Fonction qui retourne un carré parfait pour certains x

Posté par Bacterius Bacterius

Bonjour,
j'ai une question (!). Etant donné la fonction suivante :



Où est une constante que je connais.
Je cherche à trouver les valeurs de pour lesquelles retourne un carré parfait (4, 9, 16, 25, ...). J'ai longtemps travaillé dessus et voilà les informations que j'ai accumulées :

- il existe toujours deux valeurs de x qui satisfient cette équation : une triviale et une correcte (je ne sais pas encore le démontrer mais c'est une conjecture qui semble se vérifier donc je la prends comme vraie).
- je sais obtenir la triviale : , car cela se factorise à

Mais je ne vois pas comment obtenir la deuxième valeur correcte qui satisfierait mon problème, et telle est ma question. Quelqu'un a-t-il une idée ?

Merci d'avance

Posté par tringlarido tringlarido

Bonjour,

Une "triviale" et une "correcte"... les termes sont curieusement choisis !

Il faut penser aux identités remarquables:


En particulier, on a:

Posté par Bacterius Bacterius

Alors en fait, il y a toujours N solutions, où N est le nombre de facteurs premiers du nombre (sans compter 1). Par exemple, 21 = 3 x 7 -> 2 solutions, et 12 = 2 x 2 x 3 -> 3 solutions. Et parmi ces N solutions, il y en a une triviale (je l'appelle triviale car dans la suite de la conjecture, elle ne me sert strictement à rien et est évidente), et d'autres correctes (N - 1 correctes). Les identités remarquables que tu me suggères sont utilisées dans la triviale (en effet, si je choisis comme valeur de x = n + 1, alors la fonction devient elle-même une identité remarquable que l'on peut factoriser en carré. Mais ... manque de pot c'est la triviale.

Posté par tringlarido tringlarido

Il y a plus que N solutions et les identités remarquables permettent d'en trouver un paquet. Je trouve autant de solutions que de diviseurs de N (divisé par 2).

Si d est un diviseur de N alors notons n=dm. On a:

f(d+m) = ?

Posté par Bacterius Bacterius

C'est ce que j'ai dit. Si n = 8, alors n = 2 x 2 x 2, du coup, combien de solutions ? 3 ... Si n = 16, alors n = 2 x 2 x 2 x 2. Donc, 4 solutions ...

Seulement, tu considères que tu connais la structure de n (diviseurs et tout). Moi je connais juste la valeur de n, qui peut atteindre des tailles de 100 chiffres décimaux ...

Posté par tringlarido tringlarido

Une remarque: le nombre de diviseur premier de n=8 est un (le seul diviseur premier est 2) ! Par contre son nombre de diviseur est le cardinal de {1,2,4,8} qui est 4. Et je ne trouve que 2 solutions (et pas 3) qui sont:
f(8+1) = (8+1)^2 - 4*(8*1) = 7^2
f(4+2) = (4+2)^2 - 4*(4*2) = 2^2

Si tu prends un nombre avec plus d'un diviseur premier, prenons 30=2*3*5. Il a pour diviseurs {1,2,3,5,6,10,15,30} et donc 4 solutions ici à ton problème qui sont 31=1+30, 17=2+15, 13=3+10, 11=6+5.

Tu es d'accord avec ça ?

Je dis simplement que les valeurs carrés parfaits correspondent à des factorisations de n (la réciproque de ce qui précède est vraie): tout x tel que f(x) est un carré parfait est de la forme d+m avec n=dm.

Tu n'as pas dit dans ton énoncé que tu cherchais un moyen algorithmique différent de la factorisation pour faire ça (à part la section où se trouve ce topic: "algo"). D'ailleurs s'il en existait un, il permettrait de factoriser l'entier n... ce qui serait génial.

Posté par Bacterius Bacterius

Salut,
je vais être le plus clair possible sur les nouvelles informations que j'ai obtenues.
- Je ne considère que les nombres semipremiers pour "n" (les premiers nombres semipremiers sont 4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, ...).
- Je sais démontrer que si "n" est semipremier, la fonction f(x) n'admet que deux solutions.
- Je ne connais absolument rien sur "n" sauf le fait qu'il est semipremier. Et "n" ne se factorise pas forcément de tête (par exemple, il peut être égal à 35 comme il peut être égal à 76372591715434667). Donc, je ne sais pas si c'est un multiple de quelque chose.

Mais tu as tout à fait raison concernant les points que tu avances. Je les avais prévus mais en faisant néanmoins une erreur monumentale de réflexion, ce qui écroule ma conjecture concernant le nombre de solutions par rapport au nombre de facteurs premiers (c'est pour ça que je ne considère maintenant que les semipremiers).



Tu as tout à fait raison, d'ailleurs si tu creuses bien la chose, tu verras que la fonction f(x) est en fait le discriminant d'une équation du second degré particulière dont les solutions sont la factorisation de "n" (triviale ou non, selon la trivialité de "n").


Effectivement je ne l'ai pas dit et j'aurai dû, car comme tu l'as souligné, "x" correspond simplement à la somme des facteurs de "n" (arrangés dans n'importe-quel ordre). Mais, oui, je cherche à trouver ces solutions (enfin celle qui me manque) de façon algébrique, et non pas en factorisant le nombre "n", ce qui ajouterait une complexité dramatique à "ma" méthode (et qui de toute façons est en fait tout le contraire de ce que je cherche à faire).

PS : section algorithmique c'est parce que je n'ai pas trouvé de section Théorie des Nombres.

Posté par Bacterius Bacterius

Désolé, lire : selon la trivialité de "x"

Posté par AbercrombieFitch AbercrombieFitch

Bonjour, ça me rappelle un truc que j'avais vu en OIM l'année dernière.

En fait ton machin revient à (x-y)(x+y)=4n. On va faire une disjonction de cas.
Tu as deux cas à traiter, selon la parité de n, la parité de x+y et de x-y étant facilement trouvable (de plus tu pourras établir une relation d'ordre entre les deux).
Le nombre de solutions est alors relativement simplement identifiable.

Pardon si je répète l'un d'entre vous, je n'ai pas lu

Posté par Bacterius Bacterius

Merci pour ces precisions, neanmoins je sais determiner le nombre de solutions, ce qu'il me faudrait ce sont les solutions
Mais merci pour cette information, cela m'aide.

Desole pour les accents je ne suis pas sur un clavier francais la

Posté par AbercrombieFitch AbercrombieFitch

Salut,

avec la méthode que je t'ai donné c'est très facile à faire !
Mon prof écrirait "trivial"

Posté par Bacterius Bacterius

Même si n est un semipremier, tu peux trouver les deux solutions sans passer par une recherche exhaustive ou une factorisation ? Je dois relire tes posts dans ce cas ...