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Challenge n°72

   
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1 *Challenge n°72*

#msg132828 Posté le 13-02-05 à 09:15
Posté par Profilpuisea puisea Posteur d'énigmes

Bonjour, nouvelle énigme :

Combien y a-t-il d'entiers naturels n tel que \frac{n+22}{n+1} soit un nombre entier ?

Bonne chance à tous
Clôture mercredi soir.
re : Challenge n°72*#msg132829 Posté le 13-02-05 à 09:21
Posté par gilbert (invité)

gagnéIl y a quatre valeurs possibles pour n
n=0
n=2
n=6
n=20
re : Challenge n°72*#msg132830 Posté le 13-02-05 à 09:25
Posté par ProfilNofutur2 Nofutur2

gagné\frac{n+22}{n+1}=1+\frac{21}{n+1}
Les valeurs possibles pour n=1 sont 1,3,7 et 21
Donc 4 valeurs pour n : 0,2,6,20 (0 est un entier naturel)[i][/i]
re : Challenge n°72*#msg132831 Posté le 13-02-05 à 09:29
Posté par lolux (invité)

gagnéBonjour,je viens juste de voir par hasard l'énigme quelle chance , donc ma réponse est
  
   0;2;6;20
  facile non!
re : Challenge n°72*#msg132833 Posté le 13-02-05 à 09:39
Posté par Profilisisstruiss isisstruiss

gagnéSi on considère la suite x_n=\frac{n+22}{n+1}, on remarque rapidement qu'elle est décroissante et que sa limite à l'infini est 1. Donc la dernière valeur entière de la suite a lieu à n=20 (x_{20}=2). Il suffit donc de considérer les 20 premiers termes de la suite et on a les 4 valeurs entières:
x_0=22\qquad x_{2}=8 \qquad x_{6}=4 \qquad x_{20}=2

En résumé la réponse est 4 valeurs entières.

Isis
re : Challenge n°72*#msg132840 Posté le 13-02-05 à 09:51
Posté par pietro (invité)

Quatre.

\frac {n+22}{n+1} = 1 + \frac{21}{n+1}
et les diviseurs de 21 sont : 1 ; 3 ; 7 ; 21
Obtenus pour n = 0 ; 2 ; 6 ; 20
re : Challenge n°72*#msg132843 Posté le 13-02-05 à 10:02
Posté par instinct (invité)

gagnéIl y a 4 entiers naturels qui conviennent .
0-2-6-20
re : Challenge n°72*#msg132850 Posté le 13-02-05 à 10:34
Posté par Profilmanpower manpower

gagnéRemarque: Pour tout \rm n\in \mathbb{N}, \rm \frac{n+22}{n+1}~>1>0 donc \rm \frac{n+22}{n+1}\in \mathbb{Z} \Longleftrightarrow \rm \frac{n+22}{n+1}\in \mathbb{N}.
On cherche donc \rm n\in \mathbb{N} tel que \rm \frac{n+22}{n+1}\in \mathbb{N}
Soit \rm \frac{n+22}{n+1}=a  où  \rm a\in \mathbb{N}
Il vient \rm n = \rm \frac{22-a}{a-1} , avec nécessairement \rm 1<a\le 22.
Il suffit de rapidement tester les possiblités pour obtenir 4 solutions:
     \rm a=2  \Longrightarrow \green \rm n=20
     \rm a=4  \Longrightarrow \green \rm n=6
     \rm a=8  \Longrightarrow \green \rm n=2
     \rm a=22 \Longrightarrow \green \rm n=0

Conclusion: Il y a 4$ \red 4 valeurs de n (0,2,6 et 20) telles que le quotient \rm \frac{n+22}{n+1} soit entier (naturel ou relatif).
re : Challenge n°72*#msg132874 Posté le 13-02-05 à 11:42
Posté par Profilsoucou soucou

gagnéBonjour, je suppose que n\in\mathbb{N}, par pure constatation quand n:\nearrow\quad\Longrightarrow\quad\frac{n+22}{n+1}:\searrow j'en déduis que la fonction est \searrow:\in\left[0;+\infty\right].

