Enigmo 133 : Enigme olympique

Posté par jamo jamo

Bonjour,

cet été, point de jeux olympiques ! Cela ne m'empêchera pas de proposer une énigme olympique !

Sur un mur, on a déposé cinq anneaux de telle sorte à représenter le symbole des jeux olympiques (voir image ci-dessous). Chaque anneau a un rayon de 1 mètre.
Mais les anneaux sont tous tombés au sol.
Cependant, en observant bien la disposition des anneaux au sol, j'ai remarqué une petite particularité : les cinq cercles passent tous par un même point, et ce point est situé à l'intérieur de la surface couverte par les cinq disques (voir la 2ème figure ci-dessous).
Mais à part ça, les cinq anneaux sont disposés de manière quelconque.

Question : quelle est le périmètre extérieur de la surface couverte par les cinq disques (c'est-à-dire le périmètre de la courbe représentée ci-dessous) ?
Je veux une précision au millimètre.

Bien entendu, vous avez le droit de répondre "problème impossible" si vous pensez que c'est le cas !

Bonne recherche !

Posté par Aurelien_ Aurelien_

Bonjour,

Le périmètre est de 12,566 m (=4)

Posté par Daniel62 Daniel62

Bonjour Jamo,

ma réponse = 4 = 12,566 m

le périmètre ne dépend pas du nombre de cercles

2 cercles tangents auraient pour périmètre 2 fois le périmètre d'un cercle soit 4R

Posté par godefroy_lehardi godefroy_lehardi

Bonjour,

Je propose 12,566 m (qui correspond à 4)

Merci Jamo

Posté par Rudi Rudi

Bonjour

===== Réponse proposée =====

12566 mm

===== Méthode suivie=====

Du fait de l'entrelacement des anneaux, ils ne peuvent pas être tous superposés pour faire 1 seul cercle (ce que j'avais cru initialement)

En faisant pivoter les anneaux autour de O, voici une configuration :



qui montre que la somme des angles des arcs extérieurs est de trois fois pi/2 plus deux fois 5pi/4 ce qui fournit une ouverture de 4pi (pour un rayon d'un mètre)

En pivotant un des cercles autour de O d'un angle donné, on augmente un des arcs d'un certain angle et on diminue un autre arc du même angle => cette somme, sauf erreur de raisonnement, est donc invariante
(je ne suis pas certain de ce raisonnement qui doit manquer de rigueur)

Rudy

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

Bonsoir Jamo

Je pense que la réponse exacte est 4

ce qui donne 12,566 m. , au millimètre près.

Cordialement

MM

Posté par LeDino LeDino

Bonsoir,

Je propose comme périmètre extérieur : P = 4.PI.R = 12,566 mètres.

Explication :

Le périmètre P recherché est la somme des périmètres partiels Pi, de chaque arc extérieur. Chaque Pi vaut ALPHAi*R, où R est le Rayon et ALPHAi, l'angle balayé par l'arc du cercle i, vu du centre de ce cercle. Cet angle est exactement le double de l'angle BETAi que balaye ce même arc mesuré à partir du "point central" (le point commun à tous les cercles).

Comme on considère que ce "point central" est unique et qu'il est "stritement intérieur" à la surface formée, l'angle balayé par les cinq cercles à parti de ce point couvre exactement un tour complet, soit 2*PI.

Et dans ce cas :
P = R.Somme(ALPHAi)
P = R.Somme(BETAi)*2
P = R.2PI.2
P = 4.PI.R

Merci pour cette chouette énigme.
A signaler que le périmètre ne dépend en fait pas du nombre de cercles, du moment que le point central est bien "à l'intérieur".

Posté par manpower manpower

Bonsoir,

vite fait... je trouve 4 soit environ 12,566 m (au mm près).

Merci pour l'Enigmo Olympique.

^{PS: Joli problème !}

Posté par dpi dpi

j'ai commencé par deux anneaux (d'épaisseur nulle nous somme en maths) et on constate que l'on perd deux arcs égaux puis 3 ou on perd 1 arc sur le nouveau + de petits arcs sur les précédents et ainsi de suite jusqu'à 5 ou les réductions angulaires deviennent importantes les 5 anneaux laissent finalement un arc total de 720 °
-->Périmètre  6.283 m

Posté par plumemeteore plumemeteore

Bonjour Jamo.
Le périmètre est 12,566 m = 4 pi mètres.
Les angles dont le sommet est le point et dont les côtés passent par les extrémités d'un même arc ont pour somme 360°. Les arcs ont pour somme le double : 720°, le double de la circonférence.

