Enigmo 130 : travaux au pays des jouets

Posté par jamo jamo

Bonjour,

l'action se déroule au pays des jouets, où Oui-Oui décide de faire quelques travaux dans sa maison.
Le dessin ci-dessous représente la coupe de la maison. On y voit que la largeur de la maison est de 6 mètres et que la hauteur sans le toit est de 8 mètres.

A l'intérieur du toit (triangle ABC) qui n'est pas encore construit, Oui-Oui souhaite construire une petite pièce de section carrée RSTU. Les points R et S sont sur la segment [AC], et les points T et U respectivement sur les segments [BC] et [AB].
De plus, l'aire du carré RSTU est égale aux quatre neuvièmes de l'aire du triangle ABC.

Question : quelle est la hauteur totale de la maison (c'est-à-dire avec le toit) ?

S'il existe plusieurs solutions, je les veux toutes, même si certaines sont ridicules d'un point de vue pratique.
Pour la précision, je veux la réponse avec une précision au millimètre si nécessaire.

Bonne recherche !

Posté par Francois86 Francois86

Deux solutions : 11m ou 20m (plus éventuellement la solution inintéressante h=0)

Appelons "h" la hauteur du triangle ABC issue de B.
L'aire du SEUL carré inscriptible ayant pour coté commun AC est :
6h / (6+h), tandis que l'aire du triangle est évidemment 3h

On veut que l'aire du carré fasse les 4/9 de l'aire du triangle, ce qui conduit à une équation du second degré, avec comme solution 3 et 12
Donc hauteur de la maison : 8+h = 11 ou 20m

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Je trouve une solution à H=8+3=11 m et une solution (moins évidente sur le plan pratique) à H=8+12=20 m.
Je me suis posé la question de la validité de la solution H=8 m, c'est à dire un hauteur du toit nulle avec la pièce RSTU confondue avec le point B.
Cette solution est mathématiquement acceptable mais peut on concevoir de construire une pièce qui n'existe pas.
Si le toit de 12 m pour une maison de 8 m me semble assez ridicule d'un point de vue pratique (comme précisé dans l'énoncé), la solution "toit triangulaire aplati et pièce carrée réduite à un point" ne me semble pas devoir être retenue.

Alea jacta est.

Posté par integral integral

Bonjour jamo, je trouve 3 solutions pour la hauteur de la maison :
8 m (le toit est alors plat), 11 m et 20 m.

Posté par alfred15 alfred15

Bonjour,

je trouve 2 possibilités (dont l'une en effet ridicule en pratique) :

Hauteur = 11 m
ou
Hauteur = 56 m

Merci

Posté par godefroy_lehardi godefroy_lehardi

Bonjour,

Je pense que la maison fait soit 11 m, soit 20 m de haut.

Merci pour l'énigme.

Posté par bill159 bill159

Le résultat est mètres

Merci pour l'énigme.

Posté par castoriginal castoriginal

Bonsoir,
je vous propose les solutions suivantes :
sur le dessin,de B on abaisse la hauteur du triangle sur AC soit BH qui coupe UT en J.
En appliquant Thalès aux triangles BUT et BAC, on a la relation BJ/BH=UT/AC
comme BJ= BH-UT, il vient en remplaçant AC par sa valeur en m (6m)
(BH-UT)/BH=UT/6    soit UT= 6BH/(BH+6) (1)
D'un autre côté, la surface du carré vaut (UT)^2 et la surface du triangle ABC vaut BHxAC/2. Si on dit que la surface du carré vaut les 4/9 de la surface du triangle ABC   on a (UT)^2 = 4/9 (BHxAC)/2
en remplaçant AC par sa valeur il vient (UT)^2 = 4/3 BH (2)
En remplaçant UT en (2) par la valeur trouvée en (1) on obtient l'équation du second degré   (BH)^2 - 15 BH +36 =0  dont les racines sont BH=12m et BH=3m  (le côté du carré UT vaut respectivement UT= 4m et UT=2m)
La hauteur totale de la maison vaut donc 20m ou 11m  avec une infinité de solutions puisque le point B peut se trouver n'importe où entre F et G.
Les cas extrêmes donnent une toiture à un versant

Posté par Bcracker Bcracker

Bonjour,

Notons c la longueur du côté du carré RSTU et h la hauteur du triangle ABC. Comme alors donc . La hauteur de la maison est donc de . De plus, comme et que et , on peut affirmer que . Il en résulte, d'après la relation entre c et h, après calcul que c vaut ou , cette dernière valeur étant exclue si l'on suppose que AC est la largeur de la maison.