Dans un premier temps je cherche la valeur de n\in\left[0;+\infty\right] pour lequel \frac{n+22}{n+1} admet une valeur maximale. D'après ma première constatation si n=0 \Longrightarrow \frac{n+22}{n+1} est maximale, de plus il se trouve que \frac{0+22}{0+1}=\underline{22}, comme n\in\mathbb{N} \Longrightarrow\frac{n+22}{n+1}<22 22 est le plus grand nombre entier que \frac{n+22}{n+1} admet pour n\in\mathbb{N}

Bon, il se trouve que n=\left\{0;2;6;20\right\}\Longrightarrow\frac{n+22}{n+1}\in\mathbb{N}

Réponse finale: iL y a 4 entiers naturels

re : Challenge n°72*#msg132881 Posté le 13-02-05 à 11:53
Posté par ProfilJustin Justin

perdu(n+22)/(n+1) = (n+1)/(n+1) + 21/(n+1) = 1 + 21/(n+1)

Pour que 1 + 21/(n+1) soit un entier naturel il faut que 21/(n+1) soit un entier >= 0. Or, cela n'est possible que lors n=20.

Il n'y a donc qu'un entier naturel n tel que (n+22)/(n+1) soit un nombre entier.

Votre site est superbe !

Justin
re : Challenge n°72*#msg132898 Posté le 13-02-05 à 12:16
Posté par Yalcin (invité)

gagnéBonjour

On a : (n+22)/(n+1) = 1+21/(n+1)

Donc 21/(n+1) doit être entier

donc n=(q_k)-1 avec q_k | 21

Or n>=0 , donc q_k >=1

Or (q_k | 21 ) et q_k >=1 => q_k = {1;3;7;21}

Donc on a : n={0;2;6;20}

Finalement on a "4" entiers naturels n tel que (n+22)/(n+1) soit un entier.

Cordialement Yalcin
Challenge n°72*#msg132908 Posté le 13-02-05 à 12:34
Posté par papou_28 (invité)

gagnéJ'ai étudié la fonction associée :
f(x) = (x+22)/(x+1)
On constate que cette fonction est décroissante sur [0;+infini[
f(0) = 22 et lim f ---> 1 quand x--> + infini
J'ai utilisé un tableur en étudiant f(n) où n est un entier.
J'ai constaté que pour n>20 f(n)<2 ainsi il n'y a pas d'entier supérieur strictement à 20 tel que f(n) soit entier.
j'ai donc examiné les entiers compris entre 0 et 20(inclu)
J'ai trouvé 4 valeurs de n tel que f(n) soit entier :
f(0) = 22 ; f(2) = 8 ; f(6) = 4 ; f(20) = 2.
Bilan : Il y a 4 valeurs de n tel que (n++2)/(n+1) soit entier. Ces valeurs de n sont 0; 2; 6 et 20.
re : Challenge n°72*#msg133056 Posté le 13-02-05 à 15:46
Posté par Profildoc_78 doc_78

gagnéBonjour
Réponse rapide : Posons k entier tel que \frac{n+22}{n+1}=k, on a alors n(1-k)=k-22 c'est à dire n=\frac{k-22}{1-k} or n est un entier positif, ce qui implique k entier compris entre {2} et {22}. Les n correspondants sont {0}, {2}, {6}, et {20}.
Il y a donc 4 SOLUTIONS.
re : Challenge n°72*#msg133150 Posté le 13-02-05 à 16:59
Posté par majuju (invité)

gagnéil y en a 4
0, 2, 6, 20, Après, le quotient est inférieur à 2 sans jamais atteindre 1
Facile !!!!#msg133171 Posté le 13-02-05 à 17:17
Posté par DJ Bugger (invité)

gagné\frac{n+22}{n+1}=\frac{n+1+21}{n+1}=1+\frac{21}{n+1}
donc 21 doit être divisible par n+1.
Les diviseurs de 21 sont 1,3,7,21, alors n+1 est égal à un de ces nombres.
Il y a donc quatre solutions : 0,2,6 et 20.
re : Challenge n°72*#msg133183 Posté le 13-02-05 à 17:41
Posté par pinotte (invité)

gagnéJ'en trouve 4!