Posté par geo3 geo3

Bonjour
Le circonférence de centre le point commun  à tous les cercles et de rayon 1 comprend les centres des cercles olympiques
La longueur d'un arc de cercle = angle au centre *rayon ( =1)
Or l'angle inscrit étant le double de l'angle au centre
on a
périmètre demandé = 4*pi = 12.56637061  =
= 12.566 m
A+

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Je trouve L=2D=4=12,566 m au mm le plus proche

Posté par jimss jimss

Bonsoir,
Voici ma proposition : le périmètre extérieur de la surface couverte par les cinq disques est égal 12,566 m arrondi au millimètre.

Posté par yoyodada yoyodada

Bonjour Jamo,


je trouve une circonférence de mètres et millimètres. En espérant ne pas m'être trompé !

Posté par torio torio

2*2*pi*r = 4*pi = 12,566 m = 12'566 mm
A+
Torio

Posté par dhalte dhalte

Bonjour
Le périmètre extérieur de ces cercles de diamètre 1 mètre est de :

Posté par Laje Laje

C = 2Pi
on trouve 4 Pi

Posté par gloubi gloubi

Bonjour,

Toute valeur comprise entre la circonférence d'un anneau et celle de deux anneaux convient.
Donc, ma réponse: 6,283 m < périmètre extérieur < 1,257 m (au mm près)

A+  

Posté par pythamede pythamede

Je dirais 12,566 m

Posté par jonjon71 jonjon71

Bonjour !

Voici ma réponse :

Le périmètre extérieur de la surface couverte par les cinq disques est d'environ 12,566 m (arrondi au millimètre près).

Je n'ai pas de démonstration ce qui est bien dommage mais j'ai simplement conjecturé le résultat avec Geogebra : le périmètre de la figure semble être égal au double du périmètre de chaque cercle. Ces cercles ont pour rayon 1 m donc pour périmètre 2 m et ainsi le périmètre de la figure est égal à 4 m d'où ma réponse.

Merci !

Posté par evariste evariste

12,566 m
=4r

Posté par castoriginal castoriginal

Bonsoir,

on peut considérer le cas extrême où l'on superpose les disques les uns sur les autres en deux groupes: un de 3 cercles et l'autre de 2 cercles. Ces 2 groupes sont tangents au point commun. Le périmètre de la courbe extérieure aux cinq disques est représenté par 2 cercles de rayon 1m : on a donc 4*Pi*R soit 12,56636m

Un autre cas extrême est celui où l'on répartit les 5 disques d'une façon symétrique par rapport au point commun. Les 5 arcs extérieurs des disques sont vus du point commun sous un angle de 72°. Pour chaque disque l'angle au centre correspondant vaut 144°.
5 x 144° = 720° = 4*Pi. Le périmètre est le même soit 12,56636m

Il en résulte que quelque soit la position des disques, le périmètre est constant!

Bien à vous

Posté par 13or 13or

Réponse : 12,566 m

Merci jamo

Posté par lo5707 lo5707

Bonjour,

Le périmètre est le même quelle que soit la position des cercles
On peut donc étudier le cas où ils sont disposés de façon régulière
On construit les cercles sur un pentagone régulier
On va s'intéresser à l'arc BDA du cercle bleu
L'angle CÔA vaut 36° ainsi que l'angle CÂO (comme le triangle OCA est isocèle)
L'angle O^CA vaut donc 108°
Et l'angle D^CA vaut 72°
On doit donc calculer un arc de cercle sur 144°
Le périmètre du cercle vaut 2
L'arc BDA vaut donc 2 * 144/360
Comme il y a 5 arcs, on a : 2 * 144/360 * 5
Càd 4

Le périmètre vaut 12566 mm


Merci pour l'énigme.

Posté par integral integral

Bonjour, je trouve que le périmètre total est 8x 125.132m.
Merci pour l'énigme.

