Enigmo 127 : Vacances autour d'un lac
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Enigmo 127 : Vacances autour d'un lac
Posté le 06-08-09 à 17:50
Posté par 
jamo jamo 
Bonjour,
Arnold, Balise, Clotaire et Dimitri (A, B, C et D) sont quatre amis en vacances à proximité d'un lac qu'on considère comme parfaitement circulaire.
Ils sont tous situés sur le bord de ce lac, de telle sorte à être dans l'ordre A, B, C et D quand on tourne autour du lac.
Dimitri possède un petit bateau avec lequel il peut rendre visite à ses trois amis en traversant le lac en ligne droite et à vitesse constante.
Ainsi, pour aller voir Arnold, il lui faut 5 minutes ; pour Basile, 7 minutes ; et pour Clotaire, 1 minute.
De plus, Arnold se situe à 500 mètres de Balise et aussi à 500 mètres de Clotaire.
(je rappelle que, même si je parle de points sur un cercle, la distance est mesurée en ligne droite, et non pas en tournant autour du cercle
)
Questions :
1. Quelle est la vitesse de Dimitri en kayak ? (en km/h avec une précision à 1 m/h)
2. Quel est le diamètre du lac ? (en mètres avec une précision à 1 mètre)
Bonne recherche !
jamo jamo Bonjour,
Arnold, Balise, Clotaire et Dimitri (A, B, C et D) sont quatre amis en vacances à proximité d'un lac qu'on considère comme parfaitement circulaire.
Ils sont tous situés sur le bord de ce lac, de telle sorte à être dans l'ordre A, B, C et D quand on tourne autour du lac.
Dimitri possède un petit bateau avec lequel il peut rendre visite à ses trois amis en traversant le lac en ligne droite et à vitesse constante.
Ainsi, pour aller voir Arnold, il lui faut 5 minutes ; pour Basile, 7 minutes ; et pour Clotaire, 1 minute.
De plus, Arnold se situe à 500 mètres de Balise et aussi à 500 mètres de Clotaire.
(je rappelle que, même si je parle de points sur un cercle, la distance est mesurée en ligne droite, et non pas en tournant autour du cercle
)Questions :
1. Quelle est la vitesse de Dimitri en kayak ? (en km/h avec une précision à 1 m/h)
2. Quel est le diamètre du lac ? (en mètres avec une précision à 1 mètre)
Bonne recherche !
re : Enigmo 127 : Vacances autour d'un lac Posté le 06-08-09 à 18:28
Posté le 06-08-09 à 18:28Posté par integral integral
Bonjour jamo et merci pour cette énigme;
Je trouve une vitesse v=5.303 km/h
et un diamètre d=625 m.
La démonstration arrive...
integral integralBonjour jamo et merci pour cette énigme;Je trouve une vitesse v=5.303 km/h
et un diamètre d=625 m.
La démonstration arrive...
re : Enigmo 127 : Vacances autour d'un lac Posté le 06-08-09 à 18:58
Posté le 06-08-09 à 18:58Posté par integral integral
Soit V la vitesse du bateau en km/min.
On a CD=V, AD=5V et BD=7V.De plus AB=0.5 etAC=0.5.
Le quadrilatère ABCD est inscrit dans le cercle donc d'après le théorème de Ptolémée,
soit 0.5x7V=0.5V+5VxBC
On en tire BC=0.6 km.
Le théorème d'Al Kashi dans ABC donne AB2=AC2+BC2-2ACxBCcos
avec=
=
D'où 0.52=0.52+0.62-2x0.5x0.6cos
Donc cos=0.6.
Al Kashi dans ABD donne AB2=AD2+BD2-2ADxBDcos
D'où 0.52=(5V)2+(7V)2-2x5Vx7Vx0.6
On en déduit V=
0.088388 km/min
ou encore v=5.303 km/h.
On a aussi
Al Kashi dans AOB donne AB2=AO2+BO2-2AOxBOcos(2)
Avec r=AO on a 0.25= 2r2(1-cos(2)
0.25=2r(1-(2cos2-1))
Au final on a r2=})
On en tire r = 0.3125
Donc le diamètre du lac est 0.625 km.
integral integralSoit V la vitesse du bateau en km/min.On a CD=V, AD=5V et BD=7V.De plus AB=0.5 etAC=0.5.
Le quadrilatère ABCD est inscrit dans le cercle donc d'après le théorème de Ptolémée,
On en tire BC=0.6 km.
Le théorème d'Al Kashi dans ABC donne AB2=AC2+BC2-2ACxBCcos
avec
=D'où 0.52=0.52+0.62-2x0.5x0.6cos
Donc cos
=0.6.Al Kashi dans ABD donne AB2=AD2+BD2-2ADxBDcos
D'où 0.52=(5V)2+(7V)2-2x5Vx7Vx0.6
On en déduit V=
0.088388 km/minou encore v=5.303 km/h.
On a aussi
Al Kashi dans AOB donne AB2=AO2+BO2-2AOxBOcos(2
)Avec r=AO on a 0.25= 2r2(1-cos(2
)0.25=2r(1-(2cos2
-1))Au final on a r2=
On en tire r = 0.3125
Donc le diamètre du lac est 0.625 km.
re : Enigmo 127 : Vacances autour d'un lac Posté le 06-08-09 à 23:29
Posté le 06-08-09 à 23:29Posté par plumemeteore plumemeteore
Bonjour Jamo.
La vitesse de Dimitri est 7,217 km/h (exactement 12,5/
3).
Le diamètre du lac est 833 m (exactement 2500/3).
Soit a la vitesse en hectomètres par minute.
Théorème de Ptolémée :
5*7a + 5a = 7a*BC; BC = 8 (en hectomètres).
La hauteur du triangle isocèle ABC est(5²-(8/2)²) = 3; son aire est 12.
Le produit des côtés d'un triangle est égale à quatre fois le produit de son aire par le rayon du cercle qui lui est circonscrit :
200 = 4*12* rayon; rayon = 200/48; diamète = 400/48 = 25/3.