poisson man#msg133208 Posté le 13-02-05 à 18:16
Posté par paysan77 (invité)

perdubijour
alors (n+22)/n+1 = 1 +21/(n+1)
il faut donc que n+1 divise 21 dc
n+1=1
n+1=7
n+1=3
n+1=21
n+1=-1
n+1=-3
n+1=-7
n+1=-21
dc il y ya 8 possibilités
re : Challenge n°72*#msg133287 Posté le 13-02-05 à 19:38
Posté par jacko78 (invité)

gagnéIl en existe 4 verifiant cette equation, qui sont : 0, 2, 6 et 20.
re : Challenge n°72*#msg133437 Posté le 13-02-05 à 22:26
Posté par paltan (invité)

gagnébonsoir,
(n+22)/(n+1)=1+21/(n+1) est entier si n+1 est un diviseur de 21.
Il y a donc 4 entiers naturels n tel que (n+22)/(n+1) soit un nombre entier.
re : Challenge n°72*#msg133492 Posté le 14-02-05 à 00:11
Posté par ProfilLopez Lopez

gagnéSalut,

il y en a 4
re : Challenge n°72*#msg133495 Posté le 14-02-05 à 06:24
Posté par Profilfranz franz

gagné

\array{ccccc$ k = \frac{n+22}{n+1} & \Longleftrightarrow & n+22&=&k(n+1) \\ & \Longleftrightarrow & (k-1)n+k-22&=&0 \\ & \Longleftrightarrow & (k-1)n+(k-1)-21&=&0 \\ & \Longleftrightarrow & (k-1)(n+1)&=&21}

n+1 est donc un entier divisant 21
n+1 \;\in\; \{1,3,7,21 \}
\red n \;\in\; \{0,2,6,20 \}

Il existe 4 entiers naturels pour lesquels \frac{n+22}{n+1} \;\in \;{\mathbb N}
re : Challenge n°72*#msg133502 Posté le 14-02-05 à 09:23
Posté par philoux (invité)

gagnéBonjour,

Réponse : 4

R = (n+22)/(n+1) = (n+1+21)/(n+1) = 1+21/(n+1). Il faut que (n+1) soit diviseur de 21; or 21 = 1 x 3 x 7, d'où les solutions :
n+1 = 1 => n=0 et R=22
n+1 = 3 => n=2 et R=8
n+1 = 7 => n=6 et R=4
n+1 = 21 => n=20 et R=2

Merci pour l'énigme,

Philoux
Re: Challenge n°72#msg133519 Posté le 14-02-05 à 10:27
Posté par ProfilPtit_belge Ptit_belge

gagnéBonjour,

Je pense qu'il n'y a que 4 nombres n qui vérifient cette relation: 0, 2, 6 et 20

Explication:
Soit k entier tel que (n+22)/(n+1)=k
On en déduit que n=(22-k)/(k-1)
n doit être entier et positif.
Une étude de signe montre que k doit être compris entre 2 et 22 (car 1 est à  rejeter)
Il suffit donc de tester les quelques cas possibles (admirez le jeu de mots!):
k=2 -> n=20
k=4 -> n=6
k=8 -> n=2
k=22 -> n=0
RE#msg133719 Posté le 14-02-05 à 15:19
Posté par kyrandia (invité)

perduil y a trois entiers naturels
n = 2, 6, 20
re : Challenge n°72*#msg133775 Posté le 14-02-05 à 16:36
Posté par Profilborneo borneo

perduil y en a 3 :
2, 6 et 20.
re : Challenge n°72*#msg133801 Posté le 14-02-05 à 17:19
Posté par Mat70 (invité)

perduJe dirais 2 !
Challenge n°72#msg133861 Posté le 14-02-05 à 18:09
Posté par Vinz (invité)

