Challenge n°74:*:

Posté par puisea puisea

Bonjour, nouvelle énigme.

En jouant avec ses billes, P'tit Louis formes des triangles équilatéraux. Ainsi, il fait le plus petit triangle possible avec trois billes. Ensuite, il lui faut six billes pour faire un triangle juste un peu plus grand, puis 10, puis 15. Combien de billes lui faudra-t-il pour faire un triangle ayant 2005 billes de côté ?



Bonne chance à tous.
Clôture mardi.

Posté par isisstruiss isisstruiss

S'il a mis n billes sur le côté, il a dû utiliser en tout
n+(n-1)+(n-2)+...+3+2+1 billes, c'est à dire .

S'il a 2005 billes sur le côté, il y a clairement billes dans le triangle.

Isis

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Pour faire un triangle de 2 billes , il faut : 2+1 billes
Pour faire un triangle de 3 billes , il faut : 3+2+1 billes
Pour faire un triangle de 4 billes , il faut : 4+3+2+1 billes

etc..
Pour faire un triagle de 2005 billes , il faut : 2005+2004+...2+1 billes = 2005*1003
Soit 2 011 015 billes

Posté par instinct (invité)

On remarque vite que pour faire un triangle de côté n , il faut 1+2+3+4...+n billes soit n*(n+1)/2.
pour n=2005, cela donne 2005*2006/2 = 2005*1003 = 2 011 015 billes     Soit un gros gros sac ...!

Posté par ametist (invité)

C'est la somme de i de 1 à N, elle vaut n(n+1)/2
pour 4 : 4*5/2 = 10
pour 2005 : 2005*2006/2 = 2011015

Posté par manpower manpower

Le joueur de billes ne se prénommerait-il pas plutôt Pascal ?

Soit (U_n)_n la suite définie par U₁=1 et la relation de récurrence, U_n+1 = n+1 + U_n
U₂=2+U₁=2+1=3=
U₃=3+U₂=3+3=6=
U₄=4+U₃=4+6=10=
U₅=5+U₄=5+10=15=

On a donc U_n=
( ce qu'on montre aisément par récurrence, à l'aide de la relation de Pascal +=
soit, dans notre problème, += i.e. n+1 + U_n = U_n+1 )

Enfin, U₂₀₀₅== = .

Conclusion: P'tit Louis aura besoin de la bagatelle de billes !

NB: Plus simplement, il suffisait de calculer : ... mais bon, c'était histoire de varier un peu...

Posté par Lopez Lopez

il faut 2 011 015 billes pour faire un triangle ayant 2005 billes de côté

Posté par gilbert (invité)

Pour un triangle de 2005 billes de côté, il faudra à P'tit Louis la bagatelle de 2 011 015 billes !!!.
La question est ... : où va t'il bien pouvoir les trouver.???

Posté par Théo (invité)

Soit N : le nombre de billes nécessaire pour former un triangle équilatéral avec 2005 billes de côté.

N = billes

Posté par papou_28 (invité)

En fait si on généralise:
Soit n le nombre de billes formant un côté, il faudra alors :
1+2+3...+n billes pour faire ce triangle équilatéral ayant n billes de côtés.
Or 1+2+....+n = n*(n+1)/2
Vérification
pour n = 2  : il faut 3 billes
Pour n = 3 , il faut 6 billes
Pour n = 4 ; il faut 10 billes
Pour n= 5 il faut 15 billes

Ainsi pour n = 2005, on fait le calcul :
2005*(2005+1) / 2 = 2 011 015
Bilan : il faut 2 011 015 billes pour faire un triangle équilatéral de côté 2005 billes.

Posté par franz franz



Il faut donc billes à Ptit Louis

Posté par paysan77 (invité)

nombre de bille = somme de 1 juska 2005 = 2011015
car dans un triagnle de coté 4 il y a 1 + 2 + 3 + 4 bille soit 10 = 4 * 4+1/2
dc 2005*2006*2 = 2011015

Posté par PolytechMars (invité)

Bonjour a tous,
Considerons une suite arithmétique de premier terme et de raison 1.
On veut un triangle equilatéral de coté égal à 2005 billes d'où .
Il suffit alors de calculer :



Donc P'tit Louis aura besoin de 2011015 billes pour realiser ce triangle et j'espere qu'il aura du fromage en récompense.. Trop d'humour tue l'humour..lol

Bonnes mathématiques...

Miaouw

Posté par emoragik (invité)

soit la suite I1=1
              I2=2+I1
              I3=3+I2
              .....
              In=n+I(n-1)

on a donc I2005 = 2011015

Posté par pietro (invité)

réponse de Kid Paddle

Posté par DivXworld (invité)

2005*E((2005+1)/2)=2005*1003=2011015

il faudra donc 2 011 015 billes

Posté par philoux (invité)

Bonjour,

Réponse : 2 011 015 billes.

Un triangle_{de Pascal} de n lignes possède n(n+1)/2 billes; avec n=2005, le nombre de billes est ycelui.

Merci pour l'énigme.

Philoux

Question : comment font-on pour écrire en couleur ?