Posté par darkai darkai

je crois que la réponse est 2

Posté par amouna amouna

2pi

Posté par Benwat Benwat

Problème Impossible

De manière quelquonque, ça peut être "tous confondus", ou "disposé sur un pentagone".

Premier cas "tous confondus" : P₁= 2r   avec r=1
Donc P₁=2

Second cas "disposé sur un pentagonne". Entendez par là que les centres des cercles forment un pentagone. La figure obtenu contient 2 5^ème de chaque cercle, soit donc l'équivalent de 2 cercles.
P₂=2 x P₁=4

Il n'existe pas de réponse unique.

Posté par P0liine P0liine

Problème impossible

Posté par alfred15 alfred15

Bonjour,

je dirais que le périmètre est :



soit P 12,566 m

Merci

Posté par Kacs Kacs

Le périmètre extérieur est d'exactement , soit environ 12566mm.

Posté par sacharit sacharit

périmètre = 12,566 m
(plus exactement 3 soit 12,566370614359 m)

Posté par sacharit sacharit

oups j'ai fait une faute de frappe c'est 4 et pas 3 bien sûr ! (je suis pas encore si bon que ça pour les chiffres sans regarder le clavier et sans pavé numérique...). Merci pour vos énigmes !

Posté par LEGMATH LEGMATH

Bonjour jamo,

Le périmètre extérieur de la surface couverte par les cinq disques est de 12,566 m .

Posté par LeDino LeDino


Illustration...

Posté par programaths programaths

En regardant bien les arcs que j'ai mis en vert sur le dessin, on comprend aisément que le périmètre reste constant
En effet, ce qui s'additionne dans le périmètre à gauche (arc C1) va se soustraire à droite (arc D1).

Après, on sait que l'on doit calculer le double de la circonférence d'un cercle en regardant le deuxième dessin.
La cf. est 2pi. La réponse est 4pi soit : 12,5663706

Posté par Atea Atea

Pour moi le problème est impossible ;
en effet dans la configuration donnée en exemple, le périmètre demandé est est de soit environ 12,566 mètres
Si les anneaux sont confondus ce périmètre est alors soit 6,283 mètres.
Toutes les valeurs intermédiaires sont possibles.

Posté par totti1000 totti1000

Salut Jamo,
je propose 12,566 mètres.

Posté par Chachou59 Chachou59

problème impossible!
(enfin, je pense)

Posté par ineedyou ineedyou

Alors là, bonne question !

Posté par paulo paulo

bonsoir , rapidement, (si je me trompe ca me donnera une excuse) , la longueur devra etre de : 12,566 m

en attendant la reponse , merci

Posté par Labo Labo

bonjour Jamo,
valeur exacte 4π m
valeur tronquée au millimètre 12,566 m

Posté par ptitjean ptitjean

Bonjour,

Une petite tentative, sans démo, mais au feeling.
Après l'avoir calculé pour 3 configurations particulières, j'obtiens à chaque fois un périmètre total de 4
Alors je conjecture rapidement, et je dis que le périmètre fait 4, soit 12,566m

Merci
Ptitjean

Si il y a une démonstration de cela, je suis curieux !!

Posté par jamo jamo

Clôture de l'énigme

La bonne réponse est effectivement 4, soit 12,566m avec une précision au millimètre.

Une petite utilisation du théorème angle au centre/angles inscrits permet de trouver aisément cette solution.

La réponse ne dépend pas du nombre de disques et de leur position, du moment que le point commun aux disques reste bien à l'intérieur de la surface.

Certains ont répondu que dans le cas où les disques étaient superposés, on ne trouvait plus la même réponse, donc qu'on ne pouvait pas résoudre cette énigme. En effet, si les disques sont superposés, on ne trouve pas ce résultat ... mais d'après ma figure, je n'ai pas l'impression qu'ils soient superposés !

Posté par castoriginal castoriginal

Bonsoir,

pour Jamo

il me semble que j'ai bien répondu 12,566 m

Je ne comprends pas pourquoi j'ai reçu un poisson

Merci de me répondre

A bientôt

Posté par jamo jamo

castoriginal >> j'avais demandé une précision au millimètre, et comme d'habitude pour les énigmes, donner la réponse sous la bonne forme (valeur exacte, avec la précision demandée) fait partie de l'évaluation ...