La valeur la plus raisonnable pour h est donc soit une hauteur totale de la maison de . Néanmoins, si l'on admet que le toit de base [AC] peut "dépasser" i.e alors on pourra retenir une seconde valeur et j'aimerai bien voir comment Oui-oui s'y prendrait pour construire un tel toit... _{Sauf erreur bien entendu...}

Merci pour l'énigme

Posté par manpower manpower

Bonsoir,

miam de la géométrie!
Je trouve 3 solutions 8m (pas de toit! _{mais il aura du mal à construire une pièce... même petite}), 11m (la plus vraisemblable) et 20m (avec un toit disproportionné).

Merci pour l'Enigmo.

Posté par pacou pacou

Bonjour Jamo

Je trouve 2 solutions pour la hauteur totale de la maison: 11 m et 20 m



En construisant un carré de côté AC et en utilisant une homothétie de centre B, j'obtiens un carré inscrit dans la triangle ABC posé sur [AC].
Je peux écrire:


On pose BI=h et RS=x





On sait que

Donc:



Ce polynôme a 2 solutions et

On a donc une hauteur totale de 11 m pour une hauteur de toit de 3 m et une hauteur totale de 20 m pour une hauteur de toit de 12m.

Posté par Bcracker Bcracker

Bon une erreur de calcul s'est glissée dans mon raisonnement (22-08-09 à 20:23) , la somme des aires vaut bien 3h et non 6h. Je m'étais un peu précipité, mais le raisonnement reste bon...

Ce qui donne des hauteurs de soit ou

Merci quand même pour l'énigme

Posté par Daniel62 Daniel62

Bonjour jamo,

2 réponses possibles: 11 mètres et 20 mètres

Posté par pacou pacou

Re, Jamo

J'espère que tu ne voulais pas que l'on parle aussi de la solution où la hauteur du toit est de 0. Pas de toit (juste une terrasse, c'est sympa, l'été), pas de pièce sous le toit et une maison de 8 m de haut.
S'il fallait le préciser, .

Posté par plumemeteore plumemeteore

Bonjour.
La hauteur totale est 11 mètres ou 20 mètres (deux solutions).
Dans le cas où le toit est un triangle rectangle, soit x le rapport entre le côté du carré et la largeur de la maison.
Aire du triangle supérieur / aire du toit = x².
Aire du triangle latéral / aire du toit = (1-x)².
x²+(1-x²) = 5/9.
2x²-2x+1 = 5/9.
18x²-18x+4 = 0.
x = 2/3 ou 1/3.
Le côté du carré est 4 ou 2.
Si le côté est 4, la hauteur du toit est 6*4/2 = 12.
Si le côté est 2, la hauteur du toit est 6*2/4 = 3.
Dans les triangles de même base, à laquelle sont adjacents deux angles non obtus, et de même hauteur, les carrés dont un côté s'appuye sur la base et les deux autres sur chacun des deux autres côtés ont la même aire.

Posté par Laje Laje

8 m + 4,8 m = 12,8 m

Posté par Laje Laje

je préfère ...

hauteur du toit :
12 m

hauteur de la maison :
12 m + 8 m = 20 m

le côté du carré fait 4 m

et en vérifiant ...
8/12 = 4/6
aire du carré = 16 m²
aire du triangle = 36 m²
et 16/36 = 4/9

et tout ça ... hi hi ...
pour une arête !!!

Posté par geo3 geo3

Bonjour
En appelant x le côté du carré , H la hauteur du triangle ABC, le fait que x² = 4.6.H/(9.2) = 4.H/3   ou H = 3.x²/4 et à l'aide de triangles semblables on arrive à l'équation
x(x-2)(x-4) = 0  =>
x = 0 ; x = 2 ; x = 4  =>
H = 3x²/4 => H = 0 ; H = 3 ; H = 12  =>
1)1ère solution = 8m ( le toit est une plate-forme)
2)2ème solution = 11m ( la  plus plausible)
3)3ème solution = 20m
Merci pour ces enigmos géométriques que je préfère
A+

Posté par shboul shboul

Même si elles sont ridicules dis-tu, alors voyons si je ne me trompe pas :

d'abord, le toit peut ne pas exister, tout simplement car .
Mais je suppose que celle là, tu t'y attends. Voyons voir les autres.
Donc le triangle ABC est donc diviser en 4 sections : 3 triangle et 1 carré. posons les équations de la surface de chacun :
posons UR=RS=ST=TU=k
            
ensuite on sait que donc on a le systême suivant :

(I)  
(II)

de (II) on trouve d'ou et (I) donne on remarque que AR+SC=6-k d'ou (I)
on remplace par la valeur en h de k:
(I)
on a déjà fait le cas h=0 donc on l'exclus et un peut diviser par
(I) soit
on pose d'ou et on remplace :
(I)



et

d'ou et

donc la hauteur totale de la maison sera soit de 8m (cas h=0) mais bon, pas facile de vivre dans une pièce dont l'aire de la section est nulle, soit 8+12 = 20m (cas h=12), mais ça nous fait un sacré grenier, soit 8+3=11m (cas h=3) ce qui semble raisonnable en fin de compte.
J'espère ne pas m'être trompé... merci encore et vive la suivante...

