Algèbre: theme groupe et anneaux

Posté par yajax yajax

Bonsoir
Montrer que si n est un entier premier et p un entier non multiple de n, p^n-1=1 [mod n]
J'ai la solution mais je ne comprend pas:
Corrigé:
Si n est un nombre premier, /n* est un groupe multiplicatif d'ordre n-1.
Pour tout p de , notons la classe de p dans /n
Jusque là cela va mais après:
Si p n'est pas multiple de n , appartient à /n*: Pourquoi?

Soit k l'ordre  du sous groupe de /n* engendré par , ^k=:Pourquoi? et k divise n-1 Pourquoi?

d'où ^n-1= soit p^n-1=1 [mod n] pour la conclusion aussi j'aurais besoin d'explications.
Merci d'avance

Posté par plumemeteore plumemeteore

Bonjour Yajax.
Voici une démonstration de ce théorème de Fermat, trouvée dans le site 'almanach dictionnaire des nombres'.
J'ai interverti les rôles de n et de p pour y faire correspondre les initiales de 'nombre' et de 'premier'.
Considérons les multiples de n de n*1 à n*(p-1), qu'on appellera ici les multiples de n.
Aucun n'est divisible par p.
Les restes de la division de ces nombres par p sont tous différents.
En effet, si deux nombres donnaient le même reste, leur différence, qui est aussi dans la liste des multiples de n serait divisible par p.
Les congruences à p des multiples de n sont donc 1, 2, 3, ... p-1 (dans le désordre).
La congruence à p du produit des multiples de n est égale à la congruence à p du produit des nombres de 1 à p-1.
Le produit des multiples est n*1 * n*2 * n*3 * ... * n^(p-1) = n^(p-1) * (1 * 2 * 3 * ... * p-1).
Soit d et c les congruence à p de n^(p-1) et de (1 * 2 * 3 * ... * p-1).
La congruence à p de d*c = c.
Supposons que d soit différent de 1.
(d-1)*c serait divisible par p. Or c'est impossible puisque c et d-1 sont non nuls et inférieurs à p.
Donc d = 1 : n^(p-1) est congru à 1 modulo p.

Pourriez-vous m'expliquer ce que signifie Z/nZ* ??

Posté par yajax yajax

merci pour votre réponse il faut que je regarde cela plus en détail mais cela me semble plus clair
Z/nZ*  est l'ensemble des entiers relatif privé de l'ensemble des entiers relatifs multiples de n donc ensemble quotient de Z par nZ

Posté par yajax yajax

j'ai oublié * privé de 0

Posté par carpediem carpediem

salut

/n^* est l'ensemble des inversibles de G=/n
donc si n est premier c'est G privé de 0 qui est un groupe multiplicatif (car G est un corps) donc l'ordre est n-1 et l'ordre d'un élément divise l'ordre du groupe donc k divise n-1

si p n'est pas multiple de n alors alors 0 et G^*

Posté par carpediem carpediem

...dont l'ordre est ...

Posté par yajax yajax

Bonjour Carpediem
k?

Posté par carpediem carpediem

salut yajax (d'Amsterdam ?)


dans la démo ils appelent k l'ordre de   donc l'ordre du groupe engendré par et l'objectif est de démontré que k=n-1...

ce que t'a fait plumemétéore

(il existe d'autres démo)

dans la première partie de sa démo il démontre que la translation à gauche par n (les multiples de n) sont au nombre de n-1 donc que le sous-groupe engendré par n est G^*

Posté par Mihawk Mihawk

c'est le petit théorème de Fermat ca...

J'ai une jolie démonstration combinatoire avec des perles et des colliers

la voici :

rappelons le corollaire du petit théorème de Fermat :




De ce corollaire on déduit facilement le théorème en supposant qu'en plus et sont premiers entre eux.


Imaginons que l'on dispose de perles, beaucoup de perles, de couleurs différentes. On veut savoir combien de colliers non monochromes de perles on peut fabriquer.

Pour fabriquer un collier, il faut enfiler les perles sur un fil et donc on va regarder le nombre de chaines non monochromes de perles que l'on peut fabriquer.

Il y en a exactement .

Maintenant on referme ces chaines pour créer des colliers, c'est-à-dire, a partir de -uplets, on crée des -cycles. Il y a pour chaque colliers créé, chaines qui donnent le meme collier.

Et donc, comme le nombre de collier est entier, on a bien que divise
D'où le corollaire.

Joli non?

Posté par yajax yajax

Bonsoir
Merci à tous pour votre aide, je me rends compte que j'ai oublié beaucoup de choses et que tout cela revient difficilement mais grâce à vous 3, j'ai compris.