Soit C le point diamétralement opposé à C.
C'A =((25/3)²-(15/3)²) = 20/3.
C'D =((25/3)²-(3a/3)²)
Théorème de Ptolémée :
5a*25/3 = a*20/3 + 5*((25/3)²-(3a/3)²)
125a = 20a + 5*(625-9a²)
(105a)² = 25*(625-9a²)
11025a² = 15625-225a²
a² = 15625/10800
a = 125/(60*3)
plumemeteore plumemeteoreBonjour Jamo.La vitesse de Dimitri est 7,217 km/h (exactement 12,5/
3).Le diamètre du lac est 833 m (exactement 2500/3).
Soit a la vitesse en hectomètres par minute.
Théorème de Ptolémée :
5*7a + 5a = 7a*BC; BC = 8 (en hectomètres).
La hauteur du triangle isocèle ABC est
(5²-(8/2)²) = 3; son aire est 12.Le produit des côtés d'un triangle est égale à quatre fois le produit de son aire par le rayon du cercle qui lui est circonscrit :
200 = 4*12* rayon; rayon = 200/48; diamète = 400/48 = 25/3.
Soit C le point diamétralement opposé à C.
C'A =
((25/3)²-(15/3)²) = 20/3.C'D =
((25/3)²-(3a/3)²)Théorème de Ptolémée :
5a*25/3 = a*20/3 + 5*
((25/3)²-(3a/3)²)125a = 20a + 5*
(625-9a²)(105a)² = 25*(625-9a²)
11025a² = 15625-225a²
a² = 15625/10800
a = 125/(60*
3)re : Enigmo 127 : Vacances autour d'un lac Posté le 06-08-09 à 23:48
Posté le 06-08-09 à 23:48Posté par Daniel62 Daniel62
Bonsoir Jamo,
ma réponse:
si Latex ne marche pas:
vitesse = 5,303 km/h diamètre = 625 m
Daniel62 Daniel62Bonsoir Jamo,ma réponse:
si Latex ne marche pas:
vitesse = 5,303 km/h diamètre = 625 m
re : Enigmo 127 : Vacances autour d'un lac Posté le 07-08-09 à 01:36
Posté le 07-08-09 à 01:36Posté par Nofutur2 Nofutur2
Je trouve une vitesse de 5.303 km/h, et un diamètre de lac de 625m.
Avec ces valeurs, il faut 5.65685 minutes pour aller de A à B (et de A à C). J'ai déduit le rayon du cercle circonscrit au triangle DAB grầce à la loi des sinus: 2R = a*b*c/(2*S), avec S=racine( p * (p-a) * (p-b) * (p-c) ) où p est le demi-périmètre de DAB.
Nofutur2 Nofutur2Je trouve une vitesse de 5.303 km/h, et un diamètre de lac de 625m.Avec ces valeurs, il faut 5.65685 minutes pour aller de A à B (et de A à C). J'ai déduit le rayon du cercle circonscrit au triangle DAB grầce à la loi des sinus: 2R = a*b*c/(2*S), avec S=racine( p * (p-a) * (p-b) * (p-c) ) où p est le demi-périmètre de DAB.
re : Enigmo 127 : Vacances autour d'un lac Posté le 07-08-09 à 10:57
Posté le 07-08-09 à 10:57Posté par godefroy_lehardi godefroy_lehardi 
Bonjour,
Voici ma proposition : la vitesse de Dimitri est de 5,303 km/h et le diamètre du lac est de 625 m.
Tout d'abord, pour calculer le diamètre du lac, j'ai utilisé le théorème de Ptolémée : AC.BD = AB.CD + AD.BC
Avec les notations du schéma ci-dessous, ça donne bc = be + ad
D'où a = b(c-e)/d
Or, d'après les temps indiqués, on sait que d = 5e et c = 7e, donc a = 6b/5 = 600 m.
Si on appelle le demi-angle au sommet A, on a sin() = 0,6 donc OA = b/(2cos()) = 312,5, d'où le diamètre de 625 m.
Ensuite, en plaçant le repère d'une façon pratique (A sur l'axe des ordonnées), je cherche le point D(x,y) tel que d = 5e et c = 7e.
Je passe les calculs (je n'ai pas trouvé de méthode géométrique) et j'arrive à y = 0 et x = -312,5 (le triangle AOD est donc isocèle).
Cela donne finalement e = 88,388 m et on trouve une vitesse V = 60e = 5,303 km/h
Bravo une fois encore à Jamo ! C'était vraiment très motivant comme défi.
godefroy_lehardi godefroy_lehardi Bonjour,Voici ma proposition : la vitesse de Dimitri est de 5,303 km/h et le diamètre du lac est de 625 m.
Tout d'abord, pour calculer le diamètre du lac, j'ai utilisé le théorème de Ptolémée : AC.BD = AB.CD + AD.BC
Avec les notations du schéma ci-dessous, ça donne bc = be + ad
D'où a = b(c-e)/d
Or, d'après les temps indiqués, on sait que d = 5e et c = 7e, donc a = 6b/5 = 600 m.
Si on appelle
le demi-angle au sommet A, on a sin() = 0,6 donc OA = b/(2cos()) = 312,5, d'où le diamètre de 625 m.Ensuite, en plaçant le repère d'une façon pratique (A sur l'axe des ordonnées), je cherche le point D(x,y) tel que d = 5e et c = 7e.
Je passe les calculs (je n'ai pas trouvé de méthode géométrique) et j'arrive à y = 0 et x = -312,5 (le triangle AOD est donc isocèle).
