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démontrer q'une fonction est injective ou surjective


iutdémontrer q'une fonction est injective ou surjective

#msg2684566#msg2684566 Posté le 04-11-09 à 09:48
Posté par ProfilReinette68 Reinette68

Bonjour,

Je voudrais savoir comment déterminer si une fonction est surjective ou injective. Malgré un apprentissage rigoureux de ma leçon je reste bloqué sur le chapitre des applications!
En clair comment démontrer si pour - f :  E -> E
                                     x -> 3x

la foction f(x) est surjective, injective ou les 2.
Je ne sais pas qu'elle méthode utiliser.
Merci beaucoup.
re : démontrer q'une fonction est injective ou surjective#msg2684574#msg2684574 Posté le 04-11-09 à 09:56
Posté par Profilblang blang

Bonjour

E désigne quel ensemble ? ?

- Pour montrer que f est injective, il faut démontrer que pour tout yE, l'équation d'inconnue xE : f(x)=y possède au plus une solution.
- Pour montrer que f est surjective, il faut démontrer que pour tout yE, l'équation d'inconnue xE : f(x)=y possède au moins une solution.
- Pour montrer que f est bijective, il faut démontrer que pour tout yE, l'équation d'inconnue xE : f(x)=y possède exactement une solution.
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re : démontrer q'une fonction est injective ou surjective#msg2686330#msg2686330 Posté le 04-11-09 à 15:12
Posté par ProfilReinette68 Reinette68

Merci d'avoir répondu aussi vite.
Je connais ces définitions qui étaient dans mon cours. Je c'est comment démontrer qu'une fonction est bijective, mais je ne sais pas comment procéder pour les autres. J'ai les schémas dans la tête mais je ne parviens pas à appliquer cela concrètement.
re : démontrer q'une fonction est injective ou surjective#msg2686384#msg2686384 Posté le 04-11-09 à 15:19
Posté par ProfilReinette68 Reinette68

Je sais par exemple que selon la propriété d'une fonction injective, f(x)= f(y) => x=y
pour 3x peut on procéder comme cela:

f(x)=f(y)
2x=2x
x=(2x)/2
x=x

Cela ne me parait pas cohérent
re : démontrer q'une fonction est injective ou surjective#msg2686512#msg2686512 Posté le 04-11-09 à 15:34
Posté par Profilblang blang

Soit x et y deux réels.
(f(x)=y)(3x=y)(x=y/3).
Cela prouve que f: est bijective car pour tout y, l'équation d'inconnue x : f(x)=y possède y/3 comme unique solution.
re : démontrer q'une fonction est injective ou surjective#msg2686548#msg2686548 Posté le 04-11-09 à 15:40
Posté par ProfilReinette68 Reinette68

Merci beaucoup
Je voulais juste savoir la technique en réalité ma fonction c'est 2x mais je ne voulais pas demander une réponse sans la comprendre!
Je vois mieux maintenant! Cependant en oubliant que l'on me demande de prouver la surjectivité, la bijectivité et l'injectivité, comment prouver indépendement chaque affirmation.
Je veux dire comment rpouver simplement l'injectivité ou uniquement la surjectivité?
Mes questions sont idiotes mais meiux vaut que je comprenne avant ma prochaine kholle!
re : démontrer q'une fonction est injective ou surjective#msg2686603#msg2686603 Posté le 04-11-09 à 15:47
Posté par Profilblang blang

Schéma de démonstration pour l'injectivité :
Soit (x,y)2 tel que f(x)=f(y). On a 3x=3y d'où x=y. C'est tout.

