Poster vos exos de Khôlle en maths ?? :)

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Soit S la somme des 8 premiers termes, ceux qui n'ont qu'un chiffre au dénominateur.
Soit t l'un de ces 8 termes.
En faisant suivre son  unique chiffre au dénominateur par 0,2,3,4..9, on obtient un terme de la série ayant 2 chiffres au dénominateur. Il est inférieur à t/10. La somme des 9 termes issus de t est donc inférieure à 9t/10.
En appliquant cela aux 8 premiers termes de la série, on voit que la somme S' des termes ayant deux chiffres au dénominateur est inférieure à 9S/10.
De même on majore la somme S" des termes ayant 3 chiffres au dénominateur par 9S'/10.

Cela permet de majorer la suite des sommes partielles de la série proposée par la somme d'une série géométrique de raison 9/10, donc convergente; d'où la convergence de la série proposée.

La convergence de la série des 1/p en résulte mais cela reste à rédiger.

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c'est bon pour l'ensemble A, mais je dois avouer que j'ai pas trouvé ca très très clair. Enfin bon, je vois quand même ce que tu veux dire, on montre que la somme est inférieur a 80 avec ta méthode.
J'ai des doutes quand au fait que l'on puisse montrer la convergence de la série de terme général 1/ avec cette méthode, vu qu'elle ... diverge mouahaha, mais la c'est quand même plus dur a montrer

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1/20, 1/22,..1/29 sont inférieurs à (1/10)(1/2).
Leur somme est inférieure à (9/10)(1/2).
De même 1/30+1/32+..+1/39<(9/10)(1/3) etc.
Donc 1/20+1/22+..+1/99 < (9/10)(1/2+1/3+1/4+..+1/9)=(9/10)S en posant
S=1/2+1/3+...+1/9.
De même 1/200+1/202+..+1/999 <(9/10)(1/20+1/22+...+1/99)<(81/100)S et
1/2+1/3+..+1/999 < S(1+9/10+81/100)<S(1+9/10+81/100+..)=10S.
On majore de même par 10S toutes les sommes partielles de la série proposée.

Est-ce plus clair? As-tu une preuve basée sur un tout autre raisonnement?

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On a , et comme , les seules possibilités sont rg(f)=0 ou rg(f)=1