Cela donne finalement e = 88,388 m et on trouve une vitesse V = 60e = 5,303 km/h
Bravo une fois encore à Jamo ! C'était vraiment très motivant comme défi.
re : Enigmo 127 : Vacances autour d'un lac Posté le 07-08-09 à 12:05
Posté le 07-08-09 à 12:05Posté par Rudi Rudi
Bonjour
===== Réponse proposée =====
Vitesse = 5,303 km/h
Diamètre = 625 m
===== Méthode employée =====
Voyant que les coordonnées des points dans le plan donnaient des expressions complexes, je suis passé par les angles
Je positionne les points sur le cercle de centre O et rayon R où A(-R;0), B et C sont définis par les angles x et -x
Pythagore fournit AB²=AA'²+A'B² d'où R = 500/racine(2+2cosx)
x sera l'inconnue du problème, une fois connue x on déterminera le diamètre puis la Vitesse
Maintenant, je peux raisonner dans le cercle unité avec A(-1;0) et je fais une symétrie / Oy pour avoir des angles positifs facilement manipulables
Je pose enfin y l'angle relatif à D
J'exprime les cordes issues de D comme X=Corde(D,X) :
C = 2sin((y-x)/2)
A = 2sin(pi/2-y/2)=2cos(y/2)
B = 2sin((y+x)/2)
J'ai alors le système A=5C et B=7C, je pose z/2=y/2-x/2 et les majuscules sont les moitiés des minuscules
cos(Z+X)=5sin(Z)
sin(Z+2X)=7sin(Z)
Je développe et fais apparaître tan(Z)
tan(Z) = cos(X)/(5+sin(X)) = sin(2X)/(7-cox(2X)) qui fournit sin(X)=3/5 et tan(Z)=1/7 d'où
x=2arcsin(3/5)
y=pi/2
x connu, on déduit R et le diamètre (une pensée à kiko21) et, s'il faut 5 minutes pour aller de D à A = R.racine(2), V = (0,625/2)racine(2)/(1/12) = 5,3033008 km/h
Sauf erreur de calcul ou de raisonnemnt
Joli Problème qui pouvait prendre du temps si l'inconnue était mal choisie
Rudy
Rudi RudiBonjour===== Réponse proposée =====
Vitesse = 5,303 km/h
Diamètre = 625 m
===== Méthode employée =====
Voyant que les coordonnées des points dans le plan donnaient des expressions complexes, je suis passé par les angles
Je positionne les points sur le cercle de centre O et rayon R où A(-R;0), B et C sont définis par les angles x et -x
Pythagore fournit AB²=AA'²+A'B² d'où R = 500/racine(2+2cosx)
x sera l'inconnue du problème, une fois connue x on déterminera le diamètre puis la Vitesse
Maintenant, je peux raisonner dans le cercle unité avec A(-1;0) et je fais une symétrie / Oy pour avoir des angles positifs facilement manipulables
Je pose enfin y l'angle relatif à D
J'exprime les cordes issues de D comme X=Corde(D,X) :
C = 2sin((y-x)/2)
A = 2sin(pi/2-y/2)=2cos(y/2)
B = 2sin((y+x)/2)
J'ai alors le système A=5C et B=7C, je pose z/2=y/2-x/2 et les majuscules sont les moitiés des minuscules
cos(Z+X)=5sin(Z)
sin(Z+2X)=7sin(Z)
Je développe et fais apparaître tan(Z)
tan(Z) = cos(X)/(5+sin(X)) = sin(2X)/(7-cox(2X)) qui fournit sin(X)=3/5 et tan(Z)=1/7 d'où
x=2arcsin(3/5)
y=pi/2
x connu, on déduit R et le diamètre (une pensée à kiko21) et, s'il faut 5 minutes pour aller de D à A = R.racine(2), V = (0,625/2)racine(2)/(1/12) = 5,3033008 km/h
Sauf erreur de calcul ou de raisonnemnt
Joli Problème qui pouvait prendre du temps si l'inconnue était mal choisie
Rudy
re : Enigmo 127 : Vacances autour d'un lac Posté le 07-08-09 à 13:19
Posté le 07-08-09 à 13:19Posté par pacou pacou
Bonjour, Jamo
J'obtiens une vitesse de 5,303 km/h au m près et un diamètre du lac de 625 m au m près.
et
intercepte le même arc de cercle donc 
D'après la formule d'Al Kashi:
arccos![2$[\frac{500^2+(\frac{AD}{5})^2-AD^2}{2\times 500\times \frac{AD}{5}}]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?2$[\frac{500^2+(\frac{AD}{5})^2-AD^2}{2\times 500\times \frac{AD}{5}}])
arccos![2$[\frac{500^2+(\frac{7\times AD}{5})^2-AD^2}{2\times 500\times \frac{7\times AD}{5}}]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?2$[\frac{500^2+(\frac{7\times AD}{5})^2-AD^2}{2\times 500\times \frac{7\times AD}{5}}])
Je fais varier AD de façon à obtenir a1-a2 le plus petit possible et j'obtiens:
AD=441,94m
Soit V, la vitesse de Dimitri
D'après le théorème de l'angle inscrit, l'angle au centre:
D'après Al Kashi:
}})
En espérant ne pas m'être plantée dans un calcul!ou autre chose
Merci pour l'énigmo.
pacou pacouBonjour, Jamo J'obtiens une vitesse de 5,303 km/h au m près et un diamètre du lac de 625 m au m près.
D'après la formule d'Al Kashi:
Je fais varier AD de façon à obtenir a1-a2 le plus petit possible et j'obtiens:
AD=441,94m
Soit V, la vitesse de Dimitri
D'après le théorème de l'angle inscrit, l'angle au centre:
D'après Al Kashi:
En espérant ne pas m'être plantée dans un calcul!ou autre chose
Merci pour l'énigmo.
