Une histoire de spirale

Posté par Tom_Pascal Tom_Pascal

Voici le « film » d'une construction :



Etape n°1 : On construit un triangle ABC rectangle isocèle en A tel que AC = 1cm.
On nomme ce triangle T1
Etape n°2 : On construit un triangle BCD rectangle isocèle en C .
On nomme ce triangle T2.
Etape n°3 : On construit un triangle BDE rectangle isocèle en D.
On nomme ce triangle T3

Ainsi à chaque étape, on obtient un nouveau triangle rectangle isocèle.

Question : Quelle est la longueur de l'hypoténuse pour le triangle T61 ?


ps : Cette énigme est issue d'une suggestion de papou_28. Merci à lui

Posté par pietro (invité)

2³⁰.

Posté par PolytechMars (invité)

Bonsoir a tous,
on verifie par reccurence la formule : d'où cm..

Voila, bonnes mathématiques

Miaouw

Posté par isisstruiss isisstruiss

Si h_i est la longueur de l'hypoténuse du triangle T_i, on a

Les h_i forment donc une suite géométrique de raison et on a .

Donc l'hypoténuse du triangle T₆₁ est longue de
.

Isis

Posté par Severus (invité)

Hello,

Appelons H_i l'hypoténuse du i^ème triangle.


Donc pour T₆₁ on aura (avec H₁²=2):

Severus

Posté par EmGiPy (invité)

Le triangle T61 aura exactement pour longueur d'hypoténuse:



Soit

Ce qui est quand meme enorme!! Interminable la spirale moi je dis!!
++ EmGiPy ++

Elle est pour quand mon enigme lol on ne me repond pas par mail

edit T_P :Faux ! j'avais répondu à ton premier mail et je t'ai encore répondu ce soir avant que tu ne postes ce message

Posté par manpower manpower

Soit la suite définie par et =
est une suite géométrique de raison donc = et, pour , représente la longueur de l'hypoténuse du triangle .

Ainsi, la longueur de l'hypoténuse du triangle est égale = = =

Posté par Saosao (invité)

Euh je dirai Racine de 2147483648

Posté par smk (invité)

hmmm une similitude directe...
  c une suite de 1er terme N0=2 et de raison 2/2
  N6(longueur de l'hypothenuse de T6)=2*(2/2)^5=8

Posté par pinotte (invité)

Soit c_n l'hypoténuse du triangle T_n. On remarque que :

c₁ =
c₂ =
c₃ =

On en conclut que c_n =

Ainsi, c₆₁ =

En le calculant, on obtient c₆₁ = 1 518 500 250 cm

Posté par franz franz

La suite des longueurs des hypothénuses est géométrique de raison

La longueur de l'hypothénuse du triangle vaut

Posté par paulo paulo

bonsoir,


finalement on peut trouver qu'il existe une relation de recurrence


   ce qui donne pour notre cas:


= 1518500250

Posté par Lopez Lopez

Salut

la longueur de l'hypoténuse pour le triangle T61 est :

Posté par doc_78 doc_78

Hypothénuse de T1 :
Hypothénuse de T2 :²
Hypothénuse de T3 :³
Hypothénuse de T61 :⁶¹ soit
1073741824 soit environ 1,5185 10⁷métres

Posté par borneo borneo

l'hypoténuse du triangle T61 a une longueur de racine de 2⁶¹, c'est à dire 2³⁰*2 c'est à dire approximativement 1 518 500 250 cm

Posté par Nofutur2 Nofutur2

On démontre facilement par récurrence que l'hypoténuse de T_n=(2ⁿ).
L'hypoténuse de T₆₁ est donc égale à (2⁶¹),

Soit (2³⁰) * (2)

Posté par Yalcin (invité)

Bonjour

Dans T1: c'est BC = U_1 = sqrt(2) m

Dans T2 : c'est BD = U_2 = sqrt(2*(U_1)²) m

Dans T2 : c'est BE = U_3 = sqrt(2*(U_2)²) m

On a alors Tn : U_n = sqrt(2*(U_(n-1))²)

Donc on voit que : U_n = (U_(n-1))*(sqrt(2))