Posté par baribal (invité)

c'est la somme des entiers naturels de 1 a 2500
je sais pas combien ca fait mais le calcul c'est ca je pense

Posté par doc_78 doc_78

Bonjour,
Voici rapidement le calcul :
Triangle de 2 billes de côté : 2+1 billes
Triangle de 3 billes de côté : 3+2+1 billes
Etc, etc … Donc triangle de 2005 billes de côté : 2005+2004+2003+…+1
Soit la somme des 2005 premiers termes d'une suite arithmétique de raison 1,
soit (2005)x(2006) : 2
2011015 BILLES…

Posté par Jman4999 (invité)

J'ai trouvé que la réponse est 1+2+...+2005.Sauf que je n'arrive pas a faire le calcul.
Je suis parvenu a une fonction qui fait ce calcul mais je n'en suis pas sur, soit pour tout x superieur a 0,
f(x)=x(x/2+0.5)
Donc je pense que la réponse est 2.01102 x 10^6.

Posté par borneo borneo

2011015 billes

Posté par ericbfd (invité)

Il lui faut 2005*2006/2 = 2011015 billes pour faire un triangle ayant 2005 billes de côté.

Posté par laurrre laurrre

je dirais 4 022 028 mais sans grande conviction...

Posté par EmGiPy (invité)

Hello donc voila je poste ma réponse:

U₂=3
U₃=6=U₂+3=U₂+2+1
U₄=10=U₃+4=U₃+3+1=U₂+(3+2+1)+1
U₅=15=U₄+5=U₄+4+1=U₂+(4+3+2+1)+2
U₆=21=U₅+6=U₅+5+1=U₂+(5+4+3+2+1)+3
...

En connaissant (grace au livre pas encore traité) la formule de la somme des p premiers naturels non nuls:



d'où ma relation:



Donc pour conclure et répondre au problème, il faudra billes pour faire un triangle ayant 2005 billes de cotés!!

J'espère que le qui m'a été remis dans l'épreuve précedente me sera remis cette fois ci a nouveau!!!

++ EmGiPy ++

Posté par jacko78 (invité)

Bonjour, nouvelle réponse :
2005 en bas, 2004 au rang supérieur, 2003 encore au-dessus... jusqu'à 1 tout en haut :
TOTAL 2011015 billes

Posté par pinotte (invité)

Il aurait besoin de

(2006 x 2005)/2 billes, ce qui donne 2 011 015 billes!

C'est beaucoup! Hehe

Posté par lolux (invité)

La réponse est
      
    2011015

Posté par xWiBxRaYmAn0o7x (invité)

ma voici de retour apres une semaine de vacances au ski ...
j'ai malheuresement raté pas mal d'enigmes il faut vite que je me rattrape
combien de billes ?
je dirai 2005 + 2004 + ... + 2 + 1 = 2005*2006/2 = 2011015

Et voila : 2011015 Billes ... Ca fé pas mal kan meme

Posté par somarine (invité)

Bonjour,

Il lui faudra 2011015 billes.

C'est bon?

Posté par paltan (invité)

il lui faudra 2 011 015 billes.

Posté par manu_du_40 manu_du_40

Je pense qu'il faut faire la somme de tous les entiers compris entre 1 et 2005 parce que dans chaque ligne de billes du triangle, il ya une bille de moins que celle de la ligne précédente (en partant de la base du triangle) donc :

S=((1+2005)*2005)=2 011 015

Ptit Louis devra gagner 2 011 015 billes. Ben il peut jouer encore longtemps

Posté par supertagada (invité)

2011015

Posté par raulic (invité)

Si on envisage que le plus petit triangle est composé d'une boule, on a affaire à la somme d'une suite arithmétique de raison 1

Pour faire un triangle de 4 boules de cotés il faut 1+2+3+4 boules

Donc pour faire un trialgle de 2005 boules de coté il faut
1+2+3+4+...+2004+2005

donc la somme S=2005(1+2005)/2=2011015

Il faut donc 2 011 015 billes

Posté par justi (invité)

il y aura 6015 billes

Posté par kyrandia (invité)

Le nombre de billes est égal à la somme d'une suite arithmétique de raison 1, et n est égal au nombre de billes formant un côté.

soit Sn = n*(n+1)/2

avec n=2005 alors S=nombre de billes=2011015

Posté par laurent_clio (invité)

Il lui faudra: 2011015.

Posté par Ksilver Ksilver

on apelle Bn le nombre de bille necesaire a faire un triangle a n bille de coté.
pour augmenter de 1 le nb de bille de cote il faut rajouter une ranger doux :
pour tous n>0
B1=1
Bn+1 = Bn + n+1

on en deduis Bn= 1+2+3+4+5+....+n
Bn=(n+1)*n/2

B2005=2005*2006/2 = 2005*1003 = 2011015

voila avec un peu de chance ma fleme d'aller chercher une calculatrice ne me coutera pas l'enigme hein...

Posté par zineb (invité)

Pour résoudre l'énigme, on définit une suite (Un) telle que
U₁=2005
U_n+1= U_n-1

lorsqu'on fait un triangle avec des billes de n nombres de côtés, on construit la base du triangle avec n billes, puis la deuxième ligne avec (n-1) et ainsi de suite jusqu'à 1 bille.

Le nombre de billes utilisées pour construire un triangle équilatéral de 2005 billes de côté est donc la somme des 2005 premiers termes de la suite (Un) et donc

S=2005*2006/2
S=2011015

voilà ! en espérant que ce soit juste :p

Posté par MaMaDoU (invité)

Ma réponse pour l'enigme est

2011015

Posté par Severus (invité)

Le p'tit Louis aura besoin de billes.

Posté par mikemikemike (invité)

2005*2006/2 = 2011015 billes au total

Posté par puisea puisea

Merci à tous pour votre participation, la bonne réponse était 2 011 015.

@+

Posté par isisstruiss isisstruiss

mikemikemike aurait-il été oublié?

Isis

Posté par puisea puisea

oups en effet, merci Isis...