'espère ne pas avoir fait d'erreurs
      merci pour cet enigmo et bon dimanche

Posté par kiko21 kiko21

Bonjour,

La longueur du trajet le plus court est de arrondie au mètre.

Si le calcul de la longueur ne tombe pas juste, en revanche, la position du trajet de 500 m sur le chemin est très précis : à 1400 m de l'extrémité du chemin côté A et à 3500 m de l'extrémité du chemin côté B.

Merci et A+, KiKo21.

Posté par bof bof

Bonjour jamo,
en cherchant le minimum d'une fonction qui me donne la longueur du chemin parcouru en fonction de la position de la portion de 500m sur le chemin en noir, je trouve que la longueur du plus court chemin est de 9045m en arrondissant au mètre.

Posté par Kacs Kacs

La longueur exacte du chemin le plus court est de , soit environ 9045 mètres.

Posté par evariste evariste

9 045 m

Posté par Laje Laje

9046,83 m
Je ne savais pas trop
comment faire ...
j'ai essayé la formule
des résistances en parallèle = 1428,5714
puis avec Thalès je trouve x = 3857,14
donc avec (3857,14 - 250)² ... etc ...
je trouve une hypo de 6165,3434 m
puis idem ... une hypo de 2381,4884 m
le tout fait (avec les 500m) = 9046,83 m

Posté par godefroy_lehardi godefroy_lehardi

Bonjour,

Je pense que le chemin le plus court fait 9161 m (arrondi au mètre).

Posté par dhalte dhalte

Bonjour
la distance optimale arrondie au mètre le plus proche est 9045 mètres

La valeur exacte est obtenue par le calcule de

Proposition d'énigme suivante : optimiser le temps de parcours avec des vitesses oblique et verticale différentes...

Posté par oyayao oyayao

le parcours fera au minimum 9045 mètres au mètre près par excès.

Posté par geo3 geo3

Bonjour
Je dirais 9044,59  => par excès 9045
A+

Posté par frapedur57 frapedur57

après de nombreux calculs, je trouve
9231 m.

Posté par plumemeteore plumemeteore

Bonjour.
9045 m, arrondi au mètre le plus proche (ici au mètre supérieur)
Si on relève la ligne rouge du bas de 500 m, elle aboutit à un point B'.
Le symétrique de B' par rapport à la ligne épaisse de gauche est B''.
Le parcours est égal à 500 mètres plus le parcours qui passe par le point d'arrivée sur le côté gauche et joint les sommets opposés du rectangle aux côtés horizontaux et verticaux et dont la diagonale est AB''.
Ce rectangle mesure 7000 m horizontalement, 4900 m verticalement et 8544,59 m en diagonale.

Posté par hypatie hypatie

Bonsoir,

Je propose 9045 m (en fait 9044,59 arrondi à l'unité supérieure).

Posté par daxtero daxtero

9045 mètres

Posté par bc92 bc92

Bonjour,

9045 m.

Soit les 500 m requis plus l'hypothénuse d'un triangle rectangle de petits côtés 4900 et 7000 m.

Posté par Yofure Yofure

Bien le bonsoir.
Pour commencer, je me suis permi de rajouter des lettres pour mes calculs (cf. l'image jointe).

Je m'essaie maintenantà la résolution :

On a :
AC² = AE² + EC²  <=>  AC² = 2000² + EC²  <=>  AC² = 4 000 000 + EC²
et BD² = BF² + DF²  <=>  BD² = 5000² + DF² <=> BD² = 25 000 000 + DF²

Or EC + CD + CF = 5400  <=>  EC + 500 + DF = 5400  <=>  EC + DF = 4900

Donc :
AC² + BD² = 4 000 000 + EC² + DF² + 25 000 000
AC + BD = 4 000 000 + 4900 + 25 000 000
AC + BD = 2000 + 4900 + 5000
AC + BD = 11 900

Sans oublier le bout de chemin parcouru sur le chemin :
CD = 500
Donc : AC + BD + CD = 11 900 + 500 = 12 400.
La longueur totale du chemin le plus court est de 12 400 mètres

Posté par lo5707 lo5707

Bonjour,

L'énigme revient à faire une symétrie orthogonale de B par l'axe du chemin (B") et de le monter de 500 m (B'), ensuite d'aller en ligne droite de A à B' et de B' à B".
Ensuite il suffira de faire une symétrie orthogonale de CB' par l'axe du chemin et de le descendre de 500 m, et le segment B'B" fera une translation jusqu'en C.



