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Exercice aire maximale d'un triangle


premièreExercice aire maximale d'un triangle

#msg2655602#msg2655602 Posté le 27-10-09 à 16:58
Posté par Profilolorin olorin

Bonjour,
Pour après les vacances notre prof de math nous a donné un exercice dont l'énoncé est le suivant :

Citation :
On considère un point M sur [AB]. Les triangles AMP et BMQ sont équilatéraux.
On pose AB=5 et AM=x
1)Déterminer la position de M pour laquelle l'aire de PQM est maximale
2)Déterminer la position de M pour laquelle l'aire du quadrilatère ABQP est minimale.


La figure qui va avec cet exercice est jointe.
J'ai beau chercher je ne vois pas de moyen de calculer l'aire sans avoir les hauteur des triangles.

Merci d'avance pour votre aide.

Exercice aire maximale d'un triangle
re : Exercice aire maximale d'un triangle#msg2655635#msg2655635 Posté le 27-10-09 à 17:04
Posté par ProfilLeeloo Leeloo

Une piste : MQ=MB=5-x et PM=MA=x
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re : Exercice aire maximale d'un triangle#msg2655670#msg2655670 Posté le 27-10-09 à 17:13
Posté par Profilabdel01 abdel01

bonjour

le sujet est dejà traité dans ce forum

cliques sur cette page ------->
re : Exercice aire maximale d'un triangle#msg2655685#msg2655685 Posté le 27-10-09 à 17:18
Posté par Profilfrenicle frenicle

Bonjour

Une piste en image. Comme PM est parallèle à QB, QH = MH' :

Exercice aire maximale d'un triangle
re : Exercice aire maximale d'un triangle#msg2655733#msg2655733 Posté le 27-10-09 à 17:37
Posté par Profilolorin olorin

Merci je vais suivre sur l'autre topic que je n'avais pas vu ^^

MODERATEUR: Vous pouvez archiver ce topic
re : Exercice aire maximale d'un triangle#msg2655739#msg2655739 Posté le 27-10-09 à 17:39
Posté par Profilabdel01 abdel01

ou alors

dans le tiangle PHM rectangle en H:

l angle MPH = 30°

cos(MPH)= PH/x

3/2 = PH/x

6$ PH =\frac{\sqrt{3}}{2}x

d ou aire du triangle MPQ

6$A(x) = \frac{\sqrt{3}}{4}x(5-x)

sauf erreur bien sûr !

Exercice aire maximale d'un triangle
re : Exercice aire maximale d'un triangle#msg2655896#msg2655896 Posté le 27-10-09 à 18:23
Posté par Profilolorin olorin

Ta figure n'est pas bonne il faut que H soit sur AM pour que l'angle HPM soit égal à 30° car APM est équilatéral ...
re : Exercice aire maximale d'un triangle#msg2655911#msg2655911 Posté le 27-10-09 à 18:26
Posté par Profilabdel01 abdel01

comment ca?

angle PMH = 60°
angle MHP = 90°
angle HPM = ????
re : Exercice aire maximale d'un triangle#msg2655941#msg2655941 Posté le 27-10-09 à 18:35
Posté par Profilolorin olorin

Je l'avais pas vu comme ça j'étais parti sur l'explication de l'autre topic a ce sujet ^^
Ton expression de l'aire est bonne mais je n'ai pas de polynôme du second degré donc je peux pas savoir la valeur de x pour laquelle l'aire est maximale ...
re : Exercice aire maximale d'un triangle#msg2656015#msg2656015 Posté le 27-10-09 à 18:53
Posté par Profilabdel01 abdel01

eh bin! ce n est pas un polynome du second degré?

6$A(x) = \frac{\sqrt{3}}{4}x(5-x) = -\frac{\sqrt{3}}{4}x^2+\frac{5\sqrt{3}}{4}x
 \\

Maintenant je ne sais pas qu'elle methode que vous utilisez pour determiner le max.
la dérivée ou forme canonique?

As tu suivi les calculs de l autre topic? ca donne la meme chose?
re : Exercice aire maximale d'un triangle#msg2656304#msg2656304 Posté le 27-10-09 à 20:09
Posté par Profilolorin olorin

Avec l'autre méthode je trouve ça :

10$\frac{5\sqrt{3}}{4}-\frac{\sqrt{3}*x^2}{8}-\frac{(5-x)^2^\sqrt{3}}{8}


Au fait tu le sors d'ou que:

$10cos(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}
re : Exercice aire maximale d'un triangle#msg2656312#msg2656312 Posté le 27-10-09 à 20:13
Posté par Profilabdel01 abdel01

cos(30°) = ?????
re : Exercice aire maximale d'un triangle#msg2656320#msg2656320 Posté le 27-10-09 à 20:17
Posté par Profilabdel01 abdel01

j ai tout expliquer dans mon post de 17h39
re : Exercice aire maximale d'un triangle#msg2656348#msg2656348 Posté le 27-10-09 à 20:32
Posté par Profilabdel01 abdel01

si tu n es pas convaincu, reprenons les calculs avec le dessin posté par frenicle à 17:18

calcul de MH' (pythagore)

