L aquarium

Posté par J-P J-P

Pierre a acheté un aquarium pour y mettre ses poissons tropicaux.

L'aquarium est parallélépipédique, sa hauteur (intérieure) est de 40 cm.
Pierre pose l'aquarium sur une table horizontale et remplit l'aquarium au 2/3.

Il fait ensuite pivoter l'aquarium autour d'une de ses arêtes de base et il constate qu'il peut amener la base de l'aquarium à faire un angle de 15° au maximum avec la table sans renverser de l'eau.
Il repose la base de l'aquarium sur la table et ensuite, il le fait pivoter autour d'une autre de ses arêtes de base et il constate que cette fois, il peut amener la base de l'aquarium à faire un angle de 30° au maximum avec la table sans renverser de l'eau.

Quelle est, arrondi au litre le plus proche, la capacité totale de l'aquarium de Pierre ?
-----
Bonne chance à tous.

Clôture de l'énigme mercredi.

Posté par combs77 (invité)

Bonjour
La capacité de l'aquarium et de 34 litres

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Je suppose que le niveau de l'eau reste au niveau des parois, et non de la base de l'aquarium dans les deux cas .
Et je vérifierai cette hypothèse ensuite.
Soit L et l les dimensions de la base. On lève moins haut losqu'on pivote autour de la largeur.
Le volume non occupé est égal à :
l²*tan(30°)*L/2 = L²*tan(15°)*l/2 = 40*L*l/3
En divisant par L*l , on obtient:
L = 80/(3*tan(15°)
l = 80/(3*tan(30°)
Je constate que l*tan(30°)= L*tan(15°) = 80/3 < 40 .. donc le niveau de l'eau s'arrête bien aux parois et le volume non occupé est bien un prisme à base triangulaire.
La voume total est donc de :
Vt = L*l*40 = 80²*40/(9*tan(15°)*(tan30°)183868 cm³184 litres

Posté par isisstruiss isisstruiss

Comme plus de la moitié du volume de l'aquarium est occupé, les 4 coins de la base de l'aquarium sont toujours immergés. En appelant les côtés inconnus a et b on a

- en penchant sur l'axe b:
donc

- en penchant sur l'axe a:
donc

Finalement

Un aquarium de 184 litres est quand même pas mal. J'espère qu'il n'y aura pas trop de poissons!

Isis

Posté par laviegeniale (invité)

challenge en cours

Posté par manpower manpower

Les deux expériences de Pierre sont identiques et permettent de déterminer la longueur puis la largeur de l'aquarium.
On retrouve l'angle entre l'aquarium et la table dans le petit triangle rectangle (voir figure ci-dessous).
Par ailleurs l'aquarium est rempli aux deux-tiers donc, dans ce même triangle, le côté opposé à l'angle marqué vaut .
Ainsi, en utilisant la tangente, il vient: tan 15° =    soit   =
De même, =

Reste à calculer le volume total V de l'aquarium :
V =
Or , d'où finalement V

Je ne sais pas pour les poissons tropicaux, mais pour nous heureusement que cet aquarium était parallélépipédique
et non sphérique ou autre (et encore moins en forme de bouteille de Klein )

Posté par Lopez Lopez

voilà les dimensions que j'ai trouvées
h = 40 cm (ce n'est pas une découverte )
L = = 99,52
l = = 46,18

Volume total = 184 litres (arrondi au litre)

Posté par raulic (invité)

Soit c la hauteur du parallépipède
Soit L une longueur du parallépipède
Soit l une longueur du parallépipède
Soit h la hauteur de liquide dans l'aquarium.
On note a l'angle d'inclinaison de l'aquarium.

Dans le rectangle de longueurs x et h, la médiatriceissu de la longueur x coupe le niveau de l'eau a la hauteur h : conservation du volume dans l'aquarium.

On a tan a = (c-h)/(x/2)
or h=2/3*c
donc tan a = 2c/3x

Si x = L on a tan 15=2c/3L
Si x = l on a tan 30=2c/2l

c*l*L=c*2c/3tan15*2c/3tan30=4c³/(9*tan15*tan30)=183,867L

Donc le volume contenue dans l'aquarium est d'environ 184 L

Matthieu

Posté par paltan (invité)

Bonsoir!
J'ai trouvé que la capacité totale de l'aquarium de Pierre est d'environ 184 litres.

Posté par Severus (invité)

Le volume V d'eau dans le bac est constant. Comme l'aquarium est rempli au 2/3, lorsqu'on l'incline sans faire déborder l'eau, le fond est toujours totalement immergé.
Appelons A et B les dimensions (intérieures) des 2 côtés et H sa profondeur.
Incliné sur le côté B, nous avons (H₁ est la hauteur emmergée)

Incliné sur le côté A, nous avons

Donc

Ce que l'énigme ne dit pas, c'est le nombre d'arrêtes du poisson

Severus

Posté par franz franz

Comme les de l'aquarium sont remplis, le niveau de l'eau "dépasse" la diagonale (qui correspond à la moitié de la capacitédu réservoir).

