Enigmo 145 : La ronde des carrés

Posté par jamo jamo

Bonjour,

On dispose régulièrement sur un cercle 10 nombres strictement positifs et tous différents.

Ces 10 nombres sont tels que la somme des carrés de deux nombres consécutifs est égale à la somme des carrés des deux nombres qui leur sont diamétralement opposés.

Pour être plus clair, avec les nombres déjà placés sur le cercle, on a : 14²+8²=16²+2²

Question : trouver les six nombres manquants afin que la propriété citée ci-dessus soit vérifiée.
Pour la réponse, vous me donnerez la liste des nombres en partant de celui que vous voulez et en tournant dans le sens que vous voulez.

J'ai mis 2 étoiles pour la difficulté, mais je n'ai aucune idée de la réelle difficulté de cette énigme ...

S'il existe plusieurs solutions, une seule me suffira.

Bonne recherche !

PS : je vous rappelle l'événement du mois prochain : . Rassurez-vous, la plupart des sudoku que je proposerai seront plus accessibles que celui de l'énigme précédente qui aurait peut-être mérité 3 étoiles, voire 4 étoiles ...

Posté par integral integral

Bonjour jamo, je trouve cette solution (à mon avis il y en a d'autres) :
14  8  26  13  49  2  16  22  19  47.

Posté par dagwa dagwa

(re)Bonjour,

je trouve 14-8-26-13-49-2-16-22-19-47 en tournant dans le sens des aiguilles d'une montre et en partant de 14.

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

bonjour Jamo

Je propose la série suivante :

14 - 8 - 49 - 13 - 26 - 2 - 16 - 47 - 19 - 22

cordialement

MM

Posté par manpower manpower

Bonjour,

on commence par chercher des carrés dont la différence vaut 192,
les solutions étant les couples (13;19), (22;26) et (47;49), il ne reste plus qu'à les placer (au choix ou presque)...

Une solution parmi d'autres _{(dans le sens horaire)}14-8-19-22-49-2-16-13-26-47

Merci pour l'Enigmo.

Posté par Nofutur2 Nofutur2

En tournant dans le sens des aiguilles d'une montre .
14-8-19-22-49-2-16-13-26-47-14-...

Posté par jonjon71 jonjon71

Salut !

Voici ma réponse :

La liste des nombre est : 14 - 8 - 19 - 22 - 49 - 2 - 16 - 13 - 26 - 47.

En fait il suffisait de remarquer que la différence des carrés de deux nombres opposés étaient toujours égale à 192. Ex: 16²-8²=14²-2²=192. En décomposant 192 en produit de deux facteurs (a²-b²=(a-b)(a+b)) on obtenait tous les couples possibles. Il y donc d'autres solutions, certaines avec des nombres non entiers et on peut permuter les couples de nombres opposés sur le cercle.

Merci !

Posté par plumemeteore plumemeteore

Bonjour Jamo.
Dans le sens des aiguilles d'une montre : 14 8 49 22  19 2 16 47 26 13
La différence de deux carrés opposés est toujours 192.
Les nombres sont alternativement les plus grands et les plus petits de leurs couples diamétraux respectifs.
Il y a six solutions.

Posté par godefroy_lehardi godefroy_lehardi

Bonjour Jamo,

En commençant par la case rouge en haut à droite et en tournant dans le sens des aiguilles d'une montre, je propose : 26 13 49 puis 22 19 47

Merci pour cette énigme plus reposante que la précédente.

Posté par jojo43 jojo43

En partant du nombre 14 et en tournant dans le sens des aiguilles d'une montre on a:
14  8  16  2  14  2  16  8  14  2
        e   d   a         f   c   b          

j'ai fait correspondre les lettres a,b,c,d,e et f à des chiffres pour que l'on puisse comprendre de quel lettre je parle dans les équations.
  

Pour cela on résous les système suivants:

2² + a² = 14² +  b²
8² + e² = 16²+ f²
b² + c² = a² + d²
c² + f² = e²+ d²

Posté par castoriginal castoriginal

Bonjour,
voici une solution

Posté par geo3 geo3

Bonjour
Voici ma solution
8, 14, 22, 19, 47, 16, 2, 26, 13, 49
A.

