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Encadrement des solutions d'une équation f(x)=0


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#msg2676186#msg2676186 Posté le 02-11-09 à 16:16
Posté par ProfilSusan Susan

Bonjour, voici un exercice de mon DM de maths. J'airépondu aux questions mais je n suis pas trop ure demoi, surtout pour là 4). J'ai mis des réponses courtes, donc si qqn aurait du temps à me consacrer, pour vérifier mes réponses et éventuellement m'éclairer pour la 4), je l'en remercie.


A) Existence d'ne solution.

On veut résoudre l'équation x^3+x-1,pour cela,on considère la fonction f définie sur R par f(x)=x^3+x-1.
     1)Justifier sans dérivation que f est strictement croissante sur R.
Là, j'ai montré que x^3 était croissante et que x-1 aussi. Donc l'addition de deux fonctions croissantes donne une fonction croissante.
    
     2)Justifier que f est continue sur R.
C'est une fonction polynôme donc elle est continue sur R.

     3) Calculer les limites de f en + et -oo.
En +oo c'est +oo et -oo c'est -oo.

     4)Montrer que x^3+x-1=0 admet une unique solution k sur ]0;1[.
Et là, je suis un peu perdue.Faut-il juste citer le théorème de la bijection ? Dire que f est continue et strictement mootone sur R, donc si 0 appartient à f(R) alors f(x)=0 admet une unique solution sur I?
Sinon je ne vois pas quoi dire.
re : Encadrement des solutions d'une équation f(x)=0#msg2676447#msg2676447 Posté le 02-11-09 à 16:56
Posté par ProfilSusan Susan

Voilà la suite que je ne comprends absolument pas...

B) Encadrement de la solution par dichotomie.

     1) On se propose d'obtenir un encadrement de largeur p de la solution sur R de l'équation par la méthode de dichotomie. On part d'un encadrement connu [a;b] de la solution k.
Expliquer l'algorithme ci-dessous. En particulier, justifier le test : Si f(c)*f(a)>0 alors ca, sinon cb.

Algorithme :
Entrer a,b,p
Tant que b-a>p
(a+b)/2c
Si f(c)*f(a)>0
Alors ca,
sinon cb
Fin si
Fin tant que
Afficher a, b

     2) a) Dresser le tableau suivant sur EXCEL :
ABCDEFG
1abc=(a+b)/2b-af(a)
2


      b) En A2 et B2 entrer les valeurs de a et b (encadrement connu de k).
Ecrire en C2 et D2 les formules correspondantes en utuilisant les noms des cellules A2 et B2. En E2, écrire l'expression de f(x) en remplaçant x par A2.
On considère ici la fonction de la partie A. Recopier E2 en F2 et G2. Qu'obtient-on dans les cellules F2 et G2 ?
Compléter les cellules F1 et G1 par le texte adéquat décrivant ces deux colonnes.
En A3, écrire la formule correspondante au test suivant : Si f(c)*f(a)> alors écrire c, sinon écrire a. Pour cela utiliser la fonction "SI" et des noms de cellules correspondantes. Ecrire le test correspondant en B3.
re : Encadrement des solutions d'une équation f(x)=0#msg2678206#msg2678206 Posté le 02-11-09 à 21:43
Posté par ProfilSusan Susan

Gloup's
Personne pour de l'aide ?
re : Encadrement des solutions d'une équation f(x)=0#msg2678238#msg2678238 Posté le 02-11-09 à 21:49
Posté par ProfilBourricot Bourricot

Bonjour,

Pour étudier le sens de variation d'une fonction , tu as, depuis la première, un outil très pratique : la dérivée ...

Alors quelle serait le dérivée de la fonction f ici présente ?

Et puis cette année , tu as dû voir un truc très utile aussi pour résoudre f(x) = 0 , le théorème des valeurs intermédiaires !

Alors regarde ton cours , refait les exos faits en classe et tu vas trouver les réponses à tes premières questions !
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re : Encadrement des solutions d'une équation f(x)=0#msg2678250#msg2678250 Posté le 02-11-09 à 21:51
Posté par ProfilLeHibou LeHibou

Bonjour,

Pour la 4), montre que la fonction est strictement monotone croissante (étudie le signe de la dérivée), calcule f(0), f(1), conclus à l'existence de la racine entre 0 et 1 avec le théorème des valeurs intermédiaires, et à son unicité à cause de la monotonie stricte
re : Encadrement des solutions d'une équation f(x)=0#msg2681303#msg2681303 Posté le 03-11-09 à 15:44
Posté par ProfilSusan Susan

Oui c'est ce que je m'étais dit mais s'ils me demandent de pas calculer la dérivée avant, je pense que du coup, il faut que je me débrouille sans la dérivée avec les réponses que j'ai trouvées dans les trois premières questions ( pour la 4 )...
Enfin peut-etre que je me pose trop de questions...
Merci tout de même.
re : Encadrement des solutions d'une équation f(x)=0#msg2681415#msg2681415 Posté le 03-11-09 à 15:55
Posté par ProfilLeHibou LeHibou

La dérivée est facile à calculer, c'est 3x²+1, et elle est toujours strictement positive, donc la fonction est strictement monotone croissante... Et tu aurais bien tort de t'en priver, les profs apprécient les élèves capables d'initiative !
re : Encadrement des solutions d'une équation f(x)=0#msg2681659#msg2681659 Posté le 03-11-09 à 16:22
Posté par ProfilSusan Susan

D'accord alors je vais faire comme ça.
Merci beaucoup.
re : Encadrement des solutions d'une équation f(x)=0#msg2682274#msg2682274 Posté le 03-11-09 à 17:31
Posté par ProfilLeHibou LeHibou

C'était un plaisir !
re : Encadrement des solutions d'une équation f(x)=0#msg2682688#msg2682688 Posté le 03-11-09 à 18:19
Posté par ProfilBourricot Bourricot

Oh je n'avais pas tout lu

Citation :
1)Justifier sans dérivation que f est strictement croissante sur R.


Dans ce cas ta réponse :
Citation :
Là, j'ai montré que x^3 était croissante sur IR et que x-1 aussi. Donc l'addition de deux fonctions croissantes donne une fonction croissante.
est la bonne !! Toutes mes excuses pour ce mauvais conseil !
re : Encadrement des solutions d'une équation f(x)=0#msg2682780#msg2682780 Posté le 03-11-09 à 18:32
Posté par ProfilLeHibou LeHibou

Bien vu, bravo !
Algorithme#msg2690614#msg2690614 Posté le 05-11-09 à 20:33
Posté par ProfilSusan Susan

Huhu j'voudrais pas être exigente, mais y'aurait-il qqn pour m'aider pour la partie B?
re : Encadrement des solutions d'une équation f(x)=0#msg2691073#msg2691073 Posté le 05-11-09 à 22:47
Posté par ProfilLeHibou LeHibou

C'est une méthode de dichotomie, a ou b varie à chaque étape, et on divise la largeur de l'intervalle entre a et b à chaque étape.
Le test est f(a).f(c) > 0 vérifie que f(a) et f(c) sont du même côté de la racine. Tant qu'ils sont du même côté, on continue à progresser dans le même sens, quand ils ne le sont plus, donc qu'on est passé de l'autre côté de la racine, on progresse dans l'autre sens.
Le test d'arrêt final n'est pas précisé :
Fin si ???
Fin tant que ???
re : Encadrement des solutions d'une équation f(x)=0#msg2691075#msg2691075 Posté le 05-11-09 à 22:48
Posté par ProfilLeHibou LeHibou

Précision : et on divise par 2 la largeur de l'intervalle entre a et b à chaque étape

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