prouver qu'une suite est décroissante et croissante

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prouver qu'une suite est décroissante et croissante

Posté le 28-09-09 à 06:36

Posté par manuel07

S'il vous plait j'ai du mal avec les suites et je ne sait pas vraiment démontrer aider moi sil vous plait.

(Un) et (Vn) définie sur N*
Un+1=(Un+2Vn)/3 et U1=12

Vn+1=(Un+3Vn)/4 et V1=1

Démontrer que (Un) est décroissante et (Vn) croissante
Je pense qu'il faut peut etre utilise la récurrence mais (un)et(vn) sont different de n=0

re : prouver qu'une suite est décroissante et croissante

Posté le 28-09-09 à 07:58

Posté par patrice rabiller

Bonjour,

Tu peux commencer par démontrer par récurrence que pour tout entier n>0, v_n<u_n.

Ensuite, tu pouras démontrer par récurrence que u_n+1<u_n puis que v_n+1>v_n.

re : prouver qu'une suite est décroissante et croissante

Posté le 28-09-09 à 10:02

Posté par manuel07

pourai-je avoir plus de détail s'il vous plait je ne voit pas la démonstration a faire merci

re : prouver qu'une suite est décroissante et croissante

Posté le 28-09-09 à 10:27

Posté par Atea

Bonjour,

patrice rabiller n'étant pas connecté, je me permets de prendre la suite

On commence par montrer par récurrence que pour tout n>0, $u_n>v_n$
- On a bien $u_1>v_1$
- On suppose que $u_n>v_n$
On a alors
$u_{n+1}-v_{n+1}=\frac{u_n+2v_n}{3}-\frac{u_n+3v_n}{4}$
$u_{n+1}-v_{n+1}=\frac{4u_n+8v_n-3u_n-9v_n}{12}$
$u_{n+1}-v_{n+1}=\frac{u_n-v_n}{12}$
Comme $u_n>v_n$ , $u_n-v_n>0$
Donc $u_{n+1}-v_{n+1}>0$
$u_{n+1}>v_{n+1}$

Montrons maintenant que $u_n$ est décroissante
$u_{n+1}-u_{n}=\frac{u_n+2v_n}{3}-u_n$
$u_{n+1}-u_{n}=\frac{2(v_n-u_n)}{3}$
$u_{n+1}-u_{n}<0$ car $u_n>v_n$

De même, en calculant $v_{n+1}-v_{n}$ on montre que $v_n$ est croissante

re : prouver qu'une suite est décroissante et croissante

Posté le 28-09-09 à 11:22

Posté par patrice rabiller

Merci Atea : c'est exactement ce que je voulais dire. J'étais en cours ...

re : prouver qu'une suite est décroissante et croissante

Posté le 28-09-09 à 11:40

Posté par Atea

Ravie d'avoir pu aider

(Même si à 1h près vous auriez répondu... Pour ma part il m'arrive de ne me connecter qu'une fois par jour, il est alors préférable que quelqu'un "s'immisce" dans les topics auxquels je réponds

)

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