Enigmo 127 vacances autour d'un lac Posté le 07-08-09 à 14:30
Posté le 07-08-09 à 14:30Posté par castoriginal castoriginal
Bonjour,
personnellement, je trouve que la vitesse de Dimitri en kayak est de 5,2892 km/h
Le diamètre du lac est de 635,4m
bien à vous
castoriginal castoriginalBonjour,personnellement, je trouve que la vitesse de Dimitri en kayak est de 5,2892 km/h
Le diamètre du lac est de 635,4m
bien à vous
re : Enigmo 127 : Vacances autour d'un lac Posté le 07-08-09 à 15:42
Posté le 07-08-09 à 15:42Posté par geo3 geo3
Bonjour
Je trouve 2 solutions plausibles :
1.a)la vitesse de Dimitri = 5,303 km/h b)le diamètre du lac = 625 m
l'autre serait
[ a)vitesse = 7,071 km/h et b)le diamètre = 833 m ]
A+
geo3 geo3BonjourJe trouve 2 solutions plausibles :
1.a)la vitesse de Dimitri = 5,303 km/h b)le diamètre du lac = 625 m
l'autre serait
[ a)vitesse = 7,071 km/h et b)le diamètre = 833 m ]
A+
re : Enigmo 127 : Vacances autour d'un lac Posté le 08-08-09 à 13:04
Posté le 08-08-09 à 13:04Posté par yoyodada yoyodada
Bonjour,
Je trouve une vitesse de 5020,724 = 5021 mètres par heure, en utilisant l'arrondi au m/h
Le diamètre du cercle vaut par ailleurs D = 2068,33 = 2068 mètres avec l'arrondi au mètre
En espérant que certains arrondis utilisés n'aient pas faussé trop mes résultats...
Encore merci pour l'énigme
yoyodada yoyodadaBonjour,Je trouve une vitesse de 5020,724 = 5021 mètres par heure, en utilisant l'arrondi au m/h
Le diamètre du cercle vaut par ailleurs D = 2068,33 = 2068 mètres avec l'arrondi au mètre
En espérant que certains arrondis utilisés n'aient pas faussé trop mes résultats...
Encore merci pour l'énigme
re : Enigmo 127 : Vacances autour d'un lac Posté le 08-08-09 à 16:40
Posté le 08-08-09 à 16:40Posté par alfred15 alfred15
Bonjour,
merci pour cette énigme qui m'a fait travailler les méninges pendant 2 heures...
Je n'ai pas trop revérifié mais vu que je tombe sur des valeurs entières, je me dis que ca doit etre juste :
m
km.h
@+
alfred15 alfred15Bonjour,merci pour cette énigme qui m'a fait travailler les méninges pendant 2 heures...
Je n'ai pas trop revérifié mais vu que je tombe sur des valeurs entières, je me dis que ca doit etre juste :
@+
re : Enigmo 127 : Vacances autour d'un lac Posté le 10-08-09 à 11:41
Posté le 10-08-09 à 11:41Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou
Bonjour Jamo,
Quelques résultats sur les angles inscrits, l'angle au centre et le théorème d'Al-Kashi permettent d'obtenir ce que tu demandes...
Si je ne me suis pas trompé dans les calculs, on obtiendrait :
Une vitesse d'environ 5,303 km/h (valeur exacte
)
et un diamètre de 625 m. (là, cela tombe "juste")
amicalement
MM
MatheuxMatou MatheuxMatouBonjour Jamo,Quelques résultats sur les angles inscrits, l'angle au centre et le théorème d'Al-Kashi permettent d'obtenir ce que tu demandes...
Si je ne me suis pas trompé dans les calculs, on obtiendrait :
Une vitesse d'environ 5,303 km/h (valeur exacte
et un diamètre de 625 m. (là, cela tombe "juste")
amicalement
MM
re : Enigmo 127 : Vacances autour d'un lac Posté le 10-08-09 à 14:25
Posté le 10-08-09 à 14:25Posté par Kacs Kacs
Alors, le lac a un diamètre d'exactement 
.
Quant à Dimitri, il se déplace en kayak à exactement
, soit environ 
.
Kacs KacsAlors, le lac a un diamètre d'exactement Quant à Dimitri, il se déplace en kayak à exactement
re : Enigmo 127 : Vacances autour d'un lac Posté le 10-08-09 à 18:49
Posté le 10-08-09 à 18:49Posté par kiko21 kiko21
Bonjour,
Je trouve (graphiquement) :
1. Une vitesse de Dimitri en kayak de 5,303 km/h
2. Un diamètre du lac de 625 mètres
J'ai abandonné la résolution analytique avec les équations cartésiennes de cercles...
Merci et à+, KiKo21.
kiko21 kiko21Bonjour,Je trouve (graphiquement) :
1. Une vitesse de Dimitri en kayak de 5,303 km/h
2. Un diamètre du lac de 625 mètres
J'ai abandonné la résolution analytique avec les équations cartésiennes de cercles...
Merci et à+, KiKo21.
Prendre la tangente... Posté le 11-08-09 à 18:59
Posté le 11-08-09 à 18:59Posté par LeDino LeDino
Bonjour,
La vitesse en kayak de Dimitri est de 5,303 km/h.
Le diamètre du lac est de 625 m.
J'ai posé :
alpha le demi angle de A à B,
beta le demi angle de B à C,
gamma le demi angle de C à D,
delta le demi angle de D à A.
r : rayon
V : vitesse en kayak
Tda, Tdb, Tdc : temps pour les trajets DA, DB et DC.
On obtient 6 équations à 6 inconnues :
alpha + beta + gamma + delta = PI
2alpha + beta = PI
AB = 2.r.sin(alpha) = 500m
DA = 2.r.sin(delta) = V.Tda
DB = 2.r.sin(beta+gamma) = V.Tdb
DC = 2.r.sin(gamma) = V.Tdc
La résolution donne :
tg(alpha) = 4/3
tg(delta) = 1
... le reste en découle.
Merci pour l'énigme.
LeDino LeDinoBonjour,La vitesse en kayak de Dimitri est de 5,303 km/h.
Le diamètre du lac est de 625 m.
J'ai posé :
alpha le demi angle de A à B,
beta le demi angle de B à C,
gamma le demi angle de C à D,
delta le demi angle de D à A.
r : rayon
V : vitesse en kayak
Tda, Tdb, Tdc : temps pour les trajets DA, DB et DC.
On obtient 6 équations à 6 inconnues :
alpha + beta + gamma + delta = PI
2alpha + beta = PI
AB = 2.r.sin(alpha) = 500m
DA = 2.r.sin(delta) = V.Tda
DB = 2.r.sin(beta+gamma) = V.Tdb
DC = 2.r.sin(gamma) = V.Tdc
La résolution donne :
tg(alpha) = 4/3
tg(delta) = 1
... le reste en découle.