Suite géométrique :  donc on a : U_n = (sqrt(2))^n

Donc T61 : U_61 = (sqrt(2))^61 = (2^30)*sqrt(2) = 1073741824*sqrt(2) = 1518500250,.... m

Voilà l'hypténuse qu'on veut = (2^30)*sqrt(2) m

Posté par lefuturgenie (invité)

calculons d'abord la longueur de l'hypothenuse du premier triangle ABC:
BC2=1 au carré +1 au carré BC=racine carré de deux
     calculons maintenant la longueur de l'hypothenuse du 61 triangle:
soit H= racine carré de 2 exposant en 61
conclusion :2 exposant 30 X racine carré de 2

(JE NE SAIS PAS COMMENT TROUVER LES SYMBOLES)

VOUS ALLEZ COMPRENDRE

Posté par Théo (invité)





Donc pour le triangle Tn ( rectangle et isocèle en ) :

Donc la longueur de l'hypoténuse pour le triangle T61 est égale à .

PS : On note que la transformation permettant de passer de T1 à T2, puis de T2 à T3 (etc...) est la similitude directe de centre B, de rapport et d'angle .

Posté par kyrandia (invité)

Longueur hypothénuse = racine(2 puissance 61) = 1518500249,98...

Posté par BABA72 (invité)

Bonjour à tous,

Par récurrence, je trouve Hyp(T61)=2puissance(61/2)=(2puissance30).(racinede2)

A la prochaine énigme,
BABA72

Posté par raulic (invité)

Voila ma solution

on notera h_n les longueurs des hypothénuses

premier triangle: h₁=(2)¹
deuxième triangle: h₂=(2)²

nième triangle: h_n=(2)ⁿ

61^ème triangle: h₆₁=(2)⁶¹

h₆₁=(2)⁶¹=(2)⁶⁰*2

h₆₁=1 073 741 824*2    (valeur exacte)
h₆₁=1 518 500 250     (valeur approchée)

Matthieu

Posté par Ptit_belge Ptit_belge

Bonjour,

Je propose de construire une suite h(n) telle que h(k) est la longueur de l'hypothénuse du triangle T_k.
On "amorce" la suite avec h(1)=2

Les quelques premiers termes sont:

     h(2)² = 2*h(1)² => h(2)= 2
     h(3)² = 2*h(2)² => h(3)= 2*2
     h(4)² = 2*h(3)² => h(4)= 4

D'où h(k) = (2)^k
On en déduit que h(61) = (2)⁶¹ = 2³⁰*2 1518500250

Conclusion: l'hypothénuse du triangle T₆₁ mesure 15185.00250 km (il sera très difficile de le construire!)

Sauf erreur...

Posté par paltan (invité)

Salut!
Au pif? La longueur de l'hypoténuse pour le triangle T61 ne serait-elle pas égale à 2³⁰cm?

Posté par GEORGETTE (invité)

si abc triangle rect et isocel alors ab =ac =1 donc avec la reciproque de pythagore ac +ab au carre =2 et bc=4 donc 2 cm
on fais 2*61=122

Posté par tomm-bou (invité)

bonjour
l'hypoténuse du triangle T61 mesure

merci pour l'énigme
a+

Posté par mimick (invité)

bonjour,
comme le longueur de l'hypothénuse de t2 est égale au double de la longueur l'hypothénuse de t1 et ainsi de suite la longueur de l'hypothénuse de T61 est  2147483648 cm

mimick

Posté par grey (invité)

T61=2^61/2

Posté par jacko78 (invité)









  

Posté par rachmaninof (invité)

en considérant la suite (Hn) (la suite des hypothemuses) et en ecrivant les premiers termes on s'aperçoit que Hn=2^(n/2)
donc h61=1518500250 cm
la réponse est 1518500250 cm.

Posté par davidk davidk

T61 : hypothénuse=(2^61)=1518500250

Posté par alias (invité)

pour moi, la reponse est:

=8

Posté par majuju (invité)


  

Posté par supertagada (invité)

2√2

Posté par xWiBxRaYmAn0o7x (invité)

On etablit grace a pythagore ( c'est pas pour rien que cette figure s'apelle l'escargot de pythagore )



Soit avec

Finalement

On a donc

Posté par DivXworld (invité)

2^(2^59)

Posté par nicolas659 (invité)

Soit la longueur de l'hypothénuse du triangle , alors

De même, .

