Nombres Complexes, Exprimer et determiner

Posté par macaco macaco

Voici un exercice sur lequel je bute à la question 2)b :

Soit z un nombre complexe non nul tel que z =x+iy et soit Z =(1-z)/z        ( x et y sont des réels )

1) Exprimer Re(z) et lm(Z) en fonction de x et y.

2) Déterminer et représenter :

a) L'ensemble (E) des points du plan complexe tels que Z soit réel.

b) L'ensemble (F) des points du plan complexe tels que Z soit imaginaire.

Posté par macaco macaco

Un peu d'aide SVP je vous serez très remercié

Posté par macaco macaco

Voici ce que j'ai trouvé pour les questions précedentes:

1)
Z =(1-z)/z

Z =(1-x - iy)/(x + iy)
Z =(1-x - iy)(x - iy)/[(x + iy)(x - iy)]
Z =(x-x² - ixy-iy+ixy-y²)/(x²+y²)
Z =(x-x² -iy-y²)/(x²+y²)
Z =(x-x²-y² -iy)/(x²+y²)

Re(Z) = (x-x²-y²)/(x²+y²)
Im(Z) = -y/(x²+y²)
-----

2)
a)
Il faut que Im(z) = 0 --> y = 0 mais le point (0;0) est exclu.
E est l'ensemble des points de l'axe réel à l'exception de l'origine du repère.
---
b) Re(Z) = (x-x²-y²)/(x²+y²) = 0
-->
x-x²-y² = 0 mais le point (0;0) est exclu. JE BLOQUE

Posté par Labo Labo

bonjour,
OK     pour tes réponses
avec z≠0
x-x²-y² = 0
x²-x+y² = 0
(x-0,5)²+y²=0,5²=0,25
cercle de centre (0,5;0) et de rayon 0,5 privé du point O

Posté par macaco macaco

OHH MERCI! Je vous suis tres remercié!

Posté par macaco macaco

Il faut que Im(z) = 0 --> y = 0 mais le point (0;0) est exclu.
E est l'ensemble des points de l'axe réel à l'exception de l'origine du repère.
---
ici je crois que je me suis trompé car:

Z=1/z - 1

Z sera réel si 1/z l'est z est un réel non nul mais lorsque z deviens plus grand,
1/z s'approche de 0 et pourtant 1/z - 1 s'approche de (-1), donc l'ensemble ça ne serait pas l'axe réel( des abscisses privé de 0 et pour la partie negative en s'approchant de -1 sans jamais le joindre?

Posté par macaco macaco

je m'excuse c'est Z=1-z/z je serais trés remercié si quelqu'un pourrait m'enlever cette doute

Posté par Labo Labo

-y=0
z doit être un réel  et le point 0 est exclu donc l'axe des réels privé de O

Posté par macaco macaco

Il faut que Im(z) = 0 --> y = 0 mais le point (0;0) est exclu.
donc ici je me suis trompé c'est -y=o et pas y=0 ?? Je doute

Posté par Labo Labo

le point O ,origine du repère a pour coordonnés (0;0) soit z=0 donc ne peut pas convenir il faut l'exclure

Posté par dana94 dana94

bonsoir a tous , j ai le meme exercice mais je suis pas du tout sur de mes reponses
pouvez vous m aider ? svp

1) Z =(1-z)/z

Z =(1-x - iy)/(x + iy)
Z =(1-x - iy)(x - iy)/[(x + iy)(x - iy)]
Z =(x-x² - ixy-iy+ixy-y²)/(x²+y²)
Z =(x-x² -iy-y²)/(x²+y²)
Z =(x-x²-y² -iy)/(x²+y²)

Re(Z) = (x-x²-y²)/(x²+y²)
Im(Z) = -y/(x²+y²)
-----

2)
a)
Il faut que Im(z) = 0 --> y = 0 mais le point (0;0) est exclu.
E est l'ensemble des points de l'axe réel à l'exception de l'origine du repère.
---
b) Re(Z) = (x-x²-y²)/(x²+y²) = 0
-->
x-x²-y² = 0 mais le point (0;0) est exclu.
x²+y²-x = 0
(x - (1/2))² + y² = 1/4
F est l'ensemble des points de cercle de centre (1/2 ; 0) et de rayon = 1/4 à l'exception du point origine du repère.