On a alors :
AB' =

La longueur totale du trajet vaut donc : 8544,58 + 500 = 9044,58
En arrondissant : 9045 m


Merci pour l'énigme.

Posté par gloubi gloubi

Bonjour,

Le trajet le plus court a pour longueur 9 045 mètres environ.
A+  

Posté par CIREDERF CIREDERF

trajet le plus court: 9044 métres

Posté par Rudi Rudi

Bonjour

Intéressant cet Enigmo : je vous propose une extension



Rudy

Posté par tonton tonton

Bonjour,

Je dirais 9045m arrondi au mètre près.

Merci.

TonTon

Posté par jonjon71 jonjon71

Bonjour !

Voici ma réponse :

  La longueur du trajet le plus court est 9045 m (arrondie au mètre).

Démonstration :

Soit x la longueur indiquée sur le dessin. On appelle f(x) la longueur du parcours.
On a f(x) =
En étudiant cette fonction (grâce à Maple) on trouve que la fonction admet un minimum en x₀ = 1400 et f(x₀) = soit environ 9045.

Merci !

Posté par pierro62 pierro62

bonjour à tous,
9341m arrondi au mètre supérieur !

Posté par toddsalim toddsalim

La longueur du trajet le plus court est la valeur minimale de a fonction F définie par :
pour
avec un logiciel de calcul on trouve que la Fonction F admet un minimum local en x=2441.31112315
d'où la valeur demandée est 9044.58893101 m

Posté par jimss jimss

Bonjour,
Je propose 9045 mètres arrondi au mètre.

Posté par JeremyBentham JeremyBentham

Bonjour,

Le Trajet le plus court mesure environ 10 519 m.

Merci pour l'énigme

Posté par carpediem carpediem

salut

500+[(5000+2000)²+(5400-500)²]

je me passe de l'arrondi au mètre...

Posté par carpediem carpediem

E est le symétrique de B par rapport à la verticale
F est le translaté de E de 500 m
AF est le plus court chemin sans les 500 m
donc on applique le théorème de Pythagore...

Posté par lyonnais lyonnais

Bonjour Jamo

Réponse :

Preuve :

On utilise un repère centré en 0 (voir figure). Dans ce repère :

A(2000,5400) , B(5000,0) , M2(0,y) , M1(0,y+500)

On cherche donc y qui minimise la longueur totale du trajet. Pour cela, on introduit la fonction a minimiser :

f(x) = AM1 + M1M2 + M2B

En résolvant f(x) = 0, on trouve x = 3500 m d'où

min f = f(3500) = 500 + 700.V(149) = 9044,59

Arrondi au mètre près, on obtient donc la réponse énoncée précédement.



Merci pour l'énigme

Posté par shboul shboul

bien bien, alors voyons voir si je ne me trompe pas...
de toute façon, il nous faudra faire la contrainte de 500m en verticale donc, autant baissé le point A de 500 mètres tout de suite. donc, à présent, A ne se trouve plus qu'à 4900m de B. On va supposer que le plus court chemin entre 2 points est le segment qui les relie directement. J'ai donc pris le point B', image de B par la droite noire. et maintenant, je peux relier directement A et B'.
Donc, merci Pythagore :


On oublie pas de rajouter la contrainte de 500m qu'on avait prise en compte au départ :


j'espère ne pas m'être trompé...
Merci encore