Proportionnalité

Posté par sosofe sosofe

Voici un problème soumis par notre prof de Maths. Je trouve la réponse mais je ne sais pas comment présenter la rédaction de cette réponse sur ma copie car j'ai plutôt agi par tâtonnement.

A la fin de la journée, une boulangère compte sa recette. Elle a 370 euros en billets de 5 euros, 10 euros et 20 euros. Les nombres de billets de chaque sorte sont trois nombres consécutifs. Combien y-a-t-il de billets de chaque sorte?

Réponse : 12 billets de 5 euros
11 billets de 10 euros
10 billets de 20 euros

Je vous remercie d'avance pour votre réponse

Posté par Aurelien_ Aurelien_

Bonjour,

On pose
x = le nombre de billets de 5
y = le nombre de billets de 10
z = le nombre de billets de 20
On sait que 5x+10y+20z=370

Il y a 6 cas à étudier

Premier cas : x<y<z donc y=x+1 et z=x+2
5x+10y+20z=370
5x+10x+10+20x+40=370
35x=320
x=320/35 non entier

Deuxième cas : x<z<y donc z=x+1 et y=x+2
5x+10y+20z=370
5x+10x+20+20x+20=370
35x=330
x=330/35 non entier

Troisième cas y<x<z donc x=y+1 et z=y+2
5y+5+10y+20y+40=370
35y=325
y=325/35 non entier

4e cas y<z<x donc z=y+1 et x=y+2
5y+10+10y+20y+20=370
35y=340
y=340/35 non entier

5e cas z<x<y donc x=z+1 et y=z+2
5z+5+10z+20+20z=370
35z=355
z=355/35 non entier

6e cas z<y<x donc y=z+1 et x=z+2
5z+10+10z+10+20z=370
35z=350
z=10
donc y=11 et x=12

Voilà ton problème démontré rigoureusement !

Posté par lolo271 lolo271

Autre manière : tu trouves par tâtonnement ce que tu as trouvé . Maintenant  5x + 10(x+1) + 20(x+2) = 370  n'a clairement qu'une seule solution (la fonction de x  à gauche est strictement croissante) donc ta solution tâtonnée est la seule !

Posté par plumemeteore plumemeteore

Bonjour.
Il faut ôter deux billets d'une sorte et un billet d'une deuxième sorte pour que la somme restante soit divisible par 35 (20+10+5 = 35).
La somme maximum qu'on puisse ôter est 20*2 10*1 = 50.
La somme minimum qu'on puisse ôter est 5*2 + 10*1 = 20.
La somme restante est un nombre divisible par 35 comprise entre 370-50 inclus et 370-20 inclus. Seule possibilité : 350.
350 est justement le maximum après qu'on a retiré deux billets de 5 et un billet de 10.
350 est composé de 10 billets de 5, de 10 billets de 10 et de 10 billets de 20.
370 est composé de 12 billets de 5, de 11 billets de 10 et de 10 billets de 20.

Posté par esta-fette esta-fette

bonsoir, voici une façon style école primaire d'antan..


on commence par trouver le plus petit des trois nombres.

on met les billets en 3 liasses.

liasse 1: (une série de 20+10+5)=35 * nombre de paquets.
liasse 2 un billet de
liasse 3: 2 billets de ?

370= 10 *35 + 20 donc il y a déja 350 €

il faut trouver 20 € en 3 billets soit 1 de 10 et 2 de 5 .
donc 10 bilets de 20; 11 de 10 et 12 de 5....


aurait-on pu avec 1 de moins dans la 1ère liasse?
9 paquets de 35 €, il reste 55€, c'est impossible....