Merci pour l'énigme.
re : Enigmo 127 : Vacances autour d'un lac Posté le 12-08-09 à 01:51
Posté le 12-08-09 à 01:51Posté par _Michel _Michel
1. 5,303km/h (merci le théorème des angles inscrits et le théorème d'Al-Kashi qui n'est toutefois pas indispensable)
2. 625m (merci Descartes)
_Michel _Michel1. 5,303km/h (merci le théorème des angles inscrits et le théorème d'Al-Kashi qui n'est toutefois pas indispensable)2. 625m (merci Descartes)
re : Enigmo 127 : Vacances autour d'un lac Posté le 13-08-09 à 06:21
Posté le 13-08-09 à 06:21Posté par Bcracker Bcracker
Bonjour,
Notons
la valeur de l'angle géométrique 
, r le rayon du lac, O son centre et v la vitesse de Dimitri en kayak.
Par le théorème d'AL KASHI dans les triangles ABC et DBC on a=2AB^2(1-\cos (\alpha)))
.
De plus, d'après le théorème de Ptolémée,
soit ^2 = 360000.)
On a donc=1-\left(\frac{BC}{AB\sqrt{2}}\right)^2=\frac{7}{25})
. Enfin, d'après les données de l'énoncé et la première équation, }}})
soit numériquement 
.
Pour ce qui est du diamètre, sa valeur se calcule facilement (l'angle au centre
valant 
); On sait que 
et que
)=4r^2(1-\cos^2(\alpha)))
soit numériquement 
donc le diamètre du lac est d'environ 625 mètres.
Vitesse de Dimitri en Kayak
, Diamètre du lac 
m.
Sauf erreur bien entendu
Merci pour l'énigme.
Bcracker BcrackerBonjour,Notons
Par le théorème d'AL KASHI dans les triangles ABC et DBC on a
De plus, d'après le théorème de Ptolémée,
On a donc
Pour ce qui est du diamètre, sa valeur se calcule facilement (l'angle au centre
Vitesse de Dimitri en Kayak
Sauf erreur bien entendu
Merci pour l'énigme.
re : Enigmo 127 : Vacances autour d'un lac Posté le 13-08-09 à 15:24
Posté le 13-08-09 à 15:24Posté par gloubi gloubi
Bonjour,
Intéressante Enigmo !
1) Vitesse de Dimitri: 5,289 km/h.
2) Diamètre du lac: 635 m.
A+
gloubi gloubiBonjour,Intéressante Enigmo !
1) Vitesse de Dimitri: 5,289 km/h.
2) Diamètre du lac: 635 m.
A+
rep Posté le 13-08-09 à 20:04
Posté le 13-08-09 à 20:04Posté par kensou kensou
Peut-être trop et faut mais je pense avour touvé quelque chose.je n'ai pas pu vous envoyer le raisonnement;car je pense n'avoir pas de logiciel pour cela.
Néanmoin,je trouve:
vitesse=15km/h
diamètre=707.10m
kensou kensouPeut-être trop et faut mais je pense avour touvé quelque chose.je n'ai pas pu vous envoyer le raisonnement;car je pense n'avoir pas de logiciel pour cela.
Néanmoin,je trouve:
vitesse=15km/h
diamètre=707.10m
Vacances autour d'un lac Posté le 14-08-09 à 10:08
Posté le 14-08-09 à 10:08Posté par Rumbafan Rumbafan
Diamètre = 553m (553,40)
Vitesse = 4,009 km/h
Al Kashi ... un peu de trigono ... et un peu de temps en fin de semaine...
Merci pour l'énigme
Rumbafan RumbafanDiamètre = 553m (553,40)Vitesse = 4,009 km/h
Al Kashi ... un peu de trigono ... et un peu de temps en fin de semaine...
Merci pour l'énigme
re : Enigmo 127 : Vacances autour d'un lac Posté le 14-08-09 à 17:55
Posté le 14-08-09 à 17:55Posté par mascate mascate
VD=5,303km/h
diamètre:741m
angle ABD=angleACD inscrits interceptant même corde et du même côté
pythagore généralisé dans triangle ABD et dans triangle ACD
résolution du système de deux éq en éliminant les cosinus: on trouve vD
dans triangle ABD
calcul de S par formule de Héron et par S = abc/(4R) où R=rayon cercle circonscrit
ce qui permet de trouver 2R=diamètre
mascate mascateVD=5,303km/hdiamètre:741m
angle ABD=angleACD inscrits interceptant même corde et du même côté
pythagore généralisé dans triangle ABD et dans triangle ACD
résolution du système de deux éq en éliminant les cosinus: on trouve vD
dans triangle ABD
calcul de S par formule de Héron et par S = abc/(4R) où R=rayon cercle circonscrit
ce qui permet de trouver 2R=diamètre
re : Enigmo 127 : Vacances autour d'un lac Posté le 16-08-09 à 23:59
Posté le 16-08-09 à 23:59Posté par Francois86 Francois86
Alors, jolie énigme, merci !!!
Dans la suite je raccourci les prénoms par leurs initiales, A, B, C, et D.
Avec le théorème de Ptolémée sur les quadrilatères inscriptibles, en utilisant la formule de Héron et le fait que le rayon du cercle circonscrit est égal à abc/4S (S la surface du triangle ayant pour côtés a, b et c), je trouve :
Le diamètre du lac : 5208.333333... mètres, soit 5208m au mètre près, solution unique.
Ensuite j'ai appelé "x" la distance CD. Donc AD=5x, et, tjs avec les mêmes formules dans le triangle ACD, j'obtiens un polynôme du 4e degré simplifiable en 2nd degré par un changement de variable (x² -> X).
Sauf que je trouve donc deux racines positives (plausibles) pour x. (sûrement qu'il y a deux dispositions possibles autour du lac selon les données de l'énoncé ?! je trouve ça bizarre qd meme).
x = 125m ou alors x = 83.333...m
Ce qui donne pour la vitesse du kayak les solutions : 7.5 km/h ou 4.998km/h pour l'autre disposition.