Schéma de démonstration pour la surjectivité:
Soit y; montrons qu'il existe x tel que f(x)=y.
Analyse : f(x)=y 3x=y x=y/3.
Synthèse : on a bien f(y/3)=y.


re : démontrer q'une fonction est injective ou surjective#msg2686866#msg2686866 Posté le 04-11-09 à 16:19
Posté par ProfilReinette68 Reinette68

Encore une fois merci!
Cette fois je pense avoir totalement compris le principe! cela me parait beaucoup plus clair maintenant
re : démontrer q'une fonction est injective ou surjective#msg2687040#msg2687040 Posté le 04-11-09 à 16:40
Posté par ProfilReinette68 Reinette68

dernière vérification
pour g:  É -> É
pour x pair: g(x)= x/2

j'obtiens:

Soit ( x;y) É^2
tel que f(x)=f(y).
On a (x/2)=(y/2)
2x=2y
x=y
La fonction est injective

Soit y É montrons qu'il existe x É tel que y= f(x)
(x/2)=y
x=2y
f(2y)=y
La fonction est surjective

La fonction étant injective et surjective elle est donc bijective


Mon raisonnement vous semble t-il correct?
re : démontrer q'une fonction est injective ou surjective#msg2689822#msg2689822 Posté le 05-11-09 à 17:12
Posté par Profilblang blang

Oui, cela me semble correct
démontrer q'une fonction est injective ou surjective#msg3194255#msg3194255 Posté le 05-10-10 à 22:20
Posté par ProfilCarlou33 Carlou33

Bonjour. On considère l'application f : donnée par f(x) = x(x+1)(x-1). Dire si f est injective et/ou surjective.
1) f est injective ssi (x,y)2 tel que f(x)=f(y). On a x(x+1)(x-1)=y(y+1)(y-1) et donc là je sais plus quoi faire.

2) f est surjective ssi y, x tq y=f(x):
x(x+1)(x-1)=y et?
Démontrer qu'une fonction est injective / surjective#msg4957784#msg4957784 Posté le 23-12-13 à 18:15
Posté par ProfilThesabreur Thesabreur

Bonjour,

Je reprends ce sujet car ma question est très proche de celle posée par mon prédécesseur (ais-je bien fait ?).

Je voulais juste savoir si on pouvait prouver l'injectivité d'une fonction en prouvant qu'elle était strictement monotone, et prouver la surjectivité d'une fonction en prouvant sa continuité sur l'ensemble correspondant... L'idée est-elle acceptable en 1ère année de licence ?
re : démontrer q'une fonction est injective ou surjective#msg4957956#msg4957956 Posté le 23-12-13 à 21:11
Posté par Profilidm idm

Bonjour tout le monde,
Je vois que tout le monde s'est désinscrit
Cher Thesabreur quel plaisir de te savoir toujours des notre
Pour répondre à ta question,

Pour l'injectivité: oui à condition qu'elle soit continue. Si elle n'est pas continue, c'est évidemment faux.

Pour la surjectivité: Là on tombe à l'eau et je te répond non. Mais par contre si elle est continue et strictement monotone sur [a,b], alors elle est surjective sur [f(a),f(b)] (si croissante) où [f(b),f(a)] (si décroissante).
re : démontrer q'une fonction est injective ou surjective#msg4958131#msg4958131 Posté le 24-12-13 à 00:34
Posté par ProfilThesabreur Thesabreur

Tout d'abord, je viens de m'inscrire, donc je suis plutôt un petit nouveau que "toujours des votres"...

Donc en gros, pour prouver la surjectivité d'une fonction il la faut continue et strictement monotone, et pour l'injectivité d'une fonction aussi. Donc ça revient à - pour simplifier - reprendre le théorème selon lequel une fonction est bijective si elle est continue et strictement monotone... il est juste impossible de séparer l'injection de la surjection si l'une des deux nécessités (continuité et monotonie) ne sont pas vraie.

Et bien merci pour la réponse !
re : démontrer q'une fonction est injective ou surjective#msg4958187#msg4958187 Posté le 24-12-13 à 10:15
Posté par Profilidm idm

Pour la surjectivité, oui, mais note bien que c'est une condition nécessaire mais pas suffisante.
re : démontrer q'une fonction est injective ou surjective#msg4958540#msg4958540 Posté le 24-12-13 à 15:06
Posté par ProfilThesabreur Thesabreur

D'accord, merci.
re : démontrer q'une fonction est injective ou surjective#msg4958605#msg4958605 Posté le 24-12-13 à 15:38
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Bonjour

Une fonction strictement monotone entre ensembles totalement ordonnés est injective!

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