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Volume d'un cuboctaèdre


secondeVolume d'un cuboctaèdre

#msg2605594#msg2605594 Posté le 06-10-09 à 19:55
Posté par Profillandes7640 landes7640

bonjour j'ai un dm de maths à faire mais je suis bloquée.
Pourriez-vous m'aider??

j'ai un cube de départ d'arête 8 cm puis en prenant les milieux et en reliant ces points ont obtient un cuboctaèdre qui mesure 42

Volume d'un cuboctaèdre

on peut observer que le cuboctaèdre peut être défini comme un cube auquel on aurait retiré en ses sommets le meme tétraèdre trirectangle.

La question est :  Calculer le volume W du cuboctaèdre.


Je suis vraiment bloquée, j'ai cherché sous toute les formes et je ne vois a par en calculant le volume du cube qui est égal à 512 cm3 puis en calculant le volume d'un tétraèdre trirectangle (que je cherche) multiplié par 8 (8 tétraèdres) et les enlevés du volume du cube.
C'est a mon avis comme ça qu'il faut faire mais je n'arrive pas à calculer le volume d'un tétraèdre...


Aidez-moi s'il vous plait j'ai vraiment besoin de le réussir.

Edit Coll : image placée sur le serveur de l' Merci d'en faire autant la prochaine fois !     
re : Volume d'un cuboctaèdre #msg2606045#msg2606045 Posté le 06-10-09 à 21:53
Posté par ProfilPriam Priam

Dessine le cube et coupe la région de l'un de ses sommets, comme il est dit dans l'énoncé, pour faire

apparaître l'un des 8 tétraèdres.

Tu calculeras facilement son volume si tu prends pour base non pas sa face délimitée par un triangle

équilatéral, mais l'une de ses autres faces contenues dans les plans des faces du cube.
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re : Volume d'un cuboctaèdre #msg2606147#msg2606147 Posté le 06-10-09 à 22:14
Posté par Profilgeo3 geo3

Bonsoir
Un tétraédre a pour base un triangle équilatéral de côté 42 et de hauteur  26 dont l'aire A = 42.26/2 = 83
et les 3 autres arètes ont pour longueur 4
La hauteur du tétraèdre est un côté de l'angle droit d'un triangle rectangle d'hypothénuse de longueur 4 et l'autre côté de l'angle droit a pour longueur 2.26/3 = 46/3  ( les 2/3 de la hauteur = les 2/3 de la médiane) =>
hauteur du tétraèdre = (4²-16.6/9) = 4/3
=>
Volume d'un tétraèdre = 83.4/3/3 = 32/3
=>
W = 512 - 8.32/3 = 512-256/3 = (1536-256)/3 = 1280/3  ( 5.2.(42)3/3 voir google)
A++
re : Volume d'un cuboctaèdre #msg2606191#msg2606191 Posté le 06-10-09 à 22:27
Posté par Profilgeo3 geo3

Re
En effet Priam
pour calculer le volume d'un tétraèdre il est bien péférable de prendre pour base le triangle rectangle de côtés de l'angle droit ( quel idiot je suis ; j'ai bêtement suivi l'idée de landes7640) 4 et 4 dont l'aire = 8 et la hauteur = 4  =>
=>
volume d'un tétraèdre  = 8*4/3 = 32/4
A+
re : Volume d'un cuboctaèdre #msg2606200#msg2606200 Posté le 06-10-09 à 22:31
Posté par Profilgeo3 geo3

je voulais dire volume = 32/3
remerciement#msg2608555#msg2608555 Posté le 07-10-09 à 19:32
Posté par Profillandes7640 landes7640

merci beaucoup pour votre réponse rapide!

Merci beaucoup à toi geo3 tu m'a vraiment bien aidée!
j'ai encore un peu de mal à comprendre comment tu as fais mais merci beaucoup !!!

juste une petite présision:

La hauteur du tétraèdre est un côté de l'angle droit d'un triangle rectangle d'hypothénuse de longueur 4 et l'autre côté de l'angle droit a pour longueur 2.26/3 = 46/3  ( les 2/3 de la hauteur = les 2/3 de la médiane) =>
hauteur du tétraèdre = (4²-16.6/9) = 4/3


je ne comprend pas cette partie ?? pourrais tu me la détaillé (si c'est possible)


merci encore !!
re : Volume d'un cuboctaèdre #msg2608737#msg2608737 Posté le 07-10-09 à 20:16
Posté par ProfilPriam Priam