Posté par yoyodada yoyodada

Bonjour,

je trouve 2 solutions pour la hauteur, 11 mètres (la pièce RSTU est un carré de 2m de côté) et 20 mètres (la pièce RSTU est un carré de 4mètres de côté).

Posté par dhalte dhalte

Bonjour
Deux solutions
hauteur totale de l'immeuble : 11 mètres ou 20 mètres

Posté par myself myself

Bonjour

En posant et la hauteur du toit , et en supposant que le rapport des 4/9 est respecté, j'arrive à .
L'aire ABC est égale à (par addition des aires des trois triangles et du carré) et est aussi égale à .

On obtient une équation du 3ème degré, , ce qui donne donc , ou .

La première solution semble saugrenue, mais il me semble qu'il ne faut pas l'exclure, comme le suggère l'énoncé.

On a donc la hauteur égale à 0 , 3 ou 12.

Je n'oublie pas de rajouter les 8 mètres de la maison

Donc la hauteur totale de la maison vaut 8 , 11 ou 20 mètres.

Posté par torio torio

Je trouve trois solutions (deux significatives et une "ridicule")

1) Carré de 4 mètres de côté pour une hauteur totale de 20 mètres
2) Carré de 2 mètres de côté pour une hauteur totale de 11 mètres
3) Carré de 0 mètres de côté pour une hauteur totale de 8 mètres (La solution ridicule)

A+
Torio

Posté par jonjon71 jonjon71

Bonjour !

Voici ma réponse :

Les hauteurs totales possibles de la maison sont 8 m, 11 m et 20 m.

Pour la hauteur égale à 8 m, cela signifie que la maison n'a pas de toit mais la solution vérifie les hypothèses du problème géométrique et d'après l'énoncé il faut donner toutes les solutions "même si certaines sont ridicules d'un point de vue pratique".


Démonstration :

J'appelle h la hauteur issue de B au triangle ABC.
--> L'aire du triangle ABC est donc égale à 3h et celle du carré RSTU est égale 4/3*h (4/9 de l'aire du triangle)
--> D'autre part j'ai trouvé que l'aire du carré RSTU était égale à 1/(1/6+1/h)² en calculant la longueur de son côté avec le théorème de Thalès.
--> Cela donne l'équation 4/3*h =  1/(1/6+1/h)² qui a pour solutions 0, 3 et 12 d'où ma réponse au problème.

Voilà en espérant ne pas m'être trompé ! Merci.

Posté par _Michel _Michel

Voila une chouette petite équation du troisième degré qui nous donne trois solutions :
* 8m si Oui-Oui accepte de loger dans une pièce de volume nulle
* 8+3=11m
* 8+12=20m et Oui-Oui aura même peut-être la place d'installer un clocher en plus.

Posté par kiko21 kiko21

Bonjour,

Je trouve deux hauteur totale de la maison comme solutions :

H1 = 0 m
(pas très pratique effectivement car les dimensions de la pièces sont nulles mais si c'est une toiture terrasse accessible en été, ça peut être sympa...)

H2 = 8,551 m avec l.h de la pièce égale 0,857 m x 0,857 m
(Pas très pratique non plus, sauf si Oui-Oui a la même taille que que Mini Me... 81 cm)

Merci Jamo et A+, KiKo21.

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

Bonjour,

en éliminant le cas trivial où tous les points sont confondus, on trouve deux possibilités :

hauteur totale de la maison = 11 ou 20 mètres

cordialement

MM

Posté par daxtero daxtero

9m

Posté par daxtero daxtero

non je voulais dire 11m

Posté par 13or 13or

Salut jamo !
Réponse 1 : 8 m (complètement inutile : triangle ABC plat, chambre de section nulle)
Réponse 2 : 11 m (chambre de section 4 m2)
Réponse 3 : 20 m (chambre de section 16 m2, mais quel toit !)

Posté par graindesel graindesel

Bonjour,
la hauteur totale de la maison est 11 mètres ou 20 mètres.

Posté par LeDino LeDino

Trois hauteurs totales conviennent pour la maison :

Hauteur de 11 m et carré de largeur 2 m,
Hauteur de 20 m et carré de largeur 4 m,
Hauteur de  8 m et carré de largeur 0 m.

