DM sur complexe..

Posté par Tribal95 (invité)

Bonjour tout le monde..je suis en ce moment même en train de travaillé sur un devoir maison..pourriez vous m'aider j'ai quelques difficultés..merci
Voila le monstre..

Exercice 1
A tout nombre complexe z=x +iy où x et y désignent la partie réelle et la parti imaginaire de z, on associe le nombre complexe f(z)=e^y(cos(x)+ i sin (x)).
  1. Déterminer e placer, dans le plan muni d'un repère orthonormal (O;;), les points d'affixes f(0), f(i), f(-i), f(1+i) et f(1-i).
  2. Pour tout nombre complexe z=x+i, démontrer que f(z) est non nul, puis déterminer en fonction de x et y le module et un argument de f(z).
  3.(a) Démontrer que pour tous les nombres comples z et z', f(z+z')=f(z)f(z') et f(z-z')=f(z)/f(z')
    (b) Démontrer que pour tout entier naturel n, pour tous nombre complexe z, f(nz)=(f(z))ⁿ
  4.Soit A le point du plan d'affixe =1+i.
Soient B, C et D les point d'affixes respective 1-i, -1-i et -1+i
   (a)Déterminer l'ensemble L des points du plan dont l'affixe z=x+iy vérifie |x|1 , |y|=1 ; puis déterminer l'ensemble des points du plan d'affixe f(z), où z est l'affixe d'un élément de L.
   (b)Déterminer l'ensemble K des points du plan dont l'affixe z=x+iy vérifie |x|1 , |y|1 puis déterminer l'ensemble des points du plan d'affixe f(z), où z est l'affixe d'un élément de K.

Voila...le 1er exo de mon dm..=) un peu siouplé serait pas de refus..merci (Terminale S..)

Posté par isisstruiss isisstruiss

Le premier est vraiment très simple, il suffit de remplacer les valeurs. J'en fais un comme exemple:
z=1+i => x=1 et y=1


(2)

Or e^y n'est jamais nul et cos(x) et sin(x) ne peuvent jamais être nuls pour un même x.




L'argument de f est donc x.

(3)
z'=x'+y' => z+z'=(x+x')+i(y+y')


Pour f(z-z')=f(z)/f(z') soit tu fais pareil que moi pour f(z+z'), soit tu fais f(z-z')=f(z)f(-z') et tu regardes ce que vaut f(-z').

Pour f(nz) c'est baeucoup plus facile car f(nz)=f(z+(n-1)z)=f(z)f((n-1)z)=...=nf(z)

Pour le 4 j'ai pas encore regardé et je dois partir, alors je te laisse digérer déjà 1-2-3.

Isis

Posté par Tribal95 (invité)

merci pour ces premieres questions je blok surtout a la 4 en faite..vé y réflchir merci qd mm

Posté par isisstruiss isisstruiss

C'est pour ça qu'on te demande d'indiquer les parties du problème que tu as déjà faites et les parties qui te posent problèmes. Celà m'aurait évité d'expliquer des choses que tu comprends déjà et on aurait pu passer directement là où tu as besoin d'aide...


donc
cos(x)+isin(x) est le cercle de centre 0 et rayon 1.


y=1: f(z)=e(cos(x)+isin(x))
ceci est un cercle de centre 0 et rayon e.

Si tu fais varier y tu fais varier le rayon du cercle. Donc si le rayon minimal est e^-1 et le rayon maximal e, on aura un disque avec un trou en forme de disque, je crois qu'on appelle cette forme une couronne.

Isis

Posté par Tribal95 (invité)

Oula..pourrais tu m'expliquer pourkoi on fais cela? je n'ai pas trop compris cette question et ton raisonnement..

Merci d'avance..

Posté par isisstruiss isisstruiss

Si est un angle en radians, on peut toujours l'écrire comme étant un angle entre - et car là on fait un tour complet.

Sur mon dessin j'ai un cercle de rayon 1. En projetant un point du cercle sur l'axe réal on trouve et en projetant le même point sur l'axe imaginaire on trouve . Donc si varie de à , les points du plan complexe décrivent le cercle de rayon 1.

Ceci est ce qui arrive dans ton problème. Mon est ton .

C'est plus clair?

Isis

Posté par isisstruiss isisstruiss

Voilà de quoi t'aider encore:
Sur l'image j'ai mis en rouge le lieu géométrique des f(z) avec z=x+iy et x fixé () et y positif (variant de 0 à plus de e. Si y varie seulement de 1/e à e, ce lieu géométrique se réduit à la partie rouge coicée entre les deux cercles noirs.

En vert tu as le lieu des f(z) avec z=x+iy et y fixé () et x variant de -1 à 1.

Isis

Posté par Tribal95 (invité)

Ok bah je vé voir ca! jte remerci bocoup merci de m'avoir consacré un pe de tps pr répondre..
Ciao

Posté par Jojo75 (invité)

Bonsoir,

Je remonte ce vieux post, car une question me pose problème.
Tout d'abord merci isisstruiss, tout est parfait sauf un détail.
J'aimerais savoir comment isisstruiss a calculé le module de f(z)(QUESTION 2), l'étape intermédiaire passant de l f(z) l ² à l f(z) l m'échappe ...

Merci!

Posté par philoux (invité)

Bonjour

Une autre méthode que celle d'isis :

tu as f(z) = (e^y)( cos(pi.x) + i.sin(pi.x) ) = (e^y)( e^i(pi.x) )

donc

|f(z)| = | (e^y)( e^i(pi.x) ) | =  | e^y |.| e^i(pi.x) |

or e^y >0 => | e^y | = e^y et arg(e^y)=0
et
e^i(pi.x) est un complexe de module 1 et d'argument pi.x

donc

|f(z)| = | (e^y)( e^i(pi.x) ) | =  | e^y |.| e^i(pi.x) | => |f(z)| = e^y
et
arg( f(z) ) = 0 + pi.x => arg( f(z) ) = pi.x

Ok ?

Philoux

Posté par philoux (invité)

pour la 3) tu avais aussi :

tu as f(z) = (e^y)( cos(pi.x) + i.sin(pi.x) ) = (e^y)( e^i(pi.x) )

f(z) = e^(y+i.pi.x)

f(z') = e^(y'+i.pi.x')

f(z+z') =  e^( (y+y')+i.pi.(x+x') ) =  e^( (y+i.pi.x)+(y'+i.pi.x') ) = ( e^(y+i.pi.x) ).( e^(y'+i.pi.x') ) = f(z).f(z')

bien que je ne sois pas certain que les propriétés de e^z, z € Z soient vues en Terminale...

Philoux

Posté par Jojo75 (invité)

Merci, tout est très clair maintenant!

Bonne journée!

Posté par philoux (invité)



Philoux