Si la vitesse du kayak n'a qu'une solution, et si elle se trouve parmi les deux que j'ai trouvées, pouvez-vous me dire pourquoi l'autre n'est pas valable ?
Francois86 Francois86Alors, jolie énigme, merci !!!Dans la suite je raccourci les prénoms par leurs initiales, A, B, C, et D.
Avec le théorème de Ptolémée sur les quadrilatères inscriptibles, en utilisant la formule de Héron et le fait que le rayon du cercle circonscrit est égal à abc/4S (S la surface du triangle ayant pour côtés a, b et c), je trouve :
Le diamètre du lac : 5208.333333... mètres, soit 5208m au mètre près, solution unique.
Ensuite j'ai appelé "x" la distance CD. Donc AD=5x, et, tjs avec les mêmes formules dans le triangle ACD, j'obtiens un polynôme du 4e degré simplifiable en 2nd degré par un changement de variable (x² -> X).
Sauf que je trouve donc deux racines positives (plausibles) pour x. (sûrement qu'il y a deux dispositions possibles autour du lac selon les données de l'énoncé ?! je trouve ça bizarre qd meme).
x = 125m ou alors x = 83.333...m
Ce qui donne pour la vitesse du kayak les solutions : 7.5 km/h ou 4.998km/h pour l'autre disposition.
Si la vitesse du kayak n'a qu'une solution, et si elle se trouve parmi les deux que j'ai trouvées, pouvez-vous me dire pourquoi l'autre n'est pas valable ?
de la géometrie... Posté le 18-08-09 à 18:03
Posté le 18-08-09 à 18:03Posté par shboul shboul
j'ai trouvé l'exercice particulièrement élégant car pas évident de prime abord et en réalité plus simple qu'il n'y parait...
allons-y et voyons si je ne me suis pas trompé...
donc nos 4 jeunes gens sont sur un cercle. les informations nous permettent de mettre des informations sur 2 triangles : ABD et ACD.
Il faut voir ici que les deux triangles ont un côté AD commun donc les angles ABD et ACD interceptant AD sont égaux.
allons voir Al kashi en se souvenant bien sur que v=d/t donc d=v.t :
 )
dans le triangle ABD : AB=500 BD=7v et AD=5v
dans le triangle ACD : AC=500 CD=v et AD=5v
donc on a :^2-(5v)^2}{2.500.7v})=(\frac{500^2+v^2-(5v)^2}{2.500.v}))
on met tout du bon côté, on se fiche de la solution négative et on trouve :
mètres/minutes
soit
km/h = 5.3033 km/h
voila pour la vitesse.
pour le rayon du lac :
revenons dans le traingle ABD
le demi-perimètre p=(a+b+c)/2 et l'aire S=(p-b)(p-c)})
et le rayon du cercle circonscrit au triangle
dans ce triangle :
p=780.3301m
S=1.0937e+005 m²
d'ou R=312.5000m
voila... merci
shboul shboulj'ai trouvé l'exercice particulièrement élégant car pas évident de prime abord et en réalité plus simple qu'il n'y parait...allons-y et voyons si je ne me suis pas trompé...
donc nos 4 jeunes gens sont sur un cercle. les informations nous permettent de mettre des informations sur 2 triangles : ABD et ACD.
Il faut voir ici que les deux triangles ont un côté AD commun donc les angles ABD et ACD interceptant AD sont égaux.
allons voir Al kashi en se souvenant bien sur que v=d/t donc d=v.t :
dans le triangle ABD : AB=500 BD=7v et AD=5v
dans le triangle ACD : AC=500 CD=v et AD=5v
donc on a :
on met tout du bon côté, on se fiche de la solution négative et on trouve :
soit
voila pour la vitesse.
pour le rayon du lac :
revenons dans le traingle ABD
le demi-perimètre p=(a+b+c)/2 et l'aire S=
et le rayon du cercle circonscrit au triangle
dans ce triangle :
p=780.3301m
S=1.0937e+005 m²
d'ou R=312.5000m
voila... merci
Enigmo 127 : Vacances autour d'un lac Posté le 20-08-09 à 23:27
Posté le 20-08-09 à 23:27Posté par jamilhaddad jamilhaddad
Bonjour
1. La vitesse de Dimitri en kayak est:
88.38835 mètre/mn. Soit 5.303 km/h
2. Le diamètre du lac est 625 mètres.
jamilhaddad jamilhaddadBonjour1. La vitesse de Dimitri en kayak est:
88.38835 mètre/mn. Soit 5.303 km/h
2. Le diamètre du lac est 625 mètres.
re : Enigmo 127 : Vacances autour d'un lac Posté le 21-08-09 à 10:04
Posté le 21-08-09 à 10:04Posté par -Tonio- -Tonio-
Bonjour,
Je tente même si j'ai des doutes :
1.
[Précision de 1 m.h-1=0,001 km.h-1]
2.
[Valeur exacte, bizarre...]
En tout cas cette énigme m'aura permis de réviser mes cours de maths de 1ère (j'ai fait beaucoup de calculs avec les théorèmes d'Al Kashi, des angles inscrits dans un cercle, de colinéarité...). Merci !
En espérant un
, @+
Au fait c'est Basile ou Balise ?
-Tonio- -Tonio-Bonjour,Je tente même si j'ai des doutes :
1.
[Précision de 1 m.h-1=0,001 km.h-1]
2.
[Valeur exacte, bizarre...]
En tout cas cette énigme m'aura permis de réviser mes cours de maths de 1ère (j'ai fait beaucoup de calculs avec les théorèmes d'Al Kashi, des angles inscrits dans un cercle, de colinéarité...). Merci !
En espérant un
, @+Au fait c'est Basile ou Balise
?re : Enigmo 127 : Vacances autour d'un lac Posté le 22-08-09 à 12:24
Posté le 22-08-09 à 12:24Posté par pythamede pythamede
La vitesse du kayak de Dimitri est 5,303 km/h
Le diamètre du lac est 625 m.