L'aire du triangle blanc vaut celle du rectangle blanc.
On a donc




Les deux autres dimensions de l'aquarium sont donc 99,52 et 46,18 cm ce qui conduit à un volume d'aquarium de litres.

Posté par kyrandia (invité)

Pour moi le volume total de l'aquarium vaut :

V=(4h³)/(9*tg15°*tg30°)

si h=40 cm

alors V = 183,87 litres, et donc arrondi au litre le plus proche :

V = 184 litres

Posté par PolytechMars (invité)

Bonjour a tpous, desolé je suis pressé donc pas d'ex^plication pour aujourd'hui, presentation oblige..
Donc la reponse est : soit au litre pres V=123 litres

Bonnes mathéùatiques

Miaouw

Posté par manu44 (invité)

D'abord bonjour à tous. Je suis nouveau sur ce site dont je félicite les concepteurs.

Concernant l'énigme proposée, je pense que plusieurs solutions sont possibles.

Notons L la longueur, l la largeur et h la hauter (=40cm)
On pose également alpha = 15° et beta = 30°
On veut trouver le volume de l'aquarium V = L*l*h

Pour chacun des deux essais réalisés, 2 cas sont à prendre en compte :
- la surface de l'eau coupe l'aquarium en ses 4 cotés verticaux (cas n°1)
- la surface de l'eau coupe l'aquarium en 3 côté verticaux et en sa base (cas n°2)

Chacun des deux cas conduit à des estimations différentes sur les dimensions de l'aquarium :

- cas n°1 : de par la conservation du volume d'eau, la surface de l'eau atteint d'un côté la hauteur h (= 2/3*h + 1/3*h) et de l'autre la hauteur 1/3*h (= 2/3*h - 1/3*h). On a donc :
  tan(alpha) = (2/3*h) / L
  L1 = 2/3*h/tan(alpha)
  De même pour la lageur :
  l1 = 2/3*h/tan(beta)

- cas n°2 : cette fois la conservation du volume d'eau amène à écrire, si on note "a" la distance entre l'arête pivot et la droite d'intersection entre la surface de l'eau et le fond de l'aquarium :
  h*a/2 = 2/3*h*L --> a = 4/3*L
  et
  tan(alpha) = h/a = 3/4*h/L
  d'où :
  L2 = 3/4*h/tan(alpha)
  De même pour la largeur :
  l2 = 3/4*h/tan(beta)

On a donc 4 solutions possibles pour le volume :
V1 = h*L1*l1 = 4/9*h^3/[tan(alpha)*tan(beta)]
V2 = h*L2*l1 = 1/2*h^3/[tan(alpha)*tan(beta)]
V3 = h*L1*l2 = 1/2*h^3/[tan(alpha)*tan(beta)]
V4 = h*L2*l2 = 9/16*h^3/[tan(alpha)*tan(beta)]

On voit que V2 = V3 donc il y a en réalité 3 solutions distinctes pour le volume :

V1       ~ 184 Litres
V2 (=V3) ~ 207 Litres
V4       ~ 233 Litres

L'énoncé laissait penser (peut être à tort...) qu'une seule solution était attendue. J'espère avoir la (les) bonnes solutions.

Posté par Ptit_belge Ptit_belge

Bonjour,

Je pense que l'aquarium de Pierre peut contenir 184 litres (en réalité 183.9 litres)

Posté par philoux (invité)

Bonjour,


Réponse : 184 litres

Méthode : application de Pythagore et calculs d'aire.

Généralisation :
Si on appelle H la hauteur de l'aquarium (ici H=0.4 m),
k le coefficient de remplissage de l'aquarium (ici k=2/3),
a₁ et a₂ les angles d'inclinaison,
les longueur x et largeur y sont :
x=2(1-k)H/(tga₁) et y=2(1-k)H/(tga₂)
Le volume max est V= 4(1-k)²H³/(tga₁.tga₂)

Question à J-P (ou à d'autres s'ils ont la réponse) :
Si je ne me suis pas trompé, dans le cas où le remplissage est inférieur à la moitié de l'aquarium (k<1/2 au lieu de k=2/3), le raisonnement est différent et la formule devient V= (1/4k²).H³/(tga₁.tga₂).
La fonction V(k) est continue en k=1/2, ce que l'on peut comprendre, mais sa dérivée l'est aussi, pourquoi ?
Y a-t il une raison "physique" à cette continuité de la dérivée ?

En tout cas, même si, comme pour la terre encordée, l'application numérique est fausse, merci pour cette énigme sympa.