6$ MH'^2 + [\frac{(5-x)}{2}]^2 = (5-x)^2

6$ MH'^2 = (5-x)^2-[\frac{(5-x)}{2}]^2

6$ MH'^2 = (5-x)^2-\frac{(5-x)^2}{4}

6$ MH'^2 = \frac{3(5-x)^2}{4}

6$ MH' = \frac{\sqrt{3}}{2}(5-x)=HQ

aire du triangle bleu:

A(x) = (hauteur x base)/2   , ici la base = x

d'ou    
        6$\blue A(x) = \frac{\sqrt{3}}{4}x(5-x)

tu vois quand meme que l autre methode est plus rapide
re : Exercice aire maximale d'un triangle#msg2656372#msg2656372 Posté le 27-10-09 à 20:38
Posté par Profilolorin olorin

Je veux savoir pourquoi :

10$ cos(MPH)=\frac{\sqrt{3}}{2}

J'ai jamais rien appris qui me dise ca ...
re : Exercice aire maximale d'un triangle#msg2656385#msg2656385 Posté le 27-10-09 à 20:42
Posté par Profilabdel01 abdel01

Eh bin desolé mais c'est à savoir!

cos(30°)= cos(/6) = 3/2  non??????????
re : Exercice aire maximale d'un triangle#msg2656394#msg2656394 Posté le 27-10-09 à 20:43
Posté par Profilabdel01 abdel01

Vous n avez pas vu la trigonometrie? les angles particuliers à savoir?
re : Exercice aire maximale d'un triangle#msg2656395#msg2656395 Posté le 27-10-09 à 20:44
Posté par Profilolorin olorin

On voit ça en quelle classe ca ne me dit rien
re : Exercice aire maximale d'un triangle#msg2656411#msg2656411 Posté le 27-10-09 à 20:49
Posté par Profilabdel01 abdel01

En premiere mais peut etre vous ne l avez pas encore vu. Si tu regardes sur ton livre le chapitre sur la trigonometrie tu dois avoir un tableau avec differents angles ainsi que leurs sinus et cosinus.

Mais si tu ne l as pas encore vu, tu utilises Pythagore comme je viens de faire dans le post du 20h32 en reprenant la figure posté par frenicle à 17:18, c'est aussi bien et clair!
re : Exercice aire maximale d'un triangle#msg2656436#msg2656436 Posté le 27-10-09 à 21:02
Posté par Profilolorin olorin

Il n'y a pas un moyen de trouver la même chose sans recourir au point H' parce que même si j'ai compris je m'emmêle avec ton point H et ca me perturbe ...


Je sais je suis chiant
re : Exercice aire maximale d'un triangle#msg2656473#msg2656473 Posté le 27-10-09 à 21:13
Posté par Profilabdel01 abdel01

fais un effort

je t'ai fais 2 methodes. Je vais pas en rajouter d'autres plus compliquées! Je ne vois pas en quoi les points H et H' te perturbent !
re : Exercice aire maximale d'un triangle#msg2656480#msg2656480 Posté le 27-10-09 à 21:16
Posté par Profilabdel01 abdel01

H c'est le pied de la hauteur de ton triangle. Tu ne peux pas calculer la hauteur QH directement sauf à remarquer qu'elle est egale à MH'
re : Exercice aire maximale d'un triangle#msg2656523#msg2656523 Posté le 27-10-09 à 21:29
Posté par Profilolorin olorin

Merci de ton aide Abdel01, je vais me débrouiller avec ça ca m'a déjà bien avancé dans mon exercice ^^
re : Exercice aire maximale d'un triangle#msg2656542#msg2656542 Posté le 27-10-09 à 21:36
Posté par Profilolorin olorin

Pour la question 2) on suit le même raisonement je suppose ?
re : Exercice aire maximale d'un triangle#msg2656577#msg2656577 Posté le 27-10-09 à 21:45
Posté par Profilabdel01 abdel01

mais tu n as pas fini deja la premiere !

Pour quelle(s) valeur(s) de x l'aire du triangle est maximale?

je t ai posé la question tout à l heure tu ne m as pas repondu!

comment vous faites en classe pour determiner le maximum d'une fonction, en utilisant la forme canonique ou les dérivées?

je rappelle :     6$\blue A_{PQM}(x) =\frac{\sqrt{3}}{4}x(5-x) = -\frac{\sqrt{3}}{4}x^2+\frac{5\sqrt{3}}{4}x
re : Exercice aire maximale d'un triangle#msg2656580#msg2656580 Posté le 27-10-09 à 21:47
Posté par Profilabdel01 abdel01

pour la 2eme, tu calcule les aires des autres triangle et tu fais la somme des 3 aires
re : Exercice aire maximale d'un triangle#msg2656594#msg2656594 Posté le 27-10-09 à 21:51
Posté par Profilolorin olorin