Très joli problème !
pythamede pythamedeLa vitesse du kayak de Dimitri est 5,303 km/hLe diamètre du lac est 625 m.
Très joli problème !
re : Enigmo 127 : Vacances autour d'un lac Posté le 22-08-09 à 15:40
Posté le 22-08-09 à 15:40Posté par dhalte dhalte
Bonjour
le diamètre est exactement de 625 mètres
la vitesse est approximativement de 5.303 km/h
Si O est le centre du cercle, on remarque que l'angle AOD est un angle droit.
dhalte dhalteBonjourle diamètre est exactement de 625 mètres
la vitesse est approximativement de 5.303 km/h
Si O est le centre du cercle, on remarque que l'angle AOD est un angle droit.
re : Enigmo 127 : Vacances autour d'un lac Posté le 23-08-09 à 11:22
Posté le 23-08-09 à 11:22Posté par jamo jamo
Clôture de l'énigme
Voici les bonnes réponses :
Vitesse 5,303 km/h
Diamètre = 625 m
J'invite ceux qui n'ont pas donné ces valeurs à revoir leurs réponses, et à localiser leurs erreurs de calcul ou de méthodes.
jamo jamo Clôture de l'énigme
Voici les bonnes réponses :
Vitesse
5,303 km/hDiamètre = 625 m
J'invite ceux qui n'ont pas donné ces valeurs à revoir leurs réponses, et à localiser leurs erreurs de calcul ou de méthodes.
re : Enigmo 127 : Vacances autour d'un lac Posté le 23-08-09 à 21:33
Posté le 23-08-09 à 21:33Posté par geo3 geo3
Bonjour
Voici ma démonstration :
je m'étonne d'être le seul à trouver 2 voir 3 solutions .
|AB| = x = 500m : |AC| = z = 500m : |BC| = y : |BD| = b : |AD| = a : |CD| = c
O est le centre du cercle ; BAC étant isocèle de sommet A OA ( = rayon ) coupe BC en M milieu [BC] ( OA est médiarice )
a en 5 minutes => a = 5v
b en 7 minutes => b = 7v
c en 1 minute => c = v => a = 5c et b = 7c
angle BCA = angle BDA =
( angles inscrits ) et angle CBD = angle DBA =
Dans AMC rectangle en M AC.cos = MC => cos = y/1000
Al Kashi dans BDC =>
500² = a² + b² - 2abcos = a² + b² - 2aby/1000
=> 500² = 25c² + 49c² - 70.y.c²/1000 (*)
Al Kashi dans BCD et BDA =>
CD² = c² = y² + b² -2yb.cos => cos = (y²+b²-c²)/(2yb) = (y² + 49c² - c²)/(14yc) (1)
et c²= a² + 500² - 2.500.b.cos => avec (1) c² = 25c² + 500² - 5000c.(y² + 49c² - c²)/(14yc) (**)
-
(*) et (**) donnent 2 équations à 2 inconnues dont les 3 solutions positives sont
y = 600 ; c = 88,3884 ( en 1 minute) => v = 5,303km/h et cos = 0,6 ... => diamètre 833,3
et 2 autres que personne n'a trouvé
y = 800 ; c = 117,8511 ......
et y = 357.1428 ; c = 71,4285 ......
---> dhalte
Comment , pourquoi ?
A+
geo3 geo3BonjourVoici ma démonstration :
je m'étonne d'être le seul à trouver 2 voir 3 solutions .
|AB| = x = 500m : |AC| = z = 500m : |BC| = y : |BD| = b : |AD| = a : |CD| = c
O est le centre du cercle ; BAC étant isocèle de sommet A OA ( = rayon ) coupe BC en M milieu [BC] ( OA est médiarice )
a en 5 minutes => a = 5v
b en 7 minutes => b = 7v
c en 1 minute => c = v => a = 5c et b = 7c
angle BCA = angle BDA =
( angles inscrits ) et angle CBD = angle DBA = Dans AMC rectangle en M AC.cos
= MC => cos = y/1000Al Kashi dans BDC =>
500² = a² + b² - 2abcos
= a² + b² - 2aby/1000 => 500² = 25c² + 49c² - 70.y.c²/1000 (*)
Al Kashi dans BCD et BDA =>
CD² = c² = y² + b² -2yb.cos
=> cos = (y²+b²-c²)/(2yb) = (y² + 49c² - c²)/(14yc) (1)et c²= a² + 500² - 2.500.b.cos
=> avec (1) c² = 25c² + 500² - 5000c.(y² + 49c² - c²)/(14yc) (**)-
(*) et (**) donnent 2 équations à 2 inconnues dont les 3 solutions positives sont
y = 600 ; c = 88,3884 ( en 1 minute) => v = 5,303km/h et cos
= 0,6 ... => diamètre 833,3et 2 autres que personne n'a trouvé
y = 800 ; c = 117,8511 ......
et y = 357.1428 ; c = 71,4285 ......
---> dhalte
Citation :
on remarque que l'angle AOD est un angle droit.
on remarque que l'angle AOD est un angle droit.
Comment , pourquoi ?
A+
Enigmo 127 vacances autour d'un lac Posté le 23-08-09 à 23:44
Posté le 23-08-09 à 23:44Posté par castoriginal castoriginal
Bonsoir,
j'ai reçu un poisson pour une réponse qui ne semble pas être bonne.
Il y a une chose qui me surprend très fort c'est que Gloubi a présenté exactement les 2 mêmes réponses que moi. Y aurait-il une autre solution que celle proposée par la majorité ?
D'autre part, en effectuant le tracé géométrique, à l'échelle, le quadrilatère ABCD est rigoureusement inscriptible dans un cercle de 635,4m de diamètre.
Quid ?
Bien à vous
castoriginal castoriginalBonsoir,j'ai reçu un poisson pour une réponse qui ne semble pas être bonne.
