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Lemme de Gauss


terminaleLemme de Gauss

#msg2495435#msg2495435 Posté le 19-07-09 à 12:57
Posté par ProfilMouraddddd Mouraddddd

Bonjour, pourriez vous m'aider à résoudre l'exercice suivant en se basant uniquemenr sur le lemme de gauss :
Soit a un entier naturel . Montrer que a(7a+1)(2a+1) est divisible par 6.
merci pour votre collaboration.
re : Lemme de Gauss#msg2495444#msg2495444 Posté le 19-07-09 à 13:22
Posté par ProfilJ-R J-R

bonjour,

on peut voir que:

a pair: 2|a

sinon c'est 7a+1 qui est pair et on a 2|7a+1

reste à prouver que 3 divise ton produit : tables de congruences ?
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re : Lemme de Gauss#msg2495455#msg2495455 Posté le 19-07-09 à 13:49
Posté par Profilfrenicle frenicle

Bonjour

Comme a(7a + 1)(2a + 1) = a(6a + a + 1)(2a + 1) = a6a(2a + 1) + a(a + 1)(2a + 1)
tout revient à montrer que a(a + 1)(2a + 1) est divisible par 6.

Comme a(a + 1)(2a + 1) = a(a + 1)(a - 1 + a + 2) = a(a + 1)(a - 1) + a(a + 1)(a + 2)
il suffit de montrer que le produit de trois entiers consécutifs est divisible par 6.

Or sur trois entiers consécutifs, il y a au moins un nombre pair et au moins un multiple de 3.

Cordialement
Frenicle

lemme de gauss#msg2495618#msg2495618 Posté le 19-07-09 à 20:51
Posté par ProfilMouraddddd Mouraddddd

Bonsoir,
MERCI pour vos réponses. Seulement je croyais pouvoir trouver la solution avec le lemme de gauss sachant que cet exercice est mentionné dans le livre de maths en tant qu'application au lemme de gauss.

MERCI BEAUCOUP ET A BIENTOT
    
re : Lemme de Gauss#msg2495740#msg2495740 Posté le 20-07-09 à 08:29
Posté par ProfilJ-R J-R

qu'appelles-tu lemme de Gauss ?

si c'est : si a, b premiers entre eux  tq a|n et b|n alors (ab)|n ....

alors on l'a bien utilisée.

@+
re : Lemme de Gauss#msg2495770#msg2495770 Posté le 20-07-09 à 11:31
Posté par Profilfrenicle frenicle

D'habitude c'est :

Si a est premier avec b et divise bc, alors a divise c.

Mais je ne vois pas comment l'utiliser ici.
re : Lemme de Gauss#msg2753377#msg2753377 Posté le 06-12-09 à 09:10
Posté par Profilbilelyezza bilelyezza

bonjour,
je pense que c'est impossible de la démontrer avec la Lemme de Gauss;
mais on peut terminer la 1ère réponse;
on a montré que ce produit est divisible par 2;
pour montrer qu'il est divisible par 3 on va citer les trois cas possible:

1- si a=3k (avec k) ;
   a(7a+1)(2a+1)=3k(7a+1)(2a+1)
                =3k'           tq (k'=k(7a+1)(2a+1))

2- si a=3k+1
   a(7a+1)(2a+1)=a(7a+1)[2(3k+1)+1]
                =a(7a+1)(6k+2+1)
                =a(7a+1)(6k+3)
                =3a(7a+1)(2k+1)
                =3k'           tq (k'=a(7a+1)(2k+1))


3- si a=3k+2
   a(7a+1)(2a+1)=a(7(3k+2)+1)(2a+1)
                =a(21k+14+1)(2a+1)
                =a(21k+15)(2a+1)
                =3a(7k+5)(2a+1)
                =3k'           tq (k'=a(7k+5)(2a+1))      


===> a on a a(7a+1)(2a+1)est divisible par 6

j'espère que tu m'a compris
@ bientôt

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