Posté par dana94 dana94

merci d avance

Posté par Labo Labo

Bonsoir dana94,

le cercle ne passe pas par O(0;0)( je n'avais pas vérifié...)

Posté par Labo Labo

OK pour tes réponses  à part la remarque ...

Posté par dana94 dana94

merci beacoup

alors je pourrais repondre quoi a la place ?
merci encore

Posté par Labo Labo

tu réponds cela
F est l'ensemble des points de cercle de centre (1/2 ; 0) et de rayon = 1/4

Posté par dana94 dana94

merci beaucoup

Posté par Labo Labo

ERREUR
rayon 1/2 c'est le carré 1/4
donc corrige le rayon le point O est suer ce cercle donc il faut l'exclure....

Posté par Labo Labo

il faut que tu corriges ....
R=1/2

Posté par dana94 dana94

donc :
F est l'ensemble des points de cercle de centre (1/2 ; 0) et de rayon = 1/2

Posté par Labo Labo

privé du point O(0,0) le cercle passe par ce point

Posté par dana94 dana94

a ok donc finalemant :
F est l'ensemble des points de cercle de centre (1/2 ; 0) et de rayon = 1/2 privé du point O(0,0) le cercle passe par ce point

merci encore

Posté par dana94 dana94

bonjour

j ai juste une autre petite question

pour le 2) est ce que on doit faire un graphique ?
car j ai vraiement aucune idee a comment le faire :S

Posté par Labo Labo

2) Déterminer et représenter :car j ai
tu ne sais pas tracer une droite et un cercle connaissant son centre et son rayon??

Posté par dana94 dana94

je crois j ai fais une erreur

2)Déterminer et représenter :

a) L'ensemble (E) des points du plan complexe tels que Z soit réel.

b) L'ensemble (F) des points du plan complexe tels que Z soit imaginaire.
moi j ai fais cela

2)
a)
Il faut que Im(z) = 0 --> y = 0 mais le point (0;0) est exclu.
E est l'ensemble des points de l'axe réel à l'exception de l'origine du repère.
---
b) Re(Z) = (x-x²-y²)/(x²+y²) = 0
-->
x-x²-y² = 0 mais le point (0;0) est exclu.
x²+y²-x = 0
(x - (1/2))² + y² = 1/4


ca doit pas etre


2)
a) Re(Z) = (x-x²-y²)/(x²+y²) = 0
-->
x-x²-y² = 0 mais le point (0;0) est exclu.
x²+y²-x = 0
(x - (1/2))² + y² = 1/4

F est l'ensemble des points de cercle de centre (1/2 ; 0) et de rayon = 1/2 privé du point O(0,0) le cercle passe par ce point

b)Il faut que Im(z) = 0 --> y = 0 mais le point (0;0) est exclu.
E est l'ensemble des points de l'axe réel à l'exception de l'origine du repère.?

Posté par dana94 dana94

il faut just prendre les coordonee de E et F

et puis faire le cercle du point F et de rayon 1/2?

Posté par dana94 dana94

je suis extrenement desoler

je me suis mal relu c bon pour le 2) a et b)

je sais faire un graphique

mias je trouve pas les coordonner de E et F

je said que F  est l'ensemble des points de cercle de centre (1/2 ; 0) et de rayon = 1/2

je suis vraiment desolee de vous deranger

Posté par Labo Labo

c'est écrit:
E est l'ensemble des points de l'axe réel à l'exception de l'origine du repère.
F  est l'ensemble :c'est le  cercle de centre (1/2 ; 0) et de rayon = 1/2

Posté par dana94 dana94

merci

desoler de vous avoir eu derange

Posté par Labo Labo

tu as obtenu ceci, n'oublie pas d'exclure le point O

Posté par dana94 dana94

oui

je met just en cercle non ?pour exclure le poin 0

Posté par Labo Labo

tu indiques que le point O n'appartient ni à E ni à F
tu l'écris sur le graphique

Posté par dana94 dana94

ok merci beaucoup !!!

Posté par john92 john92

Bonjour,
Ce topic m'a bien aidé à comprendre l'exercice, mais j'ai juste une petite question :
Je ne comprend pas comment vous passez de : x²+y²-x = 0 à (x - (1/2))² + y² = 1/4
D'avance merci de votre aide.

Posté par Labo Labo

Bonjour John 92

Posté par john92 john92

D'accord, j'ai compris ! Merci beaucoup !