Posté par rezoons rezoons

Bonjour ,
pour résoudre cette énigme il suffit juste de trouver des couples d'entiers dont la différence de leurs carré est de 192 et de les positionner a l'opposé du cercle l'un de l'autre.Un petit programme a la calculatrice permet de les trouver. j'obtient comme résultat final:

Posté par LeDino LeDino

Bonjour,

A une permutation près, il se pourrait bien que la solution soit unique (5 paires d'entiers dont la différence des carrés vaut 192...).
Ma réponse :  14 8 19 22 49 2 16 13 26 47

Merci pour l'énigme.

Posté par Atea Atea

Bonjour,

Une solution : 14;8;19;22;49;2;16;13;26;47

Posté par caylus caylus

Bonjour Jamo,

Partant de 8 dans le sens horlogique:

8 19 22 49 2 16 13 26 47 14
Merci pour l'énigme.

Posté par Abelien Abelien

bonjour

voici ma réponse, a lire dans le sens des aiguilles d'une montre:
14=>8=>19=>47=>26=>2=>16=>13=>49=>22

Posté par perle_rarre perle_rarre

Je propose la réponse suivante :
14,8,49,13,26,2,16,47,19,22

Posté par dpi dpi

Dans le sens des aiguilles:
8 49 22 19 2 16 1 26 13 14

Posté par dpi dpi

faute de frappe 8 /49 /22/ 19 /2 /16 /47 /et non 1 /26 /13 /14

Posté par leBreton leBreton

bonjour

en partant de 14 dans le sens direct je trouve :
14 2 14 2 16 2 14 2 14 8

Posté par pacou pacou

Bonjour, Jamo




Merci pour l'énigmo.

Posté par pymr pymr

les nombres sont les suivant :
8
14
22
19
47
16
2
26
13
49

J'ajouterais, que l'ordre des paire n'a pas d'importance (mais le poids faible et le poids fort de chaque paire doit être alterné). La différence des carrés de chaque paire devant être de 192. Il n'existe pas d'autre paire donc la même énigme mais avec 12 ou 14 nombres n'airais pas de solution.

Posté par Lilli Lilli

Plutôt facile cette énigme, si j'ai bien compris

Je trouve 14,8,49,13,26,2,16,47,19,22

Merci et bonne soirée

Posté par Rudi Rudi

Bonjour

====== réponse proposée ======

14 - 8 - 19 - 22 - 49 - 2 - 16 - 13 - 26 - 47

====== méthode suivie ======

8²+x²=16²+y²

(x+y)(x-y)=16²-8²=192=3*2*2*2*2*2*2

en appelant n et p les exposants de 2 on a 192=3.2^n.2^p avec n+p=6 soit 192=3.2^n.2^(6-n)

avec 0 <= n <= 6

d'où 2 systèmes selon la position du 3 :

x+y=3.2^n
x-y=2^(6-n)

et

x+y=2^n
x-y=3.2^(6-n)

soit
x=3.2^(n-1)+2^(5-n) 'courbe rouge plein
y=3.2^(n-1)-2^(5-n) 'courbe rouge pointillés
et
x=2^(n-1)+3.2^(5-n) 'courbe bleue plein
y=2^(n-1)-3.2^(5-n) 'courbe bleue pointillés




il faut des valeurs de x et y entières et positives correspondant aux valeurs de n = 3, 4 ou 5

Le tableau de valeurs de sinequanon fournit les cinq couples :




(2,14) ; (8,16) ; (13,19) ; (22,26) ; (47,49) dont il suffit d'alterner les valeurs pour répondre à l'énoncé et obtenir une des solutions possibles :

14 - 8 - 19 - 22 - 49 - 2 - 16 - 13 - 26 - 47

sauf erreur, ce doit être les seuls 5 couples avec des nombres entiers positifs que l'on peut arranger de différentes façons , en alternant.

