Bonsoir Olive_68

Comment tu vas ?

Pour la 1), supposons f injective.
Soit A et B dans P(X) tels que , tu n'arrives pas à montrer que A=B ?

Bonsoir Narhm

Oui ça va merci et toi ? Et en cours tout va bien ?

Pour commencer merci de ta réponse

1. Ah ben enfait on peut le déduire directement puisque est injective non ?

Je suis sur que l'exo n'est pas trop compliquer mais toutes ces notations me pertubent ..

C'est normal, c'est le genre d'exercice qui veut déstabilier par son aspect "compliqué". Il faut y aller tranquillement c'est tout.

Oui donc c'est ca, par injectivité de f, si on a un x dans A et un x' dans B qui vérifie f(x)=y=f(x') alors x=x' et A=B.

Enfin j'ai oublié de préciser pour ne pas aller trop vite que l'image de par est l'image directe de par soit donc si on prend deux éléments (le A de avant et un élément B) de l'ensemble de départ de et que si on suppose injective alors

Voilà la justification que j'aurais en fin de compte

Ah ok il faudrait donc que je prenne un élément de et de ? Ca ne suffit pas de dire ce que j'ai dis juste avant ?

Si tu me dis non je pense comprendre pourquoi ^^

Ouf...il se fait tard en cette fin de semaine !

Donc ta justification est bonne. J'imagine que tu l'as déjà justifié dans d'autre exercice non ? ( f est injective ssi pour tout A de P(X), A=f^-1(f(A)) )

^^ C'est vrai bientôt 2h

Non je ne m'en souviens pas et notre prof nous à dis que la propriété que tu dis entre () est hors-programme (Il nous l'a donné pour avoir des idées de démo mais on ne peut pas l'utiliser..)

Hors programme ! On le trouve dans tous les bouquins de sup
Ca se montre à la main très simplement...

Pour l'autre sens, de meme , supposons injective.
Soit x,y dans X, tel que f(x)=f(y). Montrons que x=y.
Considere les ensembles {x} et {y}.

Enfait pour l'autre sens ça se fait sans trop de soucis, si on suppose que est injective et si on se prend deux éléments A et B de l'ensemble de départ alors car injective.

Or et donc (on a une relation d'équivalence là non ?) donc est injective

J'ai peur que tu ne montres pas f injective la.
f(A)=f(B) => A=B et donc f injective ? pourquoi ca ?

Ah lol ^^ je t'écris quand même la proposition, pas que je dise de bêtise non plus ^^

Citation :
PROPOSITION :

        Soient des ensembles.
        Soit .
        a) Pour que soit injective il faut et il suffit que il existe une application telle que
        b) Pour que soit surjective il faut et il suffit que il existe une application   telle que

Ta proposition te sert à montrer quoi précisement ?

Car pour moi les deux équivalences que je donne précédement entraine l'implication que j'ai donné non ?

Si x<=>y et x<=>z alors y<=>z donc en particulier y=>z non ? peut-être que je me trompe ..

(Ben que si admet une application réciproque vérifiant gof=Id(x) alors elle est injective non ? )

Oui mais dans notre contexte, ca t'aide en quoi ?

Ah ben je pensais que ça suffisait mais comme toi tu le vois ca va plus vite, en emettant les hypothèses de ton poste de 1h49 :

et donc si d'où l'injectivité

Non ?

Merci beaucoup pour l'aide que tu me donnes, ça m'aide vraiment à manipuler un peu ces notions

Oublié les parenthèses :

Attention, f(x) est un élément d'un ensemble, ce n'est pas un ensemble !

Oups, avec les crochets c'est mieux alors ?

Arf !
Je t'ai dit juste une petite betise. Il faut considerer {x} et {y}, non pas {f(x)} et {f(y)}.

Oui c'est très important. On ne mélange pas un élément d'un ensemble.
La fonction mange des ensembles et recrache des ensembles, alors f gobe des élements et en recrache d'autres.
C'est completement différent.

Bon en fait, c'est pas très bien dit ce que je raconte puisque A et B sont des élements de P(X)... Je veux juste que tu fasses bien attention à la différence entre f(x) et f({x}), ou à la différence entre {f(x)} et f(x).