Il y a une chose qui me surprend très fort c'est que Gloubi a présenté exactement les 2 mêmes réponses que moi. Y aurait-il une autre solution que celle proposée par la majorité ?
D'autre part, en effectuant le tracé géométrique, à l'échelle, le quadrilatère ABCD est rigoureusement inscriptible dans un cercle de 635,4m de diamètre.
Quid ?
Bien à vous
Enigmo 127 vacances autour d'un lac Posté le 24-08-09 à 10:05
Posté le 24-08-09 à 10:05Posté par castoriginal castoriginal
Bonjour,
je retire mon message précédent, l'erreur vient d'un transfert de données:
nous avons pris BC = 7' au lieu de BD = 7'
Bien à vous
castoriginal castoriginalBonjour,je retire mon message précédent, l'erreur vient d'un transfert de données:
nous avons pris BC = 7' au lieu de BD = 7'
Bien à vous
re : Enigmo 127 : Vacances autour d'un lac Posté le 24-08-09 à 13:57
Posté le 24-08-09 à 13:57Posté par geo3 geo3
Bonjour
après une nuit de sommeil
en reprenant mon message du 23/08 à 21.33h où j'avais trouvé ( 3 lignes avant la fin )
1) y = 600 et c = 88,3884 ( en 1 minute) => c = v = 5,303km/h et cos= 0,6 => = 53°130 => angle MAC = 36°8698 => si N est le milieu de AC dans le triangle ONA on a NA = 250 et OA = 250/cos36°8698 = 250/0,8 = 312,5 => diamètre = 625 m ( et non diamètre 833,3)
*
pour y = 357.1428 ; c = 71,4285 cela ne convient pas car cos= (y²+b²-c²)/(2yb) = (y²-48c²)/(14yc) = 1,04285 > 1
*
par contre
pour y = 800 et c = 117,8511 => c = v = 7,071km/h ,les cos sont < 1 et cos= 0,8 => = 36°,869898 => (le complémentaire ) angle MAC = 53°13 => OA = 250/cos53°13 = 250/0,6 = 426,6667 => diamètre = 833,33 m*
et je ne vois pas pourquoi celle-ci ne pourrait pas convenir ????
A+
geo3 geo3Bonjouraprès une nuit de sommeil
en reprenant mon message du 23/08 à 21.33h où j'avais trouvé ( 3 lignes avant la fin )
1) y = 600 et c = 88,3884 ( en 1 minute) => c = v = 5,303km/h et cos
= 0,6 => = 53°130 => angle MAC = 36°8698 => si N est le milieu de AC dans le triangle ONA on a NA = 250 et OA = 250/cos36°8698 = 250/0,8 = 312,5 => diamètre = 625 m ( et non diamètre 833,3)*
pour y = 357.1428 ; c = 71,4285 cela ne convient pas car cos
= (y²+b²-c²)/(2yb) = (y²-48c²)/(14yc) = 1,04285 > 1 *
par contre
pour y = 800 et c = 117,8511 => c = v = 7,071km/h ,les cos
sont < 1 et cos= 0,8 => = 36°,869898 => (le complémentaire ) angle MAC = 53°13 => OA = 250/cos53°13 = 250/0,6 = 426,6667 => diamètre = 833,33 m*et je ne vois pas pourquoi celle-ci ne pourrait pas convenir ????
A+
re : Enigmo 127 : Vacances autour d'un lac Posté le 24-08-09 à 14:18
Posté le 24-08-09 à 14:18Posté par kiko21 kiko21
Bonjour,
> Rudi
Pour la petite histoire, cette étourderie me suit depuis l'agreg il y a 20 ans.
M'enfin ! La dernière fois, c'était là
Par contre, sur cette énigme, j'ai été super vigilant. Un homme averti en vaut deux.
A+, KiKo21.
kiko21 kiko21Bonjour,> Rudi
Citation :
...on déduit R et le diamètre (une pensée à kiko21)...
...on déduit R et le diamètre (une pensée à kiko21)...
Pour la petite histoire, cette étourderie me suit depuis l'agreg il y a 20 ans.
M'enfin ! La dernière fois, c'était là
Par contre, sur cette énigme, j'ai été super vigilant. Un homme averti en vaut deux.
A+, KiKo21.
re : Enigmo 127 : Vacances autour d'un lac Posté le 24-08-09 à 23:34
Posté le 24-08-09 à 23:34Posté par Daniel62 Daniel62
geo3 >>
ta figure est fausse
le point D est mal placé
AC = 5cm
AD = 5*CD = 5*1,178 = 5,89cm
donc AD > AC et AOD est bien un angle droit
ABD = 53,1302 - 8,1302 = 45°
(et non pas 45 - 8,1302 = 36,8698°)
ta solution correspond à une position différente des 4 amis:
A, B, D et C quand on tourne autour du lac
ce qui est contraire à l'énoncé.
Daniel62 Daniel62geo3 >>ta figure est fausse
le point D est mal placé
AC = 5cm
AD = 5*CD = 5*1,178 = 5,89cm
donc AD > AC et AOD est bien un angle droit
ABD = 53,1302 - 8,1302 = 45°
(et non pas 45 - 8,1302 = 36,8698°)
ta solution correspond à une position différente des 4 amis:
A, B, D et C quand on tourne autour du lac
ce qui est contraire à l'énoncé.
re : Enigmo 127 : Vacances autour d'un lac Posté le 25-08-09 à 10:29
Posté le 25-08-09 à 10:29Posté par geo3 geo3
Bonjour
->
Daniel
Grand grand merci
en effet a = AD = 5c = 5*1,178 = 5,89 > AC
que je suis c...
je me doutais que c'était 1 truc comme cela
A+
geo3 geo3Bonjour->
Daniel
Grand grand merci
en effet a = AD = 5c = 5*1,178 = 5,89 > AC
que je suis c...
je me doutais que c'était 1 truc comme cela
A+
Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 3369,70 %30,30 %
Temps de réponse moyen : 121:06:16.
Nombre de participations : 33
69,70 %30,30 %23 
10
10Temps de réponse moyen : 121:06:16.
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