Rudy

Posté par torio torio

Sens des aiguilles d'une montre :

14
8
19
22
49
2
16
13
26
47


A+

Torio

Posté par Rumbafan Rumbafan

Bonjour Jamo,

Je propose:
14  8  19  22  49  2  16  13  26  47

c'était bien 2 étoiles...
Cela revenait à rechercher toutes les paires dont la différence des carrés valait 192... puis à combiner dans le bon ordre

Posté par Francois86 Francois86

Bonjour,
En tournant dans le sens des aiguilles d'une montre et en partant du 14 :

14 8 19 47 26 2 16 13 49 22

Posté par jolenul jolenul

Bonjour

je pense à : 14  8  19  22  49  2   16  13  26  47

Pour un poisson ?
A bientôt et merci.

Posté par borneo borneo

Bonjour,

14 8 26 47 19 2 16 22 49 13

Posté par shboul shboul

La solution n'est pas unique... il y a des permutations possibles
on part du 8 et on tourne dans le sens horaire
8 19 22 49 2 16 13 26 47 14
Merci

Posté par Ugreno Ugreno

Bonjour Jamo,

Voici ma réponse:

14 8 19 47 26 2 16 13 49 22

Merci pour l'Enigmo.

Posté par ptitjean ptitjean

Bonjour,

Je propose
14 8 19 47 26 2 16 13 49 22

Pour résoudre l'énigme, on peut voir que deux nombres x et y diamétralement opposés sont tel que
(x+y)(y-x)=192=3*2⁶
ce qui donne, en simplifiant par supposant que x et y sont des entiers naturels (ce qui n'es pas le cas dans l'énoncé), 7 possibilités pour les couples (x-y) et (x+y) qui sont:
(1,192), (2,96), (4,48), (8,24), (16,12), (32,6), (64,3)

Reste un simple système de deux équations à deux inconnues, où l'on peut voir qu'il faut que (x+y) et (x-y) soient paires si l'on veut que x et y soient des entiers positifs.

Cela nous donne les couples suivants pour (x,y) : (47,49), (22,26), (8,16), (2,14), (13,19)

Ptitjean

Posté par eleos eleos

On peut avoir le cycle:
14 - 8 - 19 - 22 - 49 - 2 - 16 - 13 - 26 - 47
(En tournant dans le sens indirect)
Il y a d'autres solutions

Posté par LEGMATH LEGMATH

Bonjour jamo,

14 8 19 22 49 2 16 13 26 47

Posté par Simpom Simpom

Ma toute première participation à un challenge !!

Alors dans le sens horaire, en partant du 14 déjà placé :
14, 8, 19, 47, 26, 2, 16, 13, 49, 22

Posté par alfred15 alfred15

Bonjour,

ma réponse est la suivante :

Merci


PS : il y en avait plusieurs, par permutation des couples 13-19 et 22-26

Posté par kemlicz kemlicz

Bonjour
Voir l'image pour ma solution.
-----------------------------------------------------------------
Démonstration :
En fait on remarque que si X et Y sont sur une même diagonale (X > Y)
alors X² - Y² = 192
Il reste donc à résoudre cette équation. La factorisation donne :  
(X - Y)(X + Y) = 192
Il suffit de chercher les diviseurs de 192 :
Si on écrit 192 = 1 x 192, cela revient à résoudre le système X - Y = 1 ; X + Y = 192 : la solution est à virgule.
Les seules solutions entières sont :
  192 = 2 x 96 : on obtient : X = 49 et Y = 47
  192 = 4 x 48 : on obtient : X = 26 et Y = 22
  192 = 6 x 32 : on obtient : X = 19 et Y = 13
Il y a donc 3 couples de solutions pour trois "diamètres à remplir" sachant qu'un diamètre ne peut se remplir que d'une seule façon (Si X²-Y²=192 alors le diamètre est soit (X, Y) soit (Y,X) et ce choix dépend de ce qui est autour de ce diamètre donc il n'y a pas deux possibilités pour chaque couple (X,Y)).
Il y aurait donc (selon moi) 3!=6 solutions entières qui ne sont que des permutations de la première solution.

Posté par bil-out bil-out

14   8   26   47   19   2   16   22   49   13

Posté par gloubi gloubi

Bonjour,



Merci pour l'énigme  

Posté par Poldenys Poldenys

Enigmo 145

Salut jamo ,
ma proposition

Posté par thierry45mada thierry45mada

Bonjour.