Je ne pourrais pas dire la différence entre f(x) et f({x}) si ce n'est que le 2eme est l'image d'une ensemble (donc un ensemble ?) et l'autre c'est qu'un pauvre élément de l'ensemble d'arrivé

Ouai c'est ca.

Tu as réussi à conclure avec mon idée ?

J'ai peur de raconter des bétises une fois de plus mais bon si j'essaye pas je peux pas savoir hein ^^

et   or on suppose  que f({x})=f({y}) donc or est injective donc d'où l'injectivité de j'ai peur que ce soit faux et que en plus j'ai fais la faute que tu as essayer d'écarter dans tes derniers méssages ^^

Alors faisons ca tranquillement. Comme ca on sera sur.
Par définition de que vaut ?

Les { } n'étaient pas passées

Oui c'est le problème quand on ne met pas le \ avant les {} ^^

Par définition c'est l'image directe du singleton {x} par f

Ok, l'image direct de {x} par f, c'est quoi ?

C'est

Oui, ceci c'est l'image de f par {x}, c'est tous les éléments que f peut prendre quand on parcourt {x}. Il n'y en a pas beaucoup.

Petit méli mélo : ceci est l'image de {x} par f, bien sur

Donc si je comprend bien c'est f(x) ?
Et si je comprend encore mieux, avec ce que j'ai fais avant et le fait que f({x})=f(x) alors on en déduit facilement l'injectivité non ?

Et non !
Pour etre exact, f({x}) c'est ce l'ensemble des éléments que nous redonne f quand on lui fournit des éléments de {x}.
Je suis désolé, ce soir je trouve peut être pas les mots justes.
Par exemple, tu n'as aucun soucis avec cos([0,Pi])=[-1,1] j'imaigine. C'est bien l'ensemble des valeurs que nous redonne cosinus si on lui balance des éléments de [0,Pi].
Autre exemple, soit f la fonction carré, f([-1,1]=[0,1] et f({0})={0}.
L'image directe d'un ensemble est un ensemble.

Tu vois peut-etre mieux comme ceci non ?

Non c'est juste que je suis bête, tu me l'as rappelé avant en plus que f({x}) et f(x) ne sont pas de même nature et ça ne m'empeche pas de raconter cela.

Ben la je ne peux pas en dire plus que dans mon poste de 2h29 si ce n'est que je mettrais plutôt {x}={y}

Bon alors je formalise tout ca et hop au lit : )

Supposons injective et montrons que f est injective.
Soit alors x,y dans X tels que f(x)=f(y), montrons que x=y:
Donc on a , de même on a , comme nous avons supposer f(x)=f(y), il vient que .
Ainsi par injectivité de , {x}={y} puis x=y.

ok ?

Ahh !! Tout compris maintenant

Je suis vraiment désolé de te demander ça mais tu pourrais juste me donner une piste pour le b) ? j'ai un contrôle la dessus demain matin ..

Merci pour tout Narhm ! C'est toujours un plaisir pour moi quand tu m'aides

Dans ce cas, tu peux décrire completement l'application parce qu'on ne sait pas grand chose sur elle la ?

(On montre dans le a) la même chose mais pour la surjectivité je vais essayer de démontrer ça cette nuit, ce qui sera donc plus simple à démontrer pour le b) je pense )

Ah mon avis c'est la fonction réciproque de (J'en sais pas plus,j'ai rien de plus sur ma feuille) mais c'est bon je vais pas te retenir plus longtemps alors

Merci pour tout Bonne nuit !

Oui donc je pense que

Je peux te proposer un petit lemme ?

Ah oui merci c'est déjà plus simple pour la définition de f<

Oui oui je prend tout ce qu'il y a a prendre

Bien, alors je te propose de montrer ce dont je parlais plus haut.
Soit f une fonction de E dans F. Montre que est injective.

Tout d'abord le sens :

Ok j'essayerais de faire ça

Hop au lit maintenant ^^ Je vais pas te retenir plus longtemps, merci pour tout

Ah mais c'est comme tu veux. Si tu es pret à faire ca maintenant, je te suis moi

Ben je vais de toute façon le faire cette nuit moi mais bon ça me met mal a l'aise de te faire rester..

Dans le sens directe on a d'où l'injectivité ?

Oui c'est ca.

Rq : On écrit c'est une égalité de fonction.