Bonjour
Ceci est un authentique raisonnement faux! (n+22)/(n+1)= p ssi n+1|n+22
On voit que 0 est solution. Mais est ce bien la seule hum? Surement pas !
(n+22)/(n+1)= (n+1+21)/(n+1)=1+21/(n+1)
Oh! Il suffit que n+1|21 mais qu'est qui divise 21? +/-1,+/-3,+/-7 et +/-21 ! d'où n (0,-2,2,-4,6,-8,20,-22).
2nde solution :
n+1|n+22 On voit que 0 est solution. Ensuite cela peut se voir comme ca : a) n+22= qp avec p et b) n+1= q car n. En soutrayant a) à b) cela donne 21=q(p-1) soit p=21/q+1 (q0) donc p si q divise 21 soit q=+/-1,+/-21,+/-7,+/-3, donc d'apres b)n=q-1 d'où n(0,-2,20,-22,6,-8,2,-4) (dans le désordre^^)
Il y en a donc 8 je pense. OOups !
Il n'y en a que 4 puisque n est un entier naturel, donc  positif.
D'où finalement n(0,2,6,20) !
J'espère ne pas m'être trompé...
Vince
Merci au site qui se démène pour amuser les esprits !
L essentiel est de participer..Merci Pierre de Coubertin..Miaouw#msg133989 Posté le 14-02-05 à 19:39
Posté par PolytechMars (invité)

gagnéBonjour,
Calculons la limite en +infini de la fonction f(x)=\frac{x+22}{x+1}. Cette limite vaut 1. Or sur [0,+inf] f est décroissante donc sur [0,+inf] f(x) appartient à [22,1[ (theoreme de la bijection) . Resolvons  [\frac{x+22}{x+1}=2 => x=20. Donc on n'etudie la divisibilité de n + 22 par n + 1 seulement pour n allant de 0 à 20. Il y a donc quatre nombres n tels que \frac{n+22}{n+1} soit un entier naturel.
Les solutions sont :
n=0 d'où f(0)=22
n=2 d'où f(2)=8
n=6 d'où f(6)=4
n=20 d'où f(20)=2.

Bonnes mathémetiques..

MiaouwL essentiel est de participer..Merci Pierre de Coubertin..Miaouw
re : Challenge n°72*#msg134006 Posté le 14-02-05 à 19:50
Posté par ProfilKsilver Ksilver

gagnéon note a|b pour a divise b


on cherche n tel que n+1|n+22. n+1|n+1 donc n+1|n+22-(n+1)
n+1|21

n+1>0 donc n+1 aparitien {1,3,7,21} et n apparien a {0,2,6,20) on a raisoner par impliquation il faut donc verifier c'est solution.

pour n=0 n+22/n+1 = 22
pour n=2 N+22/n+1 = 8
pour n=6 n+22/n+1 = 4
pour n =20 n+22/n+1 = 2

on a donc bien nos 4 sollution 0,2,6,20
hopla#msg134133 Posté le 14-02-05 à 21:40
Posté par lagaffe (invité)

gagnébin y'en a  4 !!
bonne soirée
++
re : Challenge n°72*#msg134135 Posté le 14-02-05 à 21:41
Posté par ericbfd (invité)

gagnéIl y en a quatre:
0 ; 2 ; 6 et 20
re : Challenge n°72*#msg134138 Posté le 14-02-05 à 21:45
Posté par ametist (invité)

gagné0;2;6;20

4 entiers naturels !
re : Challenge n°72*#msg134268 Posté le 15-02-05 à 00:41
Posté par minotaure (invité)

gagné(n+22)/(n+1)=1 + 21/(n+1)

(n+22)/(n+1) entier <=> 21/(n+1) entier.

reste a chercher les diviseurs de 21 :

1,3,7,21.

