Enigmo 137 : Un problème de brebis

Posté par Benwat Benwat

r = 58m 282mm

Preuve :

Pour la notation, se referer à la figure.

N.B. : Dans un premier temps on pose d comme une inconnue, afin d'étudier un cas général. Cependant, on poseras tout de même d0 et ]0;/2].

L'inconnue que nous cherchons à determiner est r.


On traduit la condition "la brebis puisse brouter exactement la moitié de la surface du parc carré" par l'équation E.

E r² + da = 2d²
     r² est la portion en rose.
     da est la portion en gris
     2d² est une moitié du carré d'aire (2d)²=4d²

Avec les formule de trigo, on a les égalités suivantes :

a = d / tan()
r = d / sin()

E ( d² / sin²() ) + ( d² / tan() ) - 2d² = 0
E ( 1 / sin²() ) + ( cos() / sin() ) - 2 = 0
E + cos()sin() - 2sin²() = 0

En posant : F() = + cos()sin() - 2sin²(), rechercher les solutions de E revient à determiner une racine de F. On peut penser que cette racine est unique dans l'intervalle ]0;/2].

   F est continue sur ]0;/2]
   F(1.03) 0    et    1.03 ]0;/2]
   F(1.04) 0    et    1.04 ]0;/2]

   Donc F() = 0 a une solution.
   F admet une racine. Cette racine est notée A.

On va pouvoir utiliser la méthode itérative de Newton qui donne une aproximation de A.
En prenant une valeur de départ ₀, proche de A, on peut determiner :
₁ = ₀ - ( F(₀) / F'(₀) )

puis :
₂ = ₁ - ( F(₁) / F'(₁) )

Ainsi de suite...

On obtient :

   lim    ( _n ) = A
ⁿ⁺


Pour avoir une assez grande précision rapidement on prendra ₀ = 1.035 (voire la preuve de l'existance de A).
Grace à un simple programme de calculette de lycéen, on peut determiner A 1.0311580966851 dès ₃ , après quoi la précision à 10^-13 de la dite calculette ne permet pas de faire une différence.

On vas donc pouvoir determiner r avec une formule de trigonométrie :

r = d / sin()     pour d = 50   et   = A


r = 58m 282mm

Posté par caylus caylus

Bonjour Jamo,

58,282 m par défaut sauf erreur de calcul.
Merci pour l'énigme.

Posté par harry2008 harry2008

50 metre

Posté par jamo jamo

Clôture de l'énigme

La bonne réponse, au millimètre près, est 58,282 m.

Pour la trouver, on doit passer par une équation qu'il faut résoudre de manière approchée.

Posté par Rudi Rudi

Bonjour



Ce n'est pas la bonne réponse...

Rudy

Posté par jamo jamo

Exact ... voilà, c'est corrigé !

Posté par dpi dpi

à jamo,
les règles sont les règles ,mais elles peuvent évoluer:
*j'ai répondu avec une erreur reprise dans la même nuit et sur un message consécutif et exact sans tricherie --->un +devrait donner 0
;je vais avoir un -1
*les participants aux énigmes difficiles devraient ne pas être pénalisés par rapport aux abstentionnistes

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

ben oui DPI, mais la règle énoncée par Jamo est claire : seule la première compte... à nous de faire attention.

Je compatis avec toi puisqu'il m'est arrivé la même mésaventure avec la précédente (alerte à la grippe)... et c'est encore plus rageant car j'ai simplement tapé sur plusieurs touches sans m'en rendre compte et j'ai posté trop vite ! dans les 10 minutes suivantes je tapais une justification (elle correcte) et m'apercevais avec horreur que je m'étais vautré en tapant ma première réponse !

Qui plus est, si je n'avais pas dérapé sur mon clavier, j'aurais remporté la première place du mois !

Mais bon... ce n'est qu'un jeu quand même et les règles sont claires.

Cordialement à tous

Alain

Posté par jamo jamo

Ce n'est qu'un jeu, il n'y a rien à gagner.

Pour avoir un point, il faut répondre correctement dès le 1er message.

Si on répond mal, on a un point en moins.

Voilà, ce sont les règles, et les changer n'apporterait pas grand chose.

Si une énigme est trop difficile, alors libre à chacun de ne pas jouer.