On utilise la forme canonique, on a pas encore vu les dérivées de fonctions...
re : Exercice aire maximale d'un triangle#msg2656676#msg2656676 Posté le 27-10-09 à 22:14
Posté par Profilabdel01 abdel01

donc on a:  

6$\blue A_{PQM}(x) =\frac{\sqrt{3}}{4}x(5-x) = -\frac{\sqrt{3}}{4}x^2+\frac{5\sqrt{3}}{4}x= -\frac{\sqrt{3}}{4}[x^2-5x]

6$ = -\frac{\sqrt{3}}{4}[x^2-5x+(\frac{5}{2})^2-(\frac{5}{2})^2]        j'ai ajouter et retranché (5/2)^2, donc operation neutre, de facon à avoir une identité remarquable

6$ = -\frac{\sqrt{3}}{4}[(x-\frac{5}{2})^2-(\frac{5}{2})^2]

6$ = -\frac{\sqrt{3}}{4}(x-\frac{5}{2})^2+\frac{\sqrt{3}}{4}\times (\frac{5}{2})^2

6$ = -\frac{\sqrt{3}}{4}(x-\frac{5}{2})^2+\frac{25\sqrt{3}}{16}

l aire est donc maximale pour 6$x=\frac{5}{2} et elle (l'aire) est egale à 6$\frac{25\sqrt{3}}{16}
re : Exercice aire maximale d'un triangle#msg2657182#msg2657182 Posté le 28-10-09 à 10:34
Posté par Profilolorin olorin

Ok Merçi tes calculs sont parfaits, ce sont exactement les bons résulats, j'ai vérifié en faisant varier le point M sur geogebra et je retombe sur tes valeurs ^^
re : Exercice aire maximale d'un triangle#msg2657520#msg2657520 Posté le 28-10-09 à 11:45
Posté par Profilabdel01 abdel01

ok tant mieux. Bon courage
re : Exercice aire maximale d'un triangle#msg2665016#msg2665016 Posté le 30-10-09 à 15:21
Posté par Profilolorin olorin

Abdel01 désolé de te déranger encore mais les droites (PM) et (QB) sont parallèles parce que 10$\widehat{AMP} et \widehat{MBQ} sont égaux (angles alternes-internes) ????
re : Exercice aire maximale d'un triangle#msg2665190#msg2665190 Posté le 30-10-09 à 15:44
Posté par Profilabdel01 abdel01

oui c'est ca.

la droite sécante (AB) fait le meme angle avec (PM) et (QB) donc elles sont //
re : Exercice aire maximale d'un triangle#msg2665746#msg2665746 Posté le 30-10-09 à 16:50
Posté par Profilolorin olorin

Merci j'étais pas sur, j'ai jamais été à l'aise avec les angles alternes internes et tout ça ^^


Dans un autre exercice j'ai quelque chose qui me tracasse j'ai ce système d'équation à résoudre :


5$ x^2+y^2-4=0
 \\ y=mx-4m

Je trouve 5$ x^2+m^2x^2-8m^2x+16m^2-4=0 et dans l'exercice on me dit que je dois trouver 5$ x^2+m^2x^2\fbox{+}8m^2x+16m^2-4=0 tu pourrais m'éclairer sur où je me suis planté dans mon développement ?
re : Exercice aire maximale d'un triangle#msg2665836#msg2665836 Posté le 30-10-09 à 17:04
Posté par Profilabdel01 abdel01

normalement tu devrais faire un autre topic pour cet exo. Ca facilite la tache aux moderateur pour classer les sujets. Tu veux bien creer un autre en faisant copier coller. Je te rejoins. ok
re : Exercice aire maximale d'un triangle#msg2665859#msg2665859 Posté le 30-10-09 à 17:07
Posté par Profilolorin olorin

C'est juste sur ce point que je bloque, il faut absolument créer un autre topic ?
re : Exercice aire maximale d'un triangle#msg2665879#msg2665879 Posté le 30-10-09 à 17:11
Posté par Profilabdel01 abdel01

je ne vois pas d erreur ds ton developpement.  à moins que ce soit y = mx+4m?
re : Exercice aire maximale d'un triangle#msg2665914#msg2665914 Posté le 30-10-09 à 17:19
Posté par Profilolorin olorin

C'est l'équation d'une droite passant par un point A(4;0)

y=mx+p
0=4m+p
p=-4m


Je ne vois pas ce qu'il y a de faux la dedans.

Ensuite on demande de trouver les valeurs de x pour lesquelles la droite coupe le cercle C d'équation x²+y²-4=0
re : Exercice aire maximale d'un triangle#msg2665921#msg2665921 Posté le 30-10-09 à 17:20
Posté par Profilolorin olorin

D'où le petit système d'équation et le développement qui me cause tant de problème.
re : Exercice aire maximale d'un triangle#msg2665972#msg2665972 Posté le 30-10-09 à 17:28
Posté par Profilolorin olorin

http://www.ilemaths.net/forum-sujet-309966.html

J'ai créé un topic parce que je sens qu'on va polémiquer pendant un petit bout de temps ^^

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