La troisième solution est un cas particulier, correspondant à un toit plat et un espace nul pour la pièce de Oui-Oui...

Démonstration :

D'après Thalès, le rapport UT/AC reste constant quelle que soit la position horizontale de B.
Donc, le coté 'a' du carré RSTU reste constant et ne dépend que de la hauteur 'h' du point B.
De même, la surface du triangle ABC reste constante et égale à :  h.L/2  (avec L=AC)

Le rapport de surfaces donne :  (a/L)² = (2/9).(h/L)

Le respect des proportions donne :  L/h = a/(h-a) = (L-a)/a
Ce qui donne (en posant x=h/L)   :  x.(x-2)(x-1/2) = 0
Qui admet trois solutions :  x=0, x=1/2, x=2
Le reste en découle...

Posté par jver jver

Deux réponses: 11m et 20 m (réponse idiote!)

Posté par dpi dpi

La hauteur est de 11 m

Posté par evariste evariste

2 solutions : 11 m et 20 m

Posté par bill159 bill159

j'ai fait une erreur d'autant plus que ce n'est pas ce résultat, mais 9mètres et quelques....en espérant me rattraper avec les prochaines énigmes!

Posté par Kacs Kacs

Il y a exactement trois solutions pour la hauteur totale :
- soit 8m
- soit 11m
- soit 20m

Posté par gloubi gloubi

Bonjour,

Trois solutions:
8 m (pas pratique du tout ...), 11 m ou 20 m.

A+  

Posté par Rumbafan Rumbafan


H = 8, 11 et 20 metres

En utilisant les triangles semblables...

Posté par Aurelien_ Aurelien_

Bonjour,

3 solutions :
- hauteur totale = 8m. Le toit est alors plat et cela ne présente pas un grand intérêt pour Oui-oui
- hauteur totale = 20m. Le toit présente une hauteur de 12m, il est donc plus haut que la maison !
- hauteur totale = 11m. Cette solution est la plus pertinente et c'est celle que choisira Oui-Oui s'il n'est pas trop bête !!!


Démonstration :

x = RS
h = hauteur du toit

* d'une part : Thalès dans BAC => d'où donc

* d'autre part l'aire de RSTU est égale à 4/9 de l'aire du triangle ABC donc

donc, en égalisant :

donc h=0 (toit plat, ça ne sert pas à grand chose...)
ou




ou

Posté par pythamede pythamede

Ma réponse : 11,000 m ou 20,000 m

Posté par Rudi Rudi

Bonjour

========== Réponse proposée ==========

Hauteur de la maison = 11 m ou 20 m

========== Méthode employée ==========



a+x+b = 6

Aire Triangle = ax/2+(h-x)x/2+bx/2 + x² = (x/2)(a+h-x+b+2x) = (x/2)(6+h) = (6+h)x/2
Aire Triangle = 6h/2 = 3h
d'où x = 6h/(6+h)

Aire carré = (4/9)Aire Triangle = x² = (4/9)(3h) = 4h/3
d'où
4h/3 = 36h²/(6+h)²
h²-15h+36 = 0
(h-3)(h-12) = 0

d'où deux hauteurs de toit : h=3 ou h=12

=========== Poursuite d'énoncé ===========

Existe-t-il d'autres valeurs (p/q)², pour cet énoncé, fournissant deux valeurs entières de la hauteur du toit et telle que l'aire du carré = (p/q)² l'aire du triangle ?
(p/q non réduit à 2/3)

Rudy

Posté par frapy frapy

Bonjour,

La hauteur totale de la maison (avec le toit) est comprise entre 8 mètres et 35 mètres non-inclus.
, pour h la hauteur totale de la maison exprimée en mètres.

Merci pour cette énigme,
Frapy.

Posté par -Tonio- -Tonio-

Bonsoir,

Je trouve deux solutions (valeurs exactes) pour la hauteur totale de la maison, mais j'ai des doutes :





En tout cas merci pour l'énigme .

-T-

Posté par Supernick Supernick

14m ou 104m?

Posté par LEGMATH LEGMATH

Bonjour jamo,

La hauteur totale de la maison est de 20m.

Posté par rezoons rezoons

Bonjour ,
je trouve une hauteur de 10,667 metres.

Posté par jimss jimss

Bonsoir,
Voici ma proposition : le toit étant supposé non aplati, la hauteur totale de la maison peut être de 11 m ou bien de 20 m.

Posté par Cellix Cellix

11 m ou bien 20 m

Posté par totti1000 totti1000

Salut Jamo,
Je propose 11m et 20m, j'espère que ce sont les 2 seules solutions.