donc les valeurs de n recherchees sont 0,2,6,20.
a+.
re : Challenge n°72*#msg134278 Posté le 15-02-05 à 01:25
Posté par bozz (invité)

gagnég failli répondre + mais après réflexion je trouve :
que n obligatoiremant paire et que n=0 ou n=2 ou n=6 ou n=20
n=+ pourrait aller si +appartenait a mais ce n'est pas le cas .
Il y a donc 4 entier naturel qui sont solution
S={0;2;6;20}

P.S.je suis pressé de voir comment on le démontre plus intelligement que moi parceque ma démonstraton c'est calculer tout les cas possibles.
re : Challenge n°72*#msg134399 Posté le 15-02-05 à 12:37
Posté par Théo (invité)

gagnéIl existe \red 4 entiers naturels.

En effet : \frac{n+22}{n+1}=\frac{n+1+21}{n+1}=1+\frac{21}{n+1}

D'où les solutions S={0;2;6;20}
re : Challenge n°72*#msg134707 Posté le 15-02-05 à 18:01
Posté par aurele (invité)

salut moi je dirait 10
entiers naturels#msg134750 Posté le 15-02-05 à 18:53
Posté par Cyanure (invité)

perduEh bien, je pense qu'il y en a une infinité car n+1 signifie beaucoup de nombres à patir de 2 et n+22 beaucoup de nombres à partir de 23.

Je pense que c'est faux mais comme on dit l'essentiel est de participer  .
re : Challenge n°72*#msg134797 Posté le 15-02-05 à 19:32
Posté par minilouis (invité)

perduil y a deux entiers naturels n : 1 et 7
re : Challenge n°72*#msg134832 Posté le 15-02-05 à 20:13
Posté par Profiletienne etienne

gagnéBonjour

Il y en a 4.
re : Challenge n°72*#msg134911 Posté le 15-02-05 à 22:24
Posté par Profillyonnais lyonnais

gagnébonjour à tous : 1ère énigme que je tente, j'espère ne pas me planter !

alors \rm \frac{n+22}{n+1} = \frac{n+1+21}{n+1} = \frac{n+1}{n+1} + \frac{21}{n+1} = 1+\frac{21}{n+1}

1 est un entier, donc dépend de \frac{21}{n+1}

diviseurs naturels de 21 : { 1 ; 3 ; 7 ; 21 }

-> n+1 = 1 <=> n = 0
-> n+1 = 3 <=> n = 2
-> n+1 = 7 <=> n = 6
-> n+1 = 21 <=> n = 20 .

Il y a donc \blue 4 entiers naturels n tel que \frac{n+22}{n+1} soit un entier : { 0 ; 2 ; 6 ; 20 }

Les entiers obtenus sont ainsi { 2 ; 4 ; 8 ; 22 }
re : Challenge n°72*#msg135425 Posté le 16-02-05 à 19:08
Posté par Profilpuisea puisea Posteur d'énigmes

Merci de votre participation, le bonne réponse était 4.
re : Challenge n°72*#msg135800 Posté le 17-02-05 à 10:55
Posté par Profilisisstruiss isisstruiss

gagnéJ'ai une petite question à nos modérateurs, correcteurs, webmaster et autres ayant des droits spéciaux. Je crois savoir que vous corrigez régulièrement des erreurs de balises LaTeX. Ma question est: Pourquoi le message de PolytechMars n'est pas passé par ce type de réédition? C'est peut-être juste un /tex manquant ou quelque chose du genre et là c'est vraiment moche car en plus le message déborde du cadre de la page.

Isis
re : Challenge n°72*#msg135819 Posté le 17-02-05 à 11:25
Posté par ProfilOcéane Océane Webmaster

Un oubli sûrement, c'est corrigé
Merci
re : Challenge n°72*#msg135851 Posté le 17-02-05 à 12:15
Posté par Profilborneo borneo

perduAaaaaaaarg j'ai oublié zéro... pas très malin de réussir les 3 étoiles et de se planter sur une 1 étoile...

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 39
:)79,49 %20,51 %:(
31 8

Temps de réponse moyen : 22:52:21.

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