Besoin d'une correction pour exercices sur l'induction

Posté par Guillaumel Guillaumel

Bonjour à tous, je viens de terminer mon devoir et j'aurais aimé avoir votre avis sur ce travail et une correction de mes exercices si possible. Je ne demande biensur pas de résultats mais des pistes

Question1: Factoriser les deux polynômes

A) x²+x-12

Ma réponse:
P(x)=x²+x-12
P(3)=0
donc
p(x)=p(x)-p(3)=(x²-3²) + (x-3)
=(x+3) (x-3) + 1(x-3)
=(x-3)(x+4)

Ma réponse:
B)6x²+11x-35

=961 donc deux solutions: -(7/2) et 5/3

Factorisation par x1 et x2
=(2x+7)(3x-5)

Question2: Démonstration par induction
pour n1 alors 3⁴ⁿ-1 est divisible par 80.

P(1)=80 et 80/80=1 donc vrai

p(k+1)=3^4(k+1)-1
=3⁴*3^4k-1
=81(3^4k-1)
=81-1(3^4k-1+1)
=80(3^4k-1)
on retrouve la même expression.

Question3: démonstration par induction
1+2³+3³+....n³=(n²((n+1)²)/4

J'ai l'impression qu'il n'est pas possible de démontrer cette relation par induction. En effet cela fonctionne pour 1 mais pas pour 2...

Je vous remercie d'avance cela m'aidera vraiment beaucoup

Posté par kybjm kybjm

Il faut rédiger correctement

Je te suggère pour la Question3 d'opérer ainsi: Pour n entier > 0 je pose S(n) = 1+2^3+....+n^3  et T(n) =[n(n+1)/2]^2
     Soit E l'ensemble des entiers n > 0 tels que S(n) = T(n)
    .1 est un émément de A car S(1) = 1 et T(1) = 1
    .Soit n un élément de E. On a S(n+1) = S(n) + (n+1)^3 don 4S(n+1) = n^2(n+1)^2 + 4(n+1)^3 =(n+1)^2(n^2+4n+1)
                                         =[(n+1)(n+2)]^2 ce qui prouve que n+1 est dans E
Le théorème de récurrence implique que E est l'ensemble des entiers > 0 tout entier

Posté par lolo271 lolo271

Il y a des fautes pour la divisilité par  80 à cause de parenthèses bizarre.

Posté par Guillaumel Guillaumel

Pourriez vous s'il vous plait m'indiquer les fautes dans l'exercice 2? Celui de la divisibilité par 80.

Je vais essayer la méthode de kybjn pour la question3. Est il possible qu'il n'y ai pas de démonstration à faire puisque la relation est fausse? En effet, pour
la question 3, pour n=1 cela fonctionne mais pas pour n=2.

Je vous remercie vraiment pour réponse si rapide, cela m'aide beaucoup.

Posté par Guillaumel Guillaumel

Pour l'exercice 3, comment passe-t-on de

n²(n+1)²+4(n+1)³

à

(n+1)²(n²+4n+1)

Merci

Posté par lolo271 lolo271

Pour celui avec  80:  après l'égalité avec  p(k+1) dès l'apparition du premier 81 ça va plus.

Posté par Guillaumel Guillaumel

Oh merci lolo271!
Est ce qu'il serait plus correct de dire que :

p(k+1)=3^4(k+1)-1

=3⁴+(3^4k)-1
=81(3^4k)-1


Autre question. Est ce que ma démarche permet vraiment de prouver la divisibilité par 80?
Encore merci

Posté par lolo271 lolo271

oui sauf que tu as écris un + au lie d'un x .
81(3^4k) -1 = 81( 3^4k -1) + 81 -1  permets de conclure.