Diagonalisation dans une base commune

Posté par H_aldnoer H_aldnoer

Bonsoir,

je suis tombé sur le résultat suivant, et je dois avouer que je ne sais absolument pas d'où cela provient :
si sont deux matrices diagonalisables et si elles commutent alors il existe une base dans laquelle et et sont diagonales.

C'est peut-être bête mais je ne le vois pas !
Pouvez-vous m'aidez ?
Merci!

Posté par Rodrigo Rodrigo

Bonsoir,
Si A et B commutent alors B stabilise tous les sous espaces propres de A. Donc tu peux considerer que A est scalaire, et le résultat est immédiat dans ce cas la.

Posté par H_aldnoer H_aldnoer

J'ai pas trop saisi ton raisonnement, tu peux expliciter un peu plus ?

Posté par Rodrigo Rodrigo

Diagonalise A, comme B stabilise tous les sous espaces propres de A tu peux regarder la restriction de B a un sous espace propre de A. Restreint à cet espace A est scalaire. Mais la restrition de B est diagonalisable donc tu peux diagibaliser B dans cet espace, A restant diagonale vu qu'elle est scalaire...
Tu fait ca pour tous les sep qui forment une somme directe de tout l'espace..

Posté par H_aldnoer H_aldnoer

Qu'est-ce que ça signifie que B stabilise les sous-espaces propres de A ?

Posté par Rodrigo Rodrigo

Ben je t'ai deja dit... a veut sire qu'un sous espace propre de A est stable par B.

Si tu l'appelle F alors B(F) est inclus dans F.

Posté par H_aldnoer H_aldnoer

Je ne te suis pas, tu vas trop vite! C'est quoi
est une matrice et ! Qu'est-ce qu'un élément de ?

Posté par Rodrigo Rodrigo

Ben B(E_{lambda}), c'est l'image de E_\lambda par B.