Plutôt que de travailler sur le fait que la somme des carrés de deux nombres adjacents est égale etc... je travaille sur le fait que la différence des carrés de deux nombres opposés est constante, au signe près, et alternée quand on fait le tour du cercle.

C'est à dire, par exemple, que (a0²-a5²)=-(a1²-a6²)=+(a2²-a7²)=-(a3²-a8²)=+(a4²-a9²)

Disons ici que a0=14 et a5=2
Alors a0²-a5²=192

Les paires (x;x+n) de nombres cherchées sont telles que (x+n)²-x²=192
On trouve les paires (47;49), (22;26), (13;19), (8;16) et... (2;14)

Il y a donc un "certain nombre" de solutions, par permutation des paires ainsi trouvées.

Exemple de solution : 14 - 8 - 19 - 22 - 49 - 2 - 16 - 13 - 26 - 47
ou bien : 14 - 8 - 26 - 13 - 49 - 16 - 22 - 19 - 49
etc..

A plus

Posté par ziousoft ziousoft

* challenge en cours *

Posté par dhalte dhalte

Bonsoir

14 8 19 22 49 2 16 13 26 47


Pour indication, les autres solutions sont

14 8 19 47 26 2 16 13 49 22

14 8 26 13 49 2 16 22 19 47

14 8 26 47 19 2 16 22 49 13

14 8 49 13 26 2 16 47 19 22

14 8 49 22 19 2 16 47 26 13

Posté par midou71 midou71

bonjour,
   je commence par le numero 14 qui est dans une case bleue:
14  8  14  8  14  2  16  2  16  2  

Posté par totti1000 totti1000

Bonjour Jamo,
voici ma proposition :
19-47-26-13-49-22.

Posté par lo5707 lo5707

Bonjour

On met tout ça en équations
On arrive à 3 équations du type : (x+y)(x-y)=192
192 peut se décomposer en 7 produits de 2 naturels.
Ce qui aboutit à 5 couples, interchangeables sur le cercle :
(13;19) (2;14) (8;16) (22;26) (47;49)

Voici une solution :


Dans le sens des aiguilles d'une montre : 14-8-19-47-26-2-16-13-49-22


Merci pour l'énigme

Posté par Laje Laje

14 / 8 / 19 / 22 / 49 / 2 / 16 / 13 / 26 / 47

Posté par athrun athrun

Bonsoir Jamo, merci pour cette énigme.

J'ai fait ça à la bourrin sans technique particulières :-/

Posté par Tolokoban Tolokoban

Dans le sens des aiguilles d'une montre, on a les valeurs de la roue suivantes :
14, 8, a, b, c, 2, 16, d, e, f

Comme la somme des carrés des paires opposées doit être égale, on arrive
à ces contraintes (après simplification du système d'équations) :
a*a = d*d + 192
c*c = f*f + 192
e*e = b*b + 192

Il nous faut donc chercher des carrés tels que si on leur ajoute 192 on a encore des carrés.
La distance entre x au carré et son carré immédiatement suivant est :
(x+1)*(x+1) - x*x = 2x + 1
C'est un nombre impair donc ce ne peut pas être 192 et deux carrés immédiatement consécutifs ne peuvent donc pas convenir.
Les plus proches carrés pouvant convenir auront alors une distance minimale de :
(x+2)*(x+2) - x*x = 4(x + 1)

Le plus grand carré pouvant alors convenir est tel que :
4(x + 1) <= 192
c'est donc x = 47

On peut donc se contenter de calculer les carrés des nombres entiers de 3 à 47 (puisque 2 et déjà utilisé) et on trouve seulement les solutions suivantes :

8*8   = 64   ; 16*16 = 256  = 192 + 64
13*13 = 169  ; 19*19 = 361  = 192 + 169
22*22 = 484  ; 26*26 = 676  = 192 + 484
47*47 = 2209 ; 49*49 = 2401 = 192 + 2209

On est donc sûr qu'il n'existe pas d'autre solution.

Les valeurs à mettre sur la roue dans le sens horaire sont :
14, 8, 19, 47, 26, 2, 16, 13, 49 et 22