Philoux

Posté par paulo paulo

bonjour,
j'ai trouve comme dimension de l'aquarium:

1,134 * 0,272 * 0,40

cequi nous donne une capacite de  122 litres

a une autre  fois

paulo

Posté par xWiBxRaYmAn0o7x (invité)

On exprime le volume d'eau de 3 manieres differentes :
(2/3) * 40 * x * y
=(1/2) * (40 / tan(15)) * x * 40
=(1/2) * (40 / tan(30)) * y * 40

On trouve donc x = (30/tan(30)) et y = (30/tan(15))
Soit x*y = 900/(tan(15)*tan(30))

-> V = 40*x*y = 36000/(tan(15)*tan(30)) 232707 cm^3

Soit 232.7 Litres arrondi au litre le plus pres ce qui donne : 233 Litres

Posté par pietro (invité)

Volume de l'aquarium  = 45966,9... cm³.
Capacité de l'aquarium 46 l.

Posté par J-P J-P

Enigme clôturée.

La réponse attendue était 184 litres.

manu44 les autres solutions que tu proposes ne sont pas possibles, le cas n°2 dans tes calculs n'est valable que si la hauteur d'eau initiale dans l'aquarium est <= h/2.

A bientôt pour de futures énigmes et bravo à qui arrive en tête ce mois-ci.

Posté par EmGiPy (invité)

Oua nan serieux c'est pas du jeux j'avais la reponse je l'ai trouvé avant....

Vous auriez pu attendre l'après midi J-P mais bon ce n'est pas bien grave je trouvais comme manpower...

++

Posté par pietro (invité)

Je trouve le quart de la bonne réponse .
Pas étonnant, j'ai appliqué deux fois de suite : aire d'un triangle = Base x hauteur !
Honte (et poisson pourri) sur moi !!:(

Posté par philoux (invité)

Bonjour,

Je repose la question noyée_{dans l'aquarium} dans la réponse et qui est plus d'ordre physique que mathématique :

Dans le cas où le remplissage est inférieur à la moitié de l'aquarium (k<1/2 au lieu de k=2/3), le raisonnement est différent et la formule devient V= (1/4k²).H³/(tga₁.tga₂).
[ Auparavant, pour k>1/2, on trouve : V= 4(1-k)²H³/(tga₁.tga₂) ]

La fonction V(k) est continue en k=1/2, ce que l'on peut comprendre, mais sa dérivée l'est aussi !

Question : est-ce un hasard ou y a-t il une raison "physique" à cette continuité de la dérivée ?

Si d'aucuns ont la fibre "physique"...

Merci

Philoux

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Les deux formules qui représentent le volume d'eau en fonction de k sont bien exactes.
Par contre, lorsque tu dérives par rapport à k, tu ne dois pas oublier que a1 et a2 dépendent également de k.
Comme V= L*l*h*k, la dérivée de V par rapport à k est obligatoirement constante.
Si on remplit ou si on vide régulièrement l'aquarium (on fait donc varier k), il n'y a aucune raison que les fonctions volume d'eau V(k) et "variation de volume d'eau dans l'aquarium" V'(k), aient une discontinuité.
Salut.

Posté par philoux (invité)

Merci Nofutur2

Effectivement, a1 et a2 dépendent de k, mais, au voisinage de k=1/2, je les considérais (peut-être à tort) comme constantes.
Par ailleurs, dire que V= L*l*h*k est de la forme A*k souffre de la même incertitude car L et l dépendent aussi de k pour respecter l'énoncé concernant les angles a1 et a2, eux constants.

Merci cependant de t'y être intéressé.

Philoux

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Soit c'est a1 et a2 qui varient en fonction de k dans un aquarium fixé, .. et c'est ce que j'ai compris.
Soit on dit que a1= 15° et a2=30°à la limite de débordement, et on définit les valeurs de L et l, en fonction du taux de remplissage k.

Mais les deux ne peuvent varier en même temps ..!

NF2

Posté par philoux (invité)

Ok NF2, le pb est peut-être plus simple que je ne le crois mais je doute toujours, comme tu le dis, que : "la dérivée de V par rapport à k est obligatoirement constante" surtout au voisinage de k=1/2 où la formulation change...

L'ennui avec les pbs d'origine "physique", c'est qu'on applique la (grosse) artillerie mathématique pour les résoudre, sans nécessairement s'assurer de véracité physique des solutions.

Ca me rappelle ma première intervention sur l'énigme "La mouche" où J-P avait pu m'expliquer cette difficulté solution_physique vs résolution_mathématique.

Merci encore.

Philoux

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Et pourtant que l'aquarium soit à plat ou penché, le volume reste bien une fonction linéaire de son taux de remplissage...
Suppose que l'aquarium soit à plat et que k varie uniformément avec le temps (une fuite à débit constant par exemple). Au voisinage de k=1/2, , il ne se passe ...rien !, pas la moindre discontinuité, pas la moindre accélération de la fuite.
Rien ..
Et si tu penches l'aquarium avec la même fuite, V(k) ne change pas !!
C'est physique .

Posté par philoux (invité)

D'accord NF2,

Merci

Philoux