Ensemble ordonné, treillis

Posté par PaulineStan PaulineStan

Bonjour!

Je dois faire un exercice sur les treillis. Un ensemble ordonné (E, ) étant appelé treillis si toute paire d'éléments de E possède une borne supérieure et une borne inférieure dans E.

Je ne vois pas comment faire pour montrer qu'un ensemble est un treillis...
Par ex: Montrer que si F est un ensemble quelconque, (P(F), ) est un treillis.

Pourriez-vous m'aider, me donner quelques conseils pour pouvoir amorcer l'exercice?

Merci d'avance.

Posté par kybjm kybjm

Si F est un ensemble(P(F), ) est un treillis.

. est bien une relation d'ordre sur P(F)

.Soient A et B 2 éléments de P(F).Il y a des majorants communs à A et B (F en est un)
    .. Parmi ces majorants communs il y en a un plus petit que tous A les autres : c'est A B.{A , B} admet donc une borne supérieure qui est A B .

Tu dois maintenant savoir montrer que {A , B} admet une borne inférieure ( qui est ? ) .

Posté par PaulineStan PaulineStan

Merci pour votre réponse.

Le borne inférieure de {A,B} serait donc AB?!?

Voici mon ébauche de démonstration. Pourriez-vous m'indiquer si je suis sur la bonne voie?
Soit x A alors xAB.
Soit x B alors x AB.
Donc AB est un majorant de {A,B}.

Je ne vois pas en revanche pas vraiment comment démontrer que AB est le plus petit de ces majorants...

Posté par kybjm kybjm


Tes phrases
"Soit x A alors xAB."
"Soit x B alors x  AB."
sont correctes gramaticalement mais incorrectes mathématiquement(un élément x de F appartient à une partie de F mais ne lui est pas inclus)

Soient A et B deux éléments de P(F)
  1.A B majore A et B (Il est "clair" que AABet BAB)
   .Si XP(F) majore A et B , X contient A et B donc contient AB .
AB est donc le + petit majorant de A et B.

  2.Dans ce qui précède tu remplaces majore par minore et par pour obtenir la preuve de

"Tout couple d'éléments de P(F) admet une borne inférieure.

Posté par PaulineStan PaulineStan

Je crois que j'ai compris!

Soit le treillis(,divise).
Sa borne inférieure est pgcd {a,b} et sa borne supérieure est ppcm {a,b}.?...

J'ai plus de mal pour montrer que tout ensemble ordonné est un treillis.
On a (a,b) E², (aRb) (bRa).
et je ne vois pas trop comment continuer.

Encore une question...

Si E est un treillis. Il faut démontrer que x(yx)=x.
Peut-on procéder ainsi?

Si x<y
xx=x

Si y<x
xy=x

avec xy=sup({x,y}) et xy=inf({x,y})

Le problème est, je pense, que dans l'ensemble E, il n'y a pas que les éléments x ou y. (Voir ex. de l'inclusion.)

Merci beaucoup pour toutes vos réponses.

Posté par kybjm kybjm

A.J'ai plus de mal pour montrer que tout ensemble ordonné est un treillis."

    Bien sûr (sinon on n'aurait pas introduit le mot treillis dans l'affaire)
    Il y a des relations d'ordre sur des ensembles qui n'en font pas des treillis.

B.Par contre 1.tout ensemble totalement ordonné (E,R) est un treillis
La preuve: Soient x et y dans E . On a xRy (auquel cas y est le plus petit des majorants communs à x et y) ou yRx(auquel cas ...)
  Pour l'existance de la borne inférieure de {x,y} .....à toi
2.Dans un ensemble E ordonné par R si x et y sont comparables alors {x,y} admet une borne supérieure qui est le plus "grand" des deux.


C.Pour "dans tout treillis E on a la relation  [ (x,y,z) E³ on a x(yz = x]" .

Ta "preuve" n'en est pas une car tu fais comme si l'ordre était total.

Soient x , y , z dans un treillis (E,R). On a yx R x donc (cf. B2) x(yx) = x

Posté par PaulineStan PaulineStan

Merci pour toutes vos explications...

J'ai maintenant compris, ce qu'était réellement un treillis et comment procéder pour tout démontrer!!!

Merci beaucoup pour votre aide!