Equations différentielles

Posté par Mimosa01 Mimosa01

Bonjour,

Mon exercice est le suivant:

1)Donner les solutions réelles de y"-4y'+5y=t (E1)
2)Donner les solutions réelles de 4y"-4y'+5y=-8cost-4sint (E2)

On considère le système différentiel (S):{x'=-y+2x+t;y'=2y+x+4cost}où x et y sont des fonctions inconnues de la variable t,à valeurs réelles,continues et dérivables sur R.

3)Si(x,y)est un couple de fonctions solutions de (S),prouver que y est 2 fois dérivables sur R et déterminer une équation différentielle (E) linéaire du second ordre à coefficients constants vérifiée par y.

4)Sans résoudre l'équation (E), démontrer l'équivalence/(x,y)est un couple de fonctions solution de (S)<=>y est solution de (E) et x est solution de x=y'-2y-4cost.

5)Déterminer alors tous les couples (x,y)de fonctions vérifiant le système différenciel (S).


Pour la question 1), je trouve que les solutions réelles sont de la forme y(t)=exp(2t)(lambda1*cost+lambda2*sint)+(1/5)*t+(4/25).
Pour la question 2), je trouve que les solutions réelles sont de la forme y(t)=exp(2t)(lambda1*cost+lambda2*sint)+(1/2)*sint-(3/2)*cost.
Mais je me suis peut-être trompé.
Pour les questions suivantes,je n'aboutis pas.
J'attends votre aide.Merci(s'il vous plaît explicitez bien vos réponses)

Posté par J-P J-P

1)
y"-4y'+5y=t

Solutions de y"-4y'+5y = 0

p²-4p+5 = 0
p = 2 +/- i
y = e^(2t) * (A.cos(t)+B.sin(t))
---
Solution particulière de y"-4y'+5y=t

De la forme y = at + b
y' = a
y''=0

-4a + 5(at+b) = t
-4a+5b + 5at = t

5a = 1
-4a+5b = 0

a = 1/5 et b = 4/25
--> y = (1/5)t + (4/25)
---
Solutions générales de y"-4y'+5y=t

y = (1/5)t + (4/25) + e^(2t) * (A.cos(t)+B.sin(t)) avec A et B des constantes réelles.
-----
2) 4y"-4y'+5y = -8cost-4sint

Solutions de 4y"-4y'+5y = 0
4p²-4p+5 = 0
p = 1/2 +/- i

y = e^(t/2)*(A.sin(t) + B.cos(t))
---
Solution particulière de 4y"-4y'+5y = -8cost-4sint

De la forme y = a.sin(t) + b.cos(t)
y' = a.cos(t) - b.sin(t)
y'' = -a.sin(t) - b.cos(t)

4y"-4y'+5y = -4a.sin(t) - 4b.cos(t) - 4a.cos(t) + 4b.sin(t) + 5a.sin(t) + 5b.cos(t)
4y"-4y'+5y = (a+4b).sin(t) + (b-4a).cos(t)

a+4b = -4
b-4a = -8

4a+16b = -16
17b = -24
b = -24/17
a = -4 + 96/17 = 28/17

y = (28/17).sin(t) - (24/17).cos(t)
---
Solutions générales de 4y"-4y'+5y = -8cost-4sint :

y = (28/17).sin(t) - (24/17).cos(t) + e^(t/2)*(A.sin(t) + B.cos(t)) avec A et B des constantes réelles.
-----
Vérifie.

Posté par J-P J-P

Attention, il y a plus que probablement une erreur dans l'énoncé du 2.

y"-4y'+5y=-8cost-4sint

Posté par J-P J-P

3)
x'= -y+2x+t
y'= 2y+x+4cost

y'= 2y+x+4cos(t)
y''= 2y'+x'-4sin(t)

y''= 2y'-y+2x+t -4sin(t)
y''- 2y'+ y = 2x + t - 4sin(t)
y''- 2y'+ y = 2(y'-2y-4.cos(t)) + t - 4sin(t)
y''- 2y'+ y = 2y'- 4y - 8.cos(t) + t - 4sin(t)
y''- 4y'+ 5y = -8.cos(t) + t - 4sin(t)

Et donc, à l'erreur près signalée dans mon précédent message, on a les solutions par les points 1 et 2 de l'exercice.

Sauf distraction.

Posté par Mimosa01 Mimosa01

Merci beaucoup J-P.
En effet je m'étais trompé dans l'énoncé de la deuxième question.
Aurais-tu des pistes pour les questions 4 et 5.

Posté par Mimosa01 Mimosa01

Rebonjour,

c'est encore moi.J'ai du mal à terminer mon exercice que J-P m'a déjà bien avancé(Merci encore J-P)
Quelqu'un aurait-il des pistes pour les questions 4 et 5?

Posté par Mimosa01 Mimosa01

Non,personne?