Si on prend comme base du tétraèdre l'une de ses faces en forme de triangle rectangle isocèle, les côtés de l'angle droit d'un tel triangle ont pour longueur 4. Son aire vaut donc 4x4/2,
La hauteur du tétraèdre par rapport à cette base est un côté semblable d'une autre de ces trois faces; elle a également pour longueur 4.
Le volume du tétraèdre est donc égal à 1/3*(4*4/2)*4 = 32/3.
???#msg2608769#msg2608769 Posté le 07-10-09 à 20:25
Posté par Profillandes7640 landes7640

juste question pour toi geo3:

l'aire A = 42.26/2 = 83



ce n'est pas plutot 83/2 ???
???#msg2608811#msg2608811 Posté le 07-10-09 à 20:35
Posté par Profillandes7640 landes7640

une dernière question:

je comprend pas le volume W,  
W = 512 - 8.32/3 = 512-256/3 = (1536-256)/3 = 1280/3

d'ou viens le (1536-256)?????
priam#msg2608843#msg2608843 Posté le 07-10-09 à 20:43
Posté par Profillandes7640 landes7640

merci Priam pour ta réponse c'est comme cela que j'avais fait au début mais normalement un tétraèdre n'a-t-il pas comme base un triangle équilatéral ??
re : Volume d'un cuboctaèdre #msg2609092#msg2609092 Posté le 07-10-09 à 21:39
Posté par ProfilPriam Priam

Pas forcément.
D'une manière générale, un tétraèdre est un solide à 4 faces planes, qui sont en forme de triangles.
Dans le cas présent, il s'agit d'un tétraèdre trirectangle.
re : Volume d'un cuboctaèdre #msg2609130#msg2609130 Posté le 07-10-09 à 21:47
Posté par Profilgeo3 geo3

Bonsoir
Suit la méthode de Priam c'est bien plus simple
sinon
1)un tétraèdre n'a pas nécessairement pour base un triangle équilatéral et si tu prends une autre face comme base de ce tétraèdre on a un triangle rectangle isocèle ( de côté 4) comme base et la hauteur de ce tétraèdre est 4 ( comme Priam a dit)
*
2)
Si on prend comme base de ce tétraèdre le triangle équilatéral de côté 42 : une hauteur de ce triangle a bien pour longueur 26 et l'aire de ce triangle est bien 83
*
3)
Si alors on projette le sommet sur la base (de ce triangle équilatéral) on obtient le centre de gravité du triangle équilatéral qui se trouve au 2/3 de la médiane ( qui aussi hauteur)
*
4)En prenant comme volume d'un tétraèdre = 32/3 ; 8 tétraèdres = 8.32/3 = 256/3
et
W = 512 - 256/3
A+
re-geo3#msg2609531#msg2609531 Posté le 08-10-09 à 09:34
Posté par Profillandes7640 landes7640

merci encore pour vos réponses !

mais je ne comprend pas si je fais 512-256/3 cela me fait 256/3
mais d'ou viens le 1536 ???
c'est juste le point ou je n'ais pas compris.
re : Volume d'un cuboctaèdre #msg2609553#msg2609553 Posté le 08-10-09 à 10:06
Posté par Profilgeo3 geo3

Re
Allons  512-256/3 signifie 512 - (256/3) = (1536 - 256)/3 en réduisant 512 au même dénominateur  3
et 1526 - 256 = 1280
tandis que toi tu as pris 512 - 256/3 pour (512 - 256)/3 qui n'est pas la même chose ; il faut faire attention aux parenthèses.
A+
re : Volume d'un cuboctaèdre #msg2609555#msg2609555 Posté le 08-10-09 à 10:07
Posté par Profilgeo3 geo3

Re
c'est plustôt 1536  ( 512*3) au lieu de 1526
A+
regeo3#msg2615119#msg2615119 Posté le 10-10-09 à 17:20
Posté par Profillandes7640 landes7640

ah d'accord merci beaucoup!

J'ai rendu mon devoir hier nous verrons bien le résultat !

Merci encore !
re : Volume d'un cuboctaèdre #msg2658896#msg2658896 Posté le 28-10-09 à 17:24
Posté par Profiltitoupopo titoupopo

Audrey je t'ai reconnu xD  mdrrrr
petite précision : c'est pauline !!!

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