La formule générale est alors :
, pour n>p
C'est donc une suite géométrique de raison et de premier terme (cm).

Donc .
Donc .
!!

C'est énorme!

    - Nicolas -

Posté par DJ Bugger (invité)

Soit u_n la longueur de l'hypoténuse du triangle T_n.
avec u₁=2.
Donc et u₆₁=2⁶¹=2³⁰2

La solution est 2³⁰2, soit environ 1518500250 cm.

Posté par serguei (invité)

on trouve normalement pour reponse 151850250

Posté par dolphie (invité)

pour T1: BC²=1²+1²=2
pour T2: BD²=BC²*2
pour T3: BE²=BD²*2=BC²*2²=2³

POur T61, l'hypoténuse mesurera:

donc
cad

Posté par philoux (invité)

Bonjour,

Par application de Pythagore dans les différents triangles, on montre que Hn, l'hypothénuse de Tn, vaut, en cm, (2ⁿ).
Pour n=61 : H61=(2⁶¹)= 2³⁰2 cm
d'où :

la longueur de l'hypoténuse pour le triangle T61 vaut, en cm, environ 1 518 500 250 cm

Merci pour l'énigme,

Philoux

ps : papou_28 a du s'inspirer d'une énigme de février d'un autre forum... Merci à lui

Posté par lolus (invité)

la longueur de l'hypotenuse de T61 est (racine(2))^61= (2^30)*(racine(2))

Posté par julien12ever (invité)

La réponse est, a mon avis,
on obtient finalement
la valeur approché est

une breve explication:
la tangente d'un triangle rectangle isocele est de la forme avec a representant la mesure du coté AB pour le triangle ABC(par exemple)
on obtient ainsi de proche en proche les tangentes de tous les triangles (l'hypothenus de T1 devenant un des cotés du triangle T2)

Posté par ryotiger ryotiger

En utilisant Pythagore et le fait que tous les triangles sont isocèles, on trouve que la longueur de l'hypoténuse pour le triangle T61 est .

Posté par pschiinett (invité)

j'ai trouvée,la longueur de l'hypoténuse pour le triangle T61 est :

1 315 124 976cm

Posté par conquerant (invité)

Après des calculs longs et fastidieux (que je ne détaillerai pas), j'ai finalement trouvé: 1 518 500 250 cm ou 15 185 km et 2,5 m . Bon j'espère que je me suis pas trompé dans mes calculs.Merci pour cette énigme.

Posté par infophile infophile

Bonjour !

Bon je suis pas très doué pour les enigmes mais je vais faire de mon mieux :

on nomme x la longueur de [AB] et [AC] (côté isocèle).

l'hypoténuse [BC] se nomme H1 soit:

x² + x² = H1²

2x² = H1²

H1= \sqrt{2x²}

H1 étant désormais un côté du triangle rectangle isocèle BCD, on nomme H2 l'hypoténuse [AD] de celui-ci soit:

H2² = (\sqrt{2x²})² + (\sqrt{2x²})²

H2² = 2*(\sqrt{2x²})²

H2² = 2*2*x²

H2 = \sqrt{2^2*x²}

De la même fâcon on considère l'hypoténuse H61 du triangle T61:

H61= \sqrt{2^61*x²}

On remplace x² par sa valeur initial: x = 1 donc x² = 1 également :

H61 = \sqrt{2^61}

( = 1 073 741 824 * \sqrt{2} )

Voila ceci est mon résultat, j'espère que le signe de la racine carré à fonctionner si ce n'est pas le cas considérer celle-ci comme: \ s q r t { ... } , car le LateX et moi café deux. Enfin je suis nouveau j'espère avoir l'occasion de me familiariser avec .

Posté par minilouis (invité)

Pour le triangle T61 l'hypoténuse sera de 1 518 500 250 cm !

Posté par plariviere (invité)

C'est V(2^61)=2^30*V2=1024^3*V2.

Posté par ametist (invité)

Pour T1 : 2^1/2
Pour T2 : 2
Pour T3 : 2^3/2
Pour T4 : 2^4/2 = 4
....
Donc pour